Cuatro momentos

Energía y momento relativistas 4D

En relatividad especial , el cuadrimpulso (también llamado momento-energía o momento-energía ^[1] ) es la generalización del momento tridimensional clásico al espacio-tiempo cuatridimensional . El momento es un vector en tres dimensiones ; de manera similar, el cuadrimpulso es un cuatrivector en el espacio-tiempo . El cuadrimpulso contravariante de una partícula con energía relativista E y cuadrimpulso p = ( p _x , p _y , p _z ) = γm v , donde v es la cuadrimpulso-velocidad de la partícula y γ el factor de Lorentz , es $${\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

La cantidad m v de arriba es el momento no relativista ordinario de la partícula y m su masa en reposo . El cuadri-momento es útil en los cálculos relativistas porque es un vector covariante de Lorentz . Esto significa que es fácil hacer un seguimiento de cómo se transforma bajo transformaciones de Lorentz .

Norma de Minkowski

Calcular la norma de Minkowski al cuadrado del cuadrimpulso da una cantidad invariante de Lorentz igual (hasta factores de la velocidad de la luz c ) al cuadrado de la masa propia de la partícula : donde es el tensor métrico de la relatividad especial con signatura métrica para la definitividad elegida para ser (–1, 1, 1, 1) . La negatividad de la norma refleja que el impulso es un cuadrimpulso temporal para partículas masivas. La otra opción de signatura invertiría los signos en ciertas fórmulas (como para la norma aquí). Esta elección no es importante, pero una vez hecha debe mantenerse por coherencia en todo momento. $${\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}$$ $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

La norma de Minkowski es invariante respecto de Lorentz, lo que significa que su valor no cambia con las transformaciones o potenciaciones de Lorentz en diferentes marcos de referencia. En términos más generales, para dos momentos de cuatro momentos cualesquiera p y q , la cantidad p ⋅ q es invariante.

Relación con cuatro velocidades

Para una partícula masiva, el cuadrimpulso viene dado por la masa invariante de la partícula m multiplicada por la cuadrimpulso-velocidad de la partícula , donde la cuadrimpulso-velocidad u es y es el factor de Lorentz (asociado con la velocidad ), c ​​es la velocidad de la luz . $${\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },}$$ $${\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}$$ $${\displaystyle \gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$ ${\displaystyle v}$

Derivación

Hay varias maneras de llegar a la expresión correcta para el cuadrimpulso. Una manera es definir primero el cuadrimpulso u = dx / dτ y simplemente definir p = mu , estando satisfechos de que es un cuadrimpulso con las unidades correctas y el comportamiento correcto. Otro enfoque, más satisfactorio, es comenzar con el principio de mínima acción y usar el marco de Lagrange para derivar el cuadrimpulso, incluyendo la expresión para la energía. ^[2] Uno puede de inmediato, usando las observaciones detalladas a continuación, definir el cuadrimpulso a partir de la acción S . Dado que en general para un sistema cerrado con coordenadas generalizadas q _i y momentos canónicos p _i , ^[3] es inmediato (recordando x ⁰ = ct , x ¹ = x , x ² = y , x ³ = z y x ₀ = − x ⁰ , x ₁ = x ¹ , x ₂ = x ² , x ₃ = x ³ en la convención métrica actual) que es un cuatrivector covariante con la parte de tres vectores siendo el (negativo del) momento canónico. $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},}$$ $${\displaystyle p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)}$$

Observaciones

Consideremos inicialmente un sistema de un grado de libertad q . En la derivación de las ecuaciones de movimiento a partir de la acción utilizando el principio de Hamilton , se encuentra (generalmente) en una etapa intermedia para la variación de la acción, $${\displaystyle \delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.}$$

La suposición es entonces que los caminos variados satisfacen δq ( t ₁ ) = δq ( t ₂ ) = 0 , de donde se siguen inmediatamente las ecuaciones de Lagrange . Cuando se conocen las ecuaciones de movimiento (o simplemente se supone que se satisfacen), se puede prescindir del requisito δq ( t ₂ ) = 0 . En este caso se supone que el camino satisface las ecuaciones de movimiento, y la acción es una función del límite de integración superior δq ( t ₂ ) , pero t ₂ sigue siendo fijo. La ecuación anterior se convierte en S = S ( q ) , y definiendo δq ( t ₂ ) = δq , y permitiendo introducir más grados de libertad, $${\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.}$$

Observando que uno concluye $${\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},}$$ $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.}$$

De manera similar, mantenga los puntos finales fijos, pero permita que t ₂ = t varíe. Esta vez, se permite que el sistema se mueva a través del espacio de configuración a "velocidad arbitraria" o con "más o menos energía", las ecuaciones de campo aún se suponen que se cumplen y la variación se puede realizar en la integral, pero en su lugar observe el teorema fundamental del cálculo . Calcule utilizando la expresión anterior para los momentos canónicos, $${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=L}$$ $${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.}$$

Ahora, usando donde H es el hamiltoniano , se llega a, ya que E = H en el presente caso, $${\displaystyle H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,}$$ $${\displaystyle E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.}$$

Por cierto, usando H = H ( q , p , t ) con p = ⁠∂ S/∂ q⁠ en la ecuación anterior se obtienen las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . En este contexto, S se denomina función principal de Hamilton .

