Función lambda modular

Función holomorfa simétrica

Función lambda modular en el plano complejo.

En matemáticas , la función lambda modular λ(τ) ^{[nota 1] es una} función holomorfa altamente simétrica en el semiplano superior complejo . Es invariante bajo la acción lineal fraccionaria del grupo de congruencia Γ(2), y genera el cuerpo de funciones del cociente correspondiente, es decir, es un Hauptmodul para la curva modular X (2). Sobre cualquier punto τ, su valor puede describirse como una razón cruzada de los puntos de ramificación de una doble cobertura ramificada de la línea proyectiva por la curva elíptica , donde la función se define como el cociente por la involución [−1]. ${\displaystyle \mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle }$

La expansión q, donde es el nombre , viene dada por: ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle \lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots }$. OEIS : A115977

Al simetrizar la función lambda bajo la acción canónica del grupo simétrico S ₃ sobre X (2), y luego normalizar adecuadamente, se obtiene una función en el semiplano superior que es invariante bajo el grupo modular completo , y de hecho es la j-invariante modular de Klein . ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Una gráfica de x→ λ(ix)

Propiedades modulares

La función es invariante bajo el grupo generado por ^[1] ${\displaystyle \lambda (\tau )}$

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +2\ ;\ \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}\ .}$

Los generadores del grupo modular actúan por ^[2]

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +1\ :\ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}}\,;}$

${\displaystyle \tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\ :\ \lambda \mapsto 1-\lambda \ .}$

En consecuencia, la acción del grupo modular sobre es la del grupo anarmónico , dando los seis valores de la relación cruzada : ^[3] ${\displaystyle \lambda (\tau )}$

${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .}$

Relaciones con otras funciones

Es el cuadrado del módulo elíptico, ^[4] es decir, . En términos de la función eta de Dedekind y las funciones theta , ^[4] ${\displaystyle \lambda (\tau )=k^{2}(\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

${\displaystyle \lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}}$

y,

${\displaystyle {\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}}$

donde ^[5]

${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}}$

${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}}}$

${\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}}$

En términos de los semiperíodos de las funciones elípticas de Weierstrass , sea un par fundamental de períodos con . ${\displaystyle [\omega _{1},\omega _{2}]}$ ${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$

${\displaystyle e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$

tenemos ^[4]

${\displaystyle \lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.}$

Dado que los tres valores de semiperíodo son distintos, esto demuestra que no toma el valor 0 o 1. ^[4] ${\displaystyle \lambda }$

La relación con el j-invariante es ^{[6] [7]}

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}$

que es el j -invariante de la curva elíptica de la forma de Legendre ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

Dado , sea ${\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

${\displaystyle \tau =i{\frac {K\{1-m\}}{K\{m\}}}}$

donde es la integral elíptica completa de primera especie con parámetro . Entonces ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$

${\displaystyle \lambda (\tau )=m.}$

Ecuaciones modulares

La ecuación modular de grado (donde es un número primo) es una ecuación algebraica en y . Si y , las ecuaciones modulares de grados son, respectivamente, ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda (p\tau )}$ ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ ${\displaystyle \lambda (p\tau )=u^{8}}$ ${\displaystyle \lambda (\tau )=v^{8}}$ ${\displaystyle p=2,3,5,7}$

${\displaystyle (1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,}$

${\displaystyle u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2})=0,}$

${\displaystyle u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,}$

${\displaystyle (1-u^{8})(1-v^{8})-(1-uv)^{8}=0.}$

La cantidad (y por lo tanto ) puede considerarse como una función holomorfa en el semiplano superior : ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

Dado que , las ecuaciones modulares se pueden utilizar para dar valores algebraicos de para cualquier primo . ^{[nota 2]} Los valores algebraicos de también se dan por ^{[9] [nota 3]} ${\displaystyle \lambda (i)=1/2}$ ${\displaystyle \lambda (pi)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda (ni)}$

${\displaystyle \lambda (ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{even}})}$

${\displaystyle \lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{odd}})}$

donde es el seno de la lemniscata y es la constante de la lemniscata . ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \varpi }$

