colector nulo

colector diferenciable

En matemáticas , una variedad nil es una variedad diferenciable que tiene un grupo nilpotente transitivo de difeomorfismos que actúan sobre ella. Como tal, una variedad nilpotente es un ejemplo de un espacio homogéneo y es difeomorfa al espacio cociente , el cociente de un grupo de Lie nilpotente N módulo un subgrupo cerrado H. Esta noción fue introducida por Anatoly Mal'cev en 1949. ^[1] ${\displaystyle N/H}$

En la categoría de Riemann, también existe una buena noción de variedad nula. Una variedad de Riemann se llama variedad nil homogénea si existe un grupo nilpotente de isometrías que actúan transitivamente sobre ella. El requisito de que el grupo nilpotente transitivo actúe mediante isometrías conduce a la siguiente caracterización rígida: cada variedad nil homogénea es isométrica a un grupo de Lie nilpotente con métrica invariante a la izquierda (ver Wilson ^[2] ).

Los nilmanifolds son objetos geométricos importantes y a menudo surgen como ejemplos concretos con propiedades interesantes; en la geometría de Riemann estos espacios siempre tienen curvatura mixta, ^[3] espacios casi planos surgen como cocientes de variedades nil, ^[4] y variedades nil compactas se han utilizado para construir ejemplos elementales de colapso de métricas de Riemann bajo el flujo de Ricci . ^[5]

Además de su papel en geometría, se considera cada vez más que las variedades nil tienen un papel en la combinatoria aritmética (ver Green-Tao ^[6] ) y la teoría ergódica (ver, por ejemplo, Host-Kra ^[7] ).

Colectores nil compactos

Una variedad nula compacta es una variedad nula que es compacta. Una forma de construir tales espacios es comenzar con un grupo de Lie nilpotente N simplemente conexo y un subgrupo discreto . Si el subgrupo actúa de forma cocompacta (mediante multiplicación por la derecha) en N , entonces la variedad cociente será una variedad nula compacta. Como ha demostrado Mal'cev, toda variedad nula compacta se obtiene de esta manera. ^[1] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle N/\Gamma }$

Un subgrupo como el anterior se denomina red en N. Es bien sabido que un grupo de Lie nilpotente admite una red si y sólo si su álgebra de Lie admite una base con constantes de estructura racional : este es el criterio de Mal'cev . No todos los grupos de Lie nilpotentes admiten celosías; para obtener más detalles, consulte también MS Raghunathan . ^[8] ${\displaystyle \Gamma }$

Una variedad nil de Riemann compacta es una variedad de Riemann compacta que es localmente isométrica a un grupo de Lie nilpotente con métrica invariante a la izquierda. Estos espacios se construyen de la siguiente manera. Sea una red en un grupo de Lie nilpotente simplemente conectado N , como arriba. Dotar a N de una métrica invariante a la izquierda (riemanniana). Entonces el subgrupo actúa por isometrías en N mediante multiplicación por la izquierda. Por tanto , el cociente es un espacio compacto localmente isométrico a N. Nota: este espacio es naturalmente difeomorfo a . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \backslash N}$ ${\displaystyle N/\Gamma }$

Las variedades nulas compactas también surgen como paquetes principales . Por ejemplo, considere un grupo de Lie nilpotente de 2 pasos N que admite una red (ver arriba). Sea el subgrupo conmutador de N . Denotemos por p la dimensión de Z y por q la codimensión de Z ; es decir, la dimensión de N es p+q. Se sabe (ver Raghunathan) que es una red en Z. Por tanto, es un toro compacto p -dimensional. Dado que Z es central en N , el grupo G actúa sobre la variedad nula compacta con espacio cociente . Esta variedad base M es un toro compacto de q dimensiones. Se ha demostrado que todo haz de toros principal sobre un toroide tiene esta forma, ver. ^[9] De manera más general, una variedad nula compacta es un haz toroidal, sobre un haz toroidal, sobre... sobre un toroide. ${\displaystyle Z=[N,N]}$ ${\displaystyle Z\cap \Gamma }$ ${\displaystyle G=Z/(Z\cap \Gamma )}$ ${\displaystyle P=N/\Gamma }$ ${\displaystyle M=P/G}$

Como se mencionó anteriormente, las variedades casi planas son variedades nulas íntimamente compactas. Consulte ese artículo para obtener más información.

Colectores nulos complejos

Históricamente, una variedad nil compleja significaba un cociente de un grupo de Lie nilpotente complejo sobre una red cocopacta . Un ejemplo de tal variedad nula es una variedad de Iwasawa . A partir de la década de 1980, otra noción (más general) de variedad nula compleja reemplazó gradualmente a esta.

Una estructura casi compleja en un álgebra de Lie real g es un endomorfismo que eleva al cuadrado −Id _g . Este operador se denomina estructura compleja si sus espacios propios, correspondientes a valores propios , son subálgebras en . En este caso, defino una estructura compleja invariante a la izquierda en el grupo de Lie correspondiente. Tal variedad ( G , I ) se llama variedad de grupo complejo . Es fácil ver que toda variedad homogénea compleja conectada equipada con una acción holomorfa, transitiva y libre por un grupo de Lie real se obtiene de esta manera. ${\displaystyle I:\;g\rightarrow g}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle g\otimes {\mathbb {C} }}$

Sea G un grupo de Lie real y nilpotente. Una variedad nil compleja es un cociente de una variedad de grupo compleja ( G , I ), equipada con una estructura compleja invariante a la izquierda, por una red discreta y cocompacta, que actúa desde la derecha.

