En combinatoria , los números de Schröder-Hipparchus forman una secuencia entera que se puede utilizar para contar los plátanos con un conjunto dado de hojas, las formas de insertar paréntesis en una secuencia y las formas de diseccionar un polígono convexo en polígonos más pequeños insertando diagonales. Estos números comienzan
También se les llama números supercatalanos , pequeños números de Schröder o números de Hiparco , en honor a Eugène Charles Catalan y sus números catalanes , Ernst Schröder y los números de Schröder estrechamente relacionados , y el antiguo matemático griego Hiparco, quien, según la evidencia de Plutarco, parece haber conocido estos números.
Los números de Schröder-Hipparchus se pueden utilizar para contar varios objetos combinatorios estrechamente relacionados: [1] [2] [3] [4]
Como muestra la figura, existe una equivalencia combinatoria simple entre estos objetos: una subdivisión de polígono tiene un árbol plano como forma de su gráfico dual , las hojas del árbol corresponden a los símbolos en una secuencia entre paréntesis, y los nodos internos del árbol distintos de la raíz corresponden a grupos entre paréntesis. La secuencia entre paréntesis en sí puede escribirse alrededor del perímetro del polígono con sus símbolos en los lados del polígono y con paréntesis en los puntos finales de las diagonales seleccionadas. Esta equivalencia proporciona una prueba biyectiva de que todos estos tipos de objetos se cuentan mediante una única secuencia entera. [2]
Los mismos números también cuentan las permutaciones dobles (secuencias de números del 1 al n , cada número aparece dos veces, con las primeras apariciones de cada número en orden ordenado) que evitan los patrones de permutación 12312 y 121323. [5]
Los números de Schröder, estrechamente relacionados, son grandes y equivalen al doble de los números de Schröder-Hipparchus, y también pueden utilizarse para contar varios tipos de objetos combinatorios, incluidos ciertos tipos de caminos reticulares, particiones de un rectángulo en rectángulos más pequeños mediante cortes recursivos y paréntesis en los que también se permite un par de paréntesis que rodee toda la secuencia de elementos. Los números de Catalan también cuentan conjuntos de objetos estrechamente relacionados, incluidas subdivisiones de un polígono en triángulos, árboles planos en los que todos los nodos internos tienen exactamente dos hijos y paréntesis en los que cada par de paréntesis rodea exactamente dos símbolos o grupos entre paréntesis. [3]
La secuencia de números Catalan y la secuencia de números Schröder–Hipparchus, vistas como vectores de dimensión infinita , son los vectores propios únicos para los dos primeros en una secuencia de operadores lineales definidos naturalmente en secuencias de números. [6] [7] De manera más general, la k ésima secuencia en esta secuencia de secuencias enteras es ( x 1 , x 2 , x 3 , ...) donde los números x n se calculan como las sumas de los números de Narayana multiplicadas por potencias de k . Esto se puede expresar como una función hipergeométrica :
Sustituyendo k = 1 en esta fórmula obtenemos los números de Catalan y sustituyendo k = 2 en esta fórmula obtenemos los números de Schröder-Hipparchus. [7]
En relación con la propiedad de los números de Schröder-Hipparchus de contar las caras de un asociaedro, el número de vértices del asociaedro viene dado por los números de Catalan. Los números correspondientes para el permutoedro son respectivamente los números de Bell ordenados y los factoriales .
Además de la fórmula de suma anterior, los números de Schröder-Hipparchus pueden definirse mediante una relación de recurrencia :
Stanley demuestra este hecho utilizando funciones generadoras [8] mientras que Foata y Zeilberger proporcionan una prueba combinatoria directa. [9]
El diálogo de Plutarco Conversaciones sobre la mesa contiene el verso:
Esta afirmación no tuvo explicación hasta 1994, cuando David Hough, un estudiante de posgrado de la Universidad George Washington , observó que hay 103049 formas de insertar paréntesis en una secuencia de diez elementos. [1] [8] [10] El historiador de las matemáticas Fabio Acerbi ( CNRS ) ha demostrado que se puede proporcionar una explicación similar para el otro número: está muy cerca del promedio de los números décimo y undécimo de Schröder-Hipparchus, 310954, y cuenta los paréntesis de diez términos junto con una partícula negativa. [10]
El problema de contar paréntesis fue introducido en las matemáticas modernas por Schröder (1870). [11]
El relato de Plutarco de los dos números de Hiparco registra un desacuerdo entre Hiparco y el filósofo estoico anterior Crisipo , quien había afirmado que el número de proposiciones compuestas que se pueden hacer a partir de 10 proposiciones simples excede el millón. La filósofa contemporánea Susanne Bobzien (2011) ha argumentado que el cálculo de Crisipo era el correcto, basándose en su análisis de la lógica estoica . Bobzien reconstruye los cálculos tanto de Crisipo como de Hiparco, y dice que mostrar cómo Hiparco acertó en sus matemáticas pero se equivocó en su lógica estoica puede arrojar nueva luz sobre las nociones estoicas de conjunciones y asertables. [12]
