En lógica , una proposición categórica , o enunciado categórico , es una proposición que afirma o niega que todos o algunos de los miembros de una categoría (el término sujeto ) están incluidos en otra (el término predicado ). [1] El estudio de argumentos que utilizan enunciados categóricos (es decir, silogismos ) forma una rama importante del razonamiento deductivo que comenzó con los antiguos griegos .
Los antiguos griegos, como Aristóteles, identificaron cuatro tipos distintos de proposiciones categóricas y les dieron formas estándar (ahora llamadas A , E , I y O ). Si, de manera abstracta, la categoría del sujeto se denomina S y la categoría del predicado se denomina P , las cuatro formas estándar son:
Un gran número de oraciones pueden traducirse a una de estas formas canónicas mientras se conserva todo o la mayor parte del significado original de la oración. Las investigaciones griegas dieron como resultado el llamado cuadrado de oposición , que codifica las relaciones lógicas entre las diferentes formas; por ejemplo, que un enunciado A es contradictorio con un enunciado O ; es decir, por ejemplo, si uno cree "Todas las manzanas son frutos rojos", no puede creer simultáneamente que "Algunas manzanas no son frutos rojos". Así, las relaciones del cuadrado de oposición pueden permitir una inferencia inmediata , por la cual la verdad o falsedad de una de las formas puede seguir directamente de la verdad o falsedad de un enunciado en otra forma.
La comprensión moderna de las proposiciones categóricas (que se originó con el trabajo de mediados del siglo XIX de George Boole ) requiere que uno considere si la categoría de sujeto puede estar vacía. Si es así, esto se llama el punto de vista hipotético , en oposición al punto de vista existencial que requiere que la categoría de sujeto tenga al menos un miembro. El punto de vista existencial es una postura más fuerte que el hipotético y, cuando es apropiado adoptarlo, permite deducir más resultados de los que se podrían obtener de otra manera. El punto de vista hipotético, al ser el punto de vista más débil, tiene el efecto de eliminar algunas de las relaciones presentes en el cuadrado tradicional de oposición.
Los argumentos que consisten en tres proposiciones categóricas (dos como premisas y una como conclusión) se conocen como silogismos categóricos y fueron de suma importancia desde los tiempos de los lógicos griegos antiguos hasta la Edad Media. Aunque los argumentos formales que utilizan silogismos categóricos han dado paso en gran medida al mayor poder expresivo de los sistemas lógicos modernos, como el cálculo de predicados de primer orden , aún conservan un valor práctico además de su importancia histórica y pedagógica .
Las oraciones en lenguaje natural pueden traducirse a formas estándar. En cada fila del siguiente cuadro, S corresponde al sujeto de la oración de ejemplo y P corresponde al predicado .
Tenga en cuenta que "Todos los gatos no tienen ocho patas " (por ejemplo, "Todos los gatos no tienen ocho patas") no se clasifica como un ejemplo de las formas estándar. Esto se debe a que la traducción al lenguaje natural es ambigua. En el habla común, la oración "Todos los gatos no tienen ocho patas" podría usarse de manera informal para indicar (1) "Al menos algunos, y quizás todos, los gatos no tienen ocho patas" o (2) "Ningún gato tiene ocho patas".
Las proposiciones categóricas pueden clasificarse en cuatro tipos en función de su "calidad" y "cantidad", o de su "distribución de términos". Estos cuatro tipos se han denominado desde hace mucho tiempo A , E , I y O. Esto se basa en el latín a ff i rmo (yo afirmo), que hace referencia a las proposiciones afirmativas A e I , y n e g o (yo niego), que hace referencia a las proposiciones negativas E y O. [2 ]
La cantidad se refiere al número de miembros de la clase sujeto (Una clase es una colección o grupo de cosas designadas por un término que es sujeto o predicado en una proposición categórica. [3] ) que se utilizan en la proposición. Si la proposición se refiere a todos los miembros de la clase sujeto, es universal . Si la proposición no emplea a todos los miembros de la clase sujeto, es particular . Por ejemplo, una proposición I ("Algún S es P ") es particular ya que solo se refiere a algunos de los miembros de la clase sujeto.