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La acción S está dada por donde L es el lagrangiano relativista para una partícula libre. De esto, $${\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

Pasando por alto estos detalles,

La variación de la acción es $${\displaystyle \delta S=-mc\int \delta ds.}$$

Para calcular δds , observe primero que δds ² = 2 dsδds y que $${\displaystyle \delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.}$$

Entonces o y por lo tanto cual es simplemente $${\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},}$$ $${\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,}$$ $${\displaystyle \delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau }$$ $${\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds}$$

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$${\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },}$$

donde el segundo paso emplea las ecuaciones de campo du ^μ / ds = 0 , ( δx ^μ ) _{t 1} = 0 , y ( δx ^μ ) _{t 2} ≡ δx ^μ como en las observaciones anteriores. Ahora compare las últimas tres expresiones para encontrar con norma − m ² c ² , y el famoso resultado para la energía relativista, $${\displaystyle p^{\mu }=-\partial ^{\mu }[S]=-{\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),}$$

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},}$

donde m _r es la masa relativista ahora pasada de moda , se deduce. Al comparar directamente las expresiones para el momento y la energía, se tiene

${\displaystyle \mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},}$

Esto también es válido para partículas sin masa. Elevando al cuadrado las expresiones de energía y momento triestacionario y relacionándolas se obtiene la relación energía-momento ,

${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.}$

Sustituyendo la norma en la ecuación se obtiene la ecuación relativista de Hamilton-Jacobi , ^[4] $${\displaystyle p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}}$$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.}$

También es posible derivar los resultados del lagrangiano directamente. Por definición, ^[5] constituyen las fórmulas estándar para el momento y la energía canónicos de un sistema cerrado (lagrangiano independiente del tiempo). Con este enfoque, resulta menos claro que la energía y el momento sean partes de un cuatrivector. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}}$$

La energía y el momento triestacionario son magnitudes que se conservan por separado para sistemas aislados en el marco lagrangiano. Por lo tanto, el momento tetraestacionario también se conserva. Más información al respecto a continuación.

Los enfoques más pedestres incluyen el comportamiento esperado en electrodinámica. ^[6] En este enfoque, el punto de partida es la aplicación de la ley de fuerza de Lorentz y la segunda ley de Newton en el marco de reposo de la partícula. Las propiedades de transformación del tensor de campo electromagnético, incluida la invariancia de la carga eléctrica , se utilizan luego para transformar al marco de laboratorio, y la expresión resultante (de nuevo la ley de fuerza de Lorentz) se interpreta en el espíritu de la segunda ley de Newton, lo que conduce a la expresión correcta para el momento trifásico relativista. La desventaja, por supuesto, es que no está inmediatamente claro que el resultado se aplique a todas las partículas, ya sean cargadas o no, y que no produce el cuatro-vector completo.

También es posible evitar el electromagnetismo y utilizar experimentos de pensamiento bien ajustados que involucren a físicos bien entrenados que lanzan bolas de billar, utilizando el conocimiento de la fórmula de adición de velocidad y asumiendo la conservación del momento. ^{[7] [8]} Esto también da solo la parte de tres vectores.

Conservación de cuatro momentos

Como se muestra arriba, hay tres leyes de conservación (no independientes, las dos últimas implican la primera y viceversa):

• El momento cuaternario p (ya sea covariante o contravariante) se conserva.
• La energía total E = p ⁰ c se conserva.
• El momento del espacio tridimensional se conserva (no debe confundirse con el momento no relativista clásico ). ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)}$ ${\displaystyle m\mathbf {v} }$

Obsérvese que la masa invariante de un sistema de partículas puede ser mayor que la suma de las masas en reposo de las partículas, ya que la energía cinética en el marco del centro de masas del sistema y la energía potencial de las fuerzas entre las partículas contribuyen a la masa invariante. Como ejemplo, dos partículas con cuatro momentos (5 GeV/ c , 4 GeV/ c , 0, 0) y (5 GeV/ c , −4 GeV/ c , 0, 0) tienen cada una una masa (en reposo) de 3  GeV/ c ² por separado, pero su masa total (la masa del sistema) es 10  GeV/ c ² . Si estas partículas colisionaran y se pegaran, la masa del objeto compuesto sería 10  GeV/ c ² .

