En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un monoide (u objeto monoide , o monoide interno , o álgebra ) ( M , μ , η ) en una categoría monoide ( C , ⊗, I ) es un objeto M junto con dos morfismos
- μ : M ⊗ M → M llamado multiplicación ,
- η : I → M llamada unidad ,
tal que el diagrama del pentágono
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y el diagrama unitario
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
desplazarse . En la notación anterior, 1 es el morfismo de identidad de M , I es el elemento unitario y α , λ y ρ son respectivamente la asociatividad, la identidad izquierda y la identidad derecha de la categoría monoide C.
Dualmente, un comonoide en una categoría monoide C es un monoide en la categoría dual C op .
Supongamos que la categoría monoidal C tiene una simetría γ . Un monoide M en C es conmutativo cuando μ ∘ γ = μ .
Ejemplos
- Un objeto monoide en Conjunto , la categoría de conjuntos (con la estructura monoide inducida por el producto cartesiano ), es un monoide en el sentido habitual.
- Un objeto monoide en Top , la categoría de espacios topológicos (con la estructura monoide inducida por la topología del producto ), es un monoide topológico .
- Un objeto monoide en la categoría de monoides (con el producto directo de monoides) es simplemente un monoide conmutativo . Esto se desprende fácilmente del argumento de Eckmann-Hilton .
- Un objeto monoide en la categoría de semirrejillas de unión completas Sup (con la estructura monoide inducida por el producto cartesiano) es un cuantal unital .
- Un objeto monoide en ( Ab , ⊗ Z , Z ) , la categoría de los grupos abelianos , es un anillo .
- Para un anillo conmutativo R , un objeto monoide en
- Un objeto monoide en K - Vect , la categoría de K -espacios vectoriales (de nuevo, con el producto tensorial), es una K - álgebra asociativa unital , y un objeto comonoide es una K - coalgebra .
- Para cualquier categoría C , la categoría [ C , C ] de sus endofunctores tiene una estructura monoidal inducida por la composición y el funtor identidad I C. Un objeto monoide en [ C , C ] es una mónada en C .
- Para cualquier categoría con un objeto terminal y productos finitos , cada objeto se convierte en un objeto comonoide mediante el morfismo diagonal Δ X : X → X × X. Dualmente en una categoría con un objeto inicial y coproductos finitos, cada objeto se convierte en un objeto monoide a través de id X ⊔ id X : X ⊔ X → X .
Categorías de monoides
Dados dos monoides ( M , μ , η ) y ( M ′, μ ′, η ′) en una categoría monoide C , un morfismo f : M → M ′ es un morfismo de monoides cuando
- f ∘ μ = μ ′ ∘ ( f ⊗ f ),
- f ∘ η = η ′.
En otras palabras, los siguientes diagramas
,![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
desplazarse.
La categoría de monoides en C y sus morfismos monoides se escribe Mon C. [1]
Ver también
- Act-S , la categoría de monoides que actúan sobre conjuntos.
Referencias
- ^ Sección VII.3 en Mac Lane, Saunders (1988). Categorías para el matemático que trabaja (4ª edición impresa corregida). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90035-7.
- Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mijálov, Alejandro V. (2000). Monoides, actos y categorías . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015248-7.