Calidad Se describe como si la proposición afirma o niega la inclusión de un sujeto dentro de la clase del predicado. Las dos cualidades posibles se denominan afirmativa y negativa . [4] Por ejemplo, una proposición A ("Todo S es P ") es afirmativa ya que establece que el sujeto está contenido dentro del predicado. Por otro lado, una proposición O ("Algún S no es P ") es negativa ya que excluye al sujeto del predicado.
Una consideración importante es la definición de la palabra some . En lógica, some se refiere a "uno o más", lo cual es consistente con "all". Por lo tanto, la afirmación "Some S is P" no garantiza que la afirmación "Some S is not P" también sea verdadera.
Los dos términos (sujeto y predicado) de una proposición categórica pueden clasificarse como distribuidos o no distribuidos . Si todos los miembros de la clase del término se ven afectados por la proposición, esa clase es distribuida ; en caso contrario, es no distribuida . Por lo tanto, cada proposición tiene una de cuatro posibles distribuciones de términos .
Se examinará cada una de las cuatro formas canónicas en función de su distribución de términos. Aunque no se desarrollan aquí, los diagramas de Venn a veces resultan útiles para intentar comprender la distribución de términos de las cuatro formas.
Una proposición A distribuye el sujeto entre el predicado, pero no a la inversa. Consideremos la siguiente proposición categórica: "Todos los perros son mamíferos". Todos los perros son, en efecto, mamíferos, pero sería falso decir que todos los mamíferos son perros. Puesto que todos los perros están incluidos en la clase de los mamíferos, se dice que "perros" se distribuye entre "mamíferos". Puesto que no todos los mamíferos son necesariamente perros, "mamíferos" no se distribuye entre "perros".
Una proposición E se distribuye bidireccionalmente entre el sujeto y el predicado. De la proposición categórica "Ningún escarabajo es mamífero", podemos inferir que ningún mamífero es escarabajo. Como todos los escarabajos están definidos como no mamíferos, y todos los mamíferos están definidos como no escarabajos, ambas clases están distribuidas.
El conjunto vacío es un caso particular de distribución de clases de sujeto y predicado.
Ambos términos en una proposición I no son distribuidos. Por ejemplo, "Algunos estadounidenses son conservadores". Ningún término puede ser distribuido completamente al otro. A partir de esta proposición, no es posible decir que todos los estadounidenses son conservadores o que todos los conservadores son estadounidenses. Nótese la ambigüedad en la afirmación: podría significar que "Algunos estadounidenses (u otros) son conservadores" ( de dicto ), o podría significar que "Algunos estadounidenses (en particular, Albert y Bob) son conservadores" ( de re ).
En una proposición O , solo el predicado es distribuido. Consideremos lo siguiente: "Algunos políticos no son corruptos". Como no todos los políticos están definidos por esta regla, el sujeto no es distribuido. Sin embargo, el predicado es distribuido porque no todos los miembros de "personas corruptas" coincidirán con el grupo de personas definido como "algunos políticos". Como la regla se aplica a todos los miembros del grupo de personas corruptas, es decir, "No todas las personas corruptas son algunos políticos", el predicado es distribuido.
La distribución del predicado en una O -proposición es a menudo confusa debido a su ambigüedad. Cuando se dice que un enunciado como "Algunos políticos no son corruptos" distribuye el grupo "gente corrupta" entre "algunos políticos", la información parece tener poco valor, ya que el grupo "algunos políticos" no está definido; esta es la interpretación de dicto del enunciado intensional ( ), o "Algunos políticos (u otros) no son corruptos". Pero si, como ejemplo, este grupo de "algunos políticos" se definiera para contener una sola persona , Albert, la relación se vuelve más clara; esta es la interpretación de re del enunciado intensional ( ), o "Algunos políticos (en particular) no son corruptos". El enunciado significaría entonces que, de cada entrada listada en el grupo de personas corruptas, ninguna de ellas será Albert: "Todas las personas corruptas no son Albert". Esta es una definición que se aplica a todos los miembros del grupo "gente corrupta" y, por lo tanto, está distribuida.