Una aplicación práctica de la física de partículas de la conservación de la masa invariante implica la combinación de los cuatro momentos p _A y p _B de dos partículas hijas producidas en la desintegración de una partícula más pesada con el cuatro momentos p _C para encontrar la masa de la partícula más pesada. La conservación del cuatro momentos da p _C ^μ = p _A ^μ + p _B ^μ , mientras que la masa M de la partícula más pesada está dada por − P _C ⋅ P _C = M ² c ² . Al medir las energías y los tres momentos de las partículas hijas, se puede reconstruir la masa invariante del sistema de dos partículas, que debe ser igual a M . Esta técnica se utiliza, por ejemplo, en búsquedas experimentales de bosones Z′ en colisionadores de partículas de alta energía , donde el bosón Z′ aparecería como una protuberancia en el espectro de masa invariante de pares electrón - positrón o muón -antimuón.

Si la masa de un objeto no cambia, el producto interno de Minkowski de su cuadrimpulso y su correspondiente cuadrimpulso A ^μ es simplemente cero. El cuadrimpulso es proporcional a la derivada temporal propia del cuadrimpulso dividida por la masa de la partícula, por lo que $${\displaystyle p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.}$$

Momento canónico en presencia de un potencial electromagnético

Para una partícula cargada de carga q , que se mueve en un campo electromagnético dado por el potencial cuadripotencial electromagnético : donde φ es el potencial escalar y A = ( A _x , A _y , A _z ) el potencial vectorial , los componentes del cuadripotencial de momento canónico (no invariante de calibre ) P son $${\displaystyle A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)}$$ $${\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.}$$

Esto, a su vez, permite que la energía potencial de la partícula cargada en un potencial electrostático y la fuerza de Lorentz sobre la partícula cargada que se mueve en un campo magnético se incorporen de forma compacta, en la mecánica cuántica relativista .

Cuatro momentos en el espacio-tiempo curvo

En el caso de que exista un sistema físico en movimiento con una distribución continua de materia en el espacio-tiempo curvo, la expresión primaria para el cuadrimpulso es el cuadrimpulso con índice covariante: ^[9]

${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {P} \right).}$

El cuadrimpulso se expresa a través de la energía del sistema físico y del cuadrimpulso relativista . Al mismo tiempo, el cuadrimpulso se puede representar como la suma de dos cuadrimpulsos no locales de tipo integral: ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P_{\mu }}$

${\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+K_{\mu }.}$

El cuatro-vector es el cuatro-momento generalizado asociado con la acción de los campos sobre las partículas; el cuatro-vector es el cuatro-momento de los campos que surgen de la acción de las partículas sobre los campos. ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$

La energía y el momento , así como los componentes de los cuatro vectores , se pueden calcular si se da la densidad lagrangiana del sistema. Se obtienen las siguientes fórmulas para la energía y el momento del sistema: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}}$

${\displaystyle E=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)\cdot \mathbf {v} u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}-\int _{V}\left({\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}\left(\mathbf {v} _{n}\cdot {\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}\right).}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}.}$

Aquí está la parte de la densidad lagrangiana que contiene términos con cuatro corrientes; es la velocidad de las partículas de materia; es el componente temporal de la cuatro-velocidad de las partículas; es determinante del tensor métrico; es la parte del lagrangiano asociada con la densidad lagrangiana ; es la velocidad de una partícula de materia con número . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle u^{0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L_{f}=\int _{V}{\mathcal {L}}_{f}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Portal de física

• Cuatro fuerzas
• Cuatro gradientes
• Pseudovector de Pauli-Lubanski

Referencias

1. Taylor, Edwin; Wheeler, John (1992). Física del espacio-tiempo: introducción a la relatividad especial . Nueva York: WH Freeman and Company. pág. 191. ISBN 978-0-7167-2327-1.
2. Landau y Lifshitz 2000, págs. 25-29
3. Landau y Lifshitz 1975, págs. 139
4. Landau y Lifshitz 1975, pág. 30
5. Landau y Lifshitz 1975, págs. 15-16
6. Sard 1970, Sección 3.1
7. Sard 1970, Sección 3.2
8. Lewis y Tolman, versión Wikisource de 1909
9. Fedosin, Sergey G. (18 de abril de 2024). "¿Qué debemos entender por el sistema físico de cuatro momentos?". Physica Scripta . 99 (5): 055034. Bibcode :2024PhyS...99e5034F. doi :10.1088/1402-4896/ad3b45. S2CID  268967902.

• Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Reading, Mass.: Addison–Wesley Pub. Co. ISBN 978-0201029185.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975) [1939]. Mecánica . Traducido del ruso por JB Sykes y JS Bell . (3.ª ed.). Ámsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (2000). La teoría clásica de campos . 4.ª edición en inglés, reimpresa con correcciones; traducida del ruso por Morton Hamermesh. Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0.
• Sard, RD (1970). Mecánica relativista: relatividad especial y dinámica clásica de partículas . Nueva York: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.
• Lewis, GN ; Tolman, RC (1909). "El principio de relatividad y la mecánica no newtoniana". Phil. Mag . 6. 18 (106): 510–523. doi :10.1080/14786441008636725.Versión de Wikisource