Hoja mundial

Concepto matemático

En teoría de cuerdas , una hoja de mundo es una variedad bidimensional que describe la incrustación de una cuerda en el espacio-tiempo . ^[1] El término fue acuñado por Leonard Susskind ^[2] como una generalización directa del concepto de línea mundial para una partícula puntual en la relatividad especial y general .

El tipo de cuerda, la geometría del espacio-tiempo en el que se propaga y la presencia de campos de fondo de largo alcance (como los campos de calibre ) están codificados en una teoría de campos conforme bidimensional definida en la hoja del mundo. Por ejemplo, la cuerda bosónica en 26 dimensiones tiene una teoría de campo conforme de hoja mundial que consta de 26 bosones escalares libres . Mientras tanto, una teoría de la hoja de mundos de supercuerdas en 10 dimensiones consta de 10 campos escalares libres y sus supercompañeros fermiónicos .

formulación matemática

cuerda bosónica

Comenzamos con la formulación clásica de la cuerda bosónica.

Primero arregle un espacio-tiempo plano de dimensiones ( espacio de Minkowski de dimensiones ), que sirve como espacio ambiental para la cuerda. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

Una hoja de mundo es entonces una superficie incrustada , es decir, una variedad 2 incrustada , de modo que la métrica inducida tiene firma en todas partes. En consecuencia , es posible definir localmente coordenadas donde sean temporales y espaciales . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \hookrightarrow M}$ ${\displaystyle (-,+)}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Las cuerdas se clasifican además en abiertas y cerradas. La topología de la hoja mundial de una cadena abierta es , donde , un intervalo cerrado, y admite un gráfico de coordenadas globales con y . ${\displaystyle \mathbb {R} \times I}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ ${\displaystyle 0\leq \sigma \leq 1}$

Mientras tanto, la topología de la hoja mundial de una cadena cerrada ^[3] es y admite 'coordenadas' con y . Es decir, es una coordenada periódica con la identificación . La descripción redundante (usando cocientes) se puede eliminar eligiendo un representante . ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \sigma <2\pi }$

Métrica de hoja mundial

Para definir la acción de Polyakov , la hoja del mundo está equipada con una métrica de la hoja del mundo ^[4] , que también tiene firma pero es independiente de la métrica inducida. ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle (-,+)}$

Dado que las transformaciones de Weyl se consideran una redundancia de la estructura métrica, se considera que la hoja mundial está equipada con una clase conforme de métricas . Luego define los datos de una variedad conforme con firma . ${\displaystyle [\mathbf {g} ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,[\mathbf {g} ])}$ ${\displaystyle (-,+)}$

Referencias

1. Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pedro; Sénéchal, David (1997). Teoría de campos conforme . pag. 8. doi :10.1007/978-1-4612-2256-9. ISBN 978-1-4612-2256-9.
2. Susskind, Leonard (1970). "Teoría dual-simétrica de los hadrones, I". Nuevo Cimento A. 69 (1): 457–496.
3. Pinzas, David. "Conferencias sobre teoría de cuerdas". Conferencias de Física Teórica . Consultado el 14 de agosto de 2022 .
4. Polchinski, José (1998). Teoría de cuerdas, Volumen 1: Introducción a la cuerda bosónica .