En resumen, para que el sujeto sea distribuido, el enunciado debe ser universal (por ejemplo, “todos”, “no”). Para que el predicado sea distribuido, el enunciado debe ser negativo (por ejemplo, “no”, “no”). [5]
Peter Geach y otros han criticado el uso de la distribución para determinar la validez de un argumento. [6] [7]
Se ha sugerido que afirmaciones de la forma "Algunos A no son B" serían menos problemáticas si se formularan como "No todo A es B", [8] que es quizás una traducción más cercana a la forma original de Aristóteles para este tipo de afirmación. [9]
Otra crítica es que hay un pequeño paso desde "No todos los corruptos son políticos" a "No todos los corruptos son políticos" (ya sea que signifique "No hay personas corruptas que sean políticas" o "No todas las personas corruptas sean políticas", que son diferentes del original "Algunos políticos no son corruptos"), o a "No toda persona corrupta es un político" (también diferente).
Existen varias operaciones (por ejemplo, conversión, obversión y contraposición) que se pueden realizar en una proposición categórica para transformarla en otra. La nueva proposición puede ser o no equivalente a la original. [En las siguientes tablas que ilustran dichas operaciones, en cada fila, los recuadros son verdes si las proposiciones en un recuadro verde son equivalentes a las proposiciones en otro recuadro verde, los recuadros son rojos si las proposiciones en un recuadro rojo no son equivalentes a las proposiciones en otro recuadro rojo. Las proposiciones en un recuadro amarillo significan que están implícitas o son válidas por la proposición en el recuadro más a la izquierda cuando se satisface la condición establecida en el mismo recuadro amarillo.]
Algunas operaciones requieren el concepto de complemento de clase . Esto se refiere a cada elemento considerado que no es un elemento de la clase. Los complementos de clase son muy similares a los complementos de conjunto . El complemento de clase de un conjunto P se llamará "no P".
La operación más simple es la conversión, en la que se intercambian los términos sujeto y predicado. Nótese que esto no es lo mismo que la conversión inversa implicacional en la lógica moderna, en la que una declaración de implicación material se convierte (conversión) en otra declaración de implicación material . Ambas conversiones son equivalentes solo para declaraciones categóricas de tipo A.
De un enunciado en forma E o I es válido concluir su recíproco (ya que son equivalentes). No es el caso de las formas A y O.
La obversión cambia la cualidad (es decir, la afirmatividad o negatividad) del enunciado y del término predicado. [10] Por ejemplo, mediante la obversión, un enunciado afirmativo universal se convierte en un enunciado negativo universal con el término predicado que es el complemento de clase del término predicado del enunciado afirmativo universal original. En las formas modernas de los cuatro enunciados categóricos , la negación del enunciado correspondiente a un término predicado P, , se interpreta como un término predicado 'no-P' en cada enunciado categórico en obversión. La igualdad de se puede utilizar para obvertir enunciados categóricos afirmativos.
Los enunciados categóricos son lógicamente equivalentes a su anverso. Por lo tanto, un diagrama de Venn que ilustre cualquiera de las formas sería idéntico al diagrama de Venn que ilustre su anverso.
La contraposición es el proceso de intercambio y negación simultáneos del sujeto y predicado de un enunciado categórico. También es equivalente a convertir (aplicar la conversión) la obversión (el resultado de la obversión) de un enunciado categórico. Nótese que esta contraposición en la lógica tradicional no es lo mismo que la contraposición (también llamada transposición) en la lógica moderna, que establece que los enunciados de implicación material y son lógicamente equivalentes. Ambas contraposiciones son equivalentes solo para enunciados categóricos de tipo A.
La lógica de primer orden es una lógica mucho más expresiva que la que se da mediante proposiciones categóricas. En la lógica de primer orden, las cuatro formas se pueden expresar como:
Una declaración categórica es una afirmación o negación de que todos o algunos miembros de la clase sujeto están incluidos en la clase predicado.
Durante la Edad Media, los lógicos dieron a las cuatro formas categóricas los nombres especiales de A , E , I y O. Estas cuatro letras provenían de las dos primeras vocales de la palabra latina 'a ff i rmo' ('afirmo') y las vocales de la palabra latina 'n e g o' ('niego').
tiene una cualidad , ya sea afirmativa o negativa.
En el proceso de obversión , cambiamos la calidad de una proposición (de afirmativa a negativa o de negativa a afirmativa), y luego reemplazamos su predicado con la negación o complemento del predicado.
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![{\displaystyle \existe {x}[S_{x}\land P_{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b6175a337103efce3d9ff1f01cc4f33e6c8475)
![{\displaystyle \existe {x}[S_{x}\land \neg P_{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610698bbf59ec189624cdf9633ae4a086c402b2e)