En matemáticas , una ecuación modular es una ecuación algebraica que se satisface mediante módulos , [1] en el sentido de problemas de módulos . Es decir, dadas varias funciones en un espacio de módulos , una ecuación modular es una ecuación que se cumple entre ellas, o en otras palabras, una identidad para los módulos.
El uso más frecuente del término ecuación modular está relacionado con el problema de módulos para curvas elípticas . En ese caso, el espacio de módulos en sí mismo es de dimensión uno. Eso implica que dos funciones racionales cualesquiera F y G , en el campo de funciones de la curva modular, satisfarán una ecuación modular P ( F , G ) = 0 con P un polinomio distinto de cero de dos variables sobre los números complejos . Para una elección no degenerada adecuada de F y G , la ecuación P ( X , Y ) = 0 definirá realmente la curva modular.
Esto se puede matizar diciendo que P , en el peor de los casos, será de alto grado y la curva plana que define tendrá puntos singulares ; y los coeficientes de P pueden ser números muy grandes. Además, las "cúspides" del problema de los módulos, que son los puntos de la curva modular que no corresponden a curvas elípticas honestas sino a casos degenerados, pueden ser difíciles de leer a partir del conocimiento de P .
En ese sentido, una ecuación modular se convierte en la ecuación de una curva modular . Estas ecuaciones surgieron por primera vez en la teoría de la multiplicación de funciones elípticas (geométricamente, la función de recubrimiento n - 2 de un toro 2 sobre sí mismo dada por la función x → n · x sobre el grupo subyacente) expresada en términos de análisis complejo .