Las variedades nulas complejas no suelen ser homogéneas, como las variedades complejas.

En la dimensión compleja 2, las únicas variedades nil complejas son un toro complejo y una superficie de Kodaira . ^[10]

Propiedades

Las variedades nulas compactas (excepto un toro) nunca son homotópicamente formales . ^[11] Esto implica inmediatamente que las variedades nil compactas (excepto un toro) no pueden admitir una estructura de Kähler (ver también ^[12] ).

Topológicamente, todas las variedades nulas se pueden obtener como haces de toros iterados sobre un toro. Esto se ve fácilmente en una filtración por series centrales ascendentes . ^[13]

Ejemplos

Grupos de mentiras nilpotentes

De la definición anterior de variedades nil homogéneas, está claro que cualquier grupo de Lie nilpotente con métrica invariante a la izquierda es una variedad nil homogénea. Los grupos de Lie nilpotentes más familiares son grupos matriciales cuyas entradas diagonales son 1 y cuyas entradas diagonales inferiores son todas ceros.

Por ejemplo, el grupo de Heisenberg es un grupo de Lie nilpotente de 2 pasos. Este grupo de Lie nilpotente también es especial porque admite un cociente compacto. El grupo serían las matrices triangulares superiores con coeficientes integrales. La variedad nula resultante es tridimensional. Un posible dominio fundamental es (isomorfo a) [0,1] ³ con las caras identificadas de forma adecuada. Esto se debe a que un elemento de la variedad nula puede ser representado por el elemento en el dominio fundamental. Aquí se denota la función suelo de x y la parte fraccionaria . La aparición de la función suelo aquí es una pista de la relevancia de las variedades nil para la combinatoria aditiva: los llamados polinomios entre corchetes, o polinomios generalizados, parecen ser importantes en el desarrollo del análisis de Fourier de orden superior. ^[6] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x&z\\&1&y\\&&1\end{pmatrix}}\Gamma }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\{x\}&\{z-x\lfloor y\rfloor \}\\&1&\{y\}\\&&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \{x\}}$

Grupos de mentira abeliana

Un ejemplo más sencillo sería cualquier grupo de Lie abeliano. Esto se debe a que cualquier grupo de este tipo es un grupo de Lie nilpotente. Por ejemplo, se puede tomar el grupo de números reales de la suma y el subgrupo discreto y cocompacto que consta de números enteros. La variedad nula de 1 paso resultante es el círculo familiar . Otro ejemplo familiar podría ser el espacio euclidiano compacto de 2 toros bajo suma. ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Generalizaciones

Una construcción paralela basada en grupos de Lie solubles produce una clase de espacios llamados solvmanifolds . Un ejemplo importante de variedades de solución son las superficies de Inoue , conocidas en geometría compleja .

Referencias

1. Mal'cev, Anatoly Ivanovich (1951). "Sobre una clase de espacios homogéneos". Traducciones de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas (39).
2. Wilson, Edward N. (1982). "Grupos de isometría en variedades nil homogéneas". Geometriae Dedicata . 12 (3): 337–346. doi :10.1007/BF00147318. hdl : 10338.dmlcz/147061 . SEÑOR  0661539. S2CID  123611727.
3. Milnor, Juan (1976). "Curvaturas de métricas invariantes a la izquierda en grupos de Lie". Avances en Matemáticas . 21 (3): 293–329. doi : 10.1016/S0001-8708(76)80002-3 . SEÑOR  0425012.
4. Gromov, Mikhail (1978). "Colectores casi planos". Revista de Geometría Diferencial . 13 (2): 231–241. doi : 10.4310/jdg/1214434488 . SEÑOR  0540942.
5. Chow, Bennett; Knopf, Dan, El flujo de Ricci: una introducción. Encuestas y monografías matemáticas, 110. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI, 2004. xii+325 págs. ISBN 0-8218-3515-7 
6. Verde, Benjamín ; Tao, Terence (2010). "Ecuaciones lineales en números primos". Anales de Matemáticas . 171 (3): 1753–1850. arXiv : math.NT/0606088 . doi : 10.4007/annals.2010.171.1753. SEÑOR  2680398. S2CID  119596965.
7. Anfitrión, Bernardo; Kra, Bryna (2005). "Promedios ergódicos no convencionales y variedades nulas". Anales de Matemáticas . (2). 161 (1): 397–488. doi : 10.4007/anales.2005.161.397 . SEÑOR  2150389.
8. Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 68. Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-86428-5. SEÑOR  0507234. Capítulo II
9. Palacio, RS; Stewart, TE Torus se agrupa sobre un toroide. Proc. América. Matemáticas. Soc. 12 1961 26-29.
10. Keizo Hasegawa (2005). "Estructuras complejas y Kähler en Compact Solvmanifolds". Revista de geometría simpléctica . 3 (4): 749–767. arXiv : 0804.4223 . doi :10.4310/JSG.2005.v3.n4.a9. SEÑOR  2235860. S2CID  6955295. Zbl  1120.53043.
11. Keizo Hasegawa, Modelos mínimos de colectores nulos, Proc. América. Matemáticas. Soc. 106 (1989), núm. 1, 65–71.
12. Benson, Chal; Gordon, Carolyn S. (1988). "Kähler y estructuras simplécticas en variedades nil". Topología . 27 (4): 513–518. doi : 10.1016/0040-9383(88)90029-8 . SEÑOR  0976592.
13. Sönke Rollenske, Geometría de variedades nil con estructura compleja invariante a la izquierda y deformaciones en grande, 40 páginas, arXiv:0901.3120, Proc. Matemáticas de Londres. Soc., 99, 425–460, 2009