Estrella lambda

Definición y cálculo de lambda-estrella

La función ^[10] (donde ) da el valor del módulo elíptico , para el cual la integral elíptica completa de primer tipo y su contraparte complementaria están relacionadas por la siguiente expresión: ${\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K(k)}$ ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})}$

${\displaystyle {\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}}$

Los valores de se pueden calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}}$

Las funciones y están relacionadas entre sí de esta manera: ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}}$

Propiedades de la estrella lambda

Cada valor de un número racional positivo es un número algebraico positivo : ${\displaystyle \lambda ^{*}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}.}$

${\displaystyle K(\lambda ^{*}(x))}$y (la integral elíptica completa de segundo tipo ) se puede expresar en forma cerrada en términos de la función gamma para cualquier , como Selberg y Chowla demostraron en 1949. ^{[11] [12]} ${\displaystyle E(\lambda ^{*}(x))}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ^{+}}$

La siguiente expresión es válida para todos : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]}$

donde es la función elíptica de Jacobi delta amplitudinis con módulo . ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle k}$

Conociendo un valor, se puede utilizar esta fórmula para calcular valores relacionados: ^[9] ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \lambda ^{*}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}}$

donde y es la función elíptica de Jacobi seno amplitudinis con módulo . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle k}$

Otras relaciones:

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1}$

${\displaystyle [\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}}$$

Invariantes de clase de Ramanujan

Los invariantes de clase de Ramanujan se definen como ^[13] ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}}$

${\displaystyle G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),}$

${\displaystyle g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),}$

donde . Para tal , los invariantes de clase son números algebraicos. Por ejemplo ${\displaystyle n\in \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {10}}+3)}}.}$

Las identidades con los invariantes de clase incluyen ^[14]

${\displaystyle G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}.}$

Las invariantes de clase están muy relacionadas con las funciones modulares de Weber y . Estas son las relaciones entre lambda-star y las invariantes de clase: ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}}$

${\displaystyle G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]}$

${\displaystyle g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}}$

Otras apariciones

Teorema del pequeño Picard

La función lambda se utiliza en la prueba original del teorema de Little Picard , que establece que una función completa no constante en el plano complejo no puede omitir más de un valor. Este teorema fue demostrado por Picard en 1879. ^[15] Supóngase, si es posible, que f es entera y no toma los valores 0 y 1. Como λ es holomorfa, tiene una inversa holomorfa local ω definida lejos de 0,1,∞. Considere la función z → ω( f ( z )). Por el teorema de la monodromía, esta es holomorfa y mapea el plano complejo C al semiplano superior. A partir de esto es fácil construir una función holomorfa desde C al disco unitario, que por el teorema de Liouville debe ser constante. ^[16]

Luz de la luna

La función es el Hauptmodul normalizado para el grupo , y su q -expansión , OEIS : A007248 donde , es el carácter graduado de cualquier elemento en la clase de conjugación 4C del grupo monstruo que actúa sobre el álgebra de vértices monstruo . ${\displaystyle \tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(4)}$ ${\displaystyle q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots }$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

Notas al pie

1. Chandrasekharan (1985) p.115
2. Chandrasekharan (1985) p.109
3. Chandrasekharan (1985) p.110
4. Chandrasekharan (1985) p.108
5. Chandrasekharan (1985) pág. 63
6. Chandrasekharan (1985) p.117
7. Rankin (1977) págs. 226-228
8. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 103–109, 134
9. Jacobi, Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (en latín).pág. 42
10. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 152
11. Chowla, S.; Selberg, A. (1949). "Sobre la función zeta de Epstein (I)". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041 . S2CID  45071481. 
12. Chowla, S.; Selberg, A. "Sobre la función zeta de Epstein". EuDML . págs. 86–110.
13. Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (6 de junio de 1997). "Invariantes de clase de Ramanujan, fórmula límite de Kronecker y ecuaciones modulares". Transactions of the American Mathematical Society . 349 (6): 2125–2173.
14. Eymard, Pedro; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (en francés). HERMANO. ISBN 2705614435.pág. 240
15. Chandrasekharan (1985) p.121
16. Chandrasekharan (1985) p.118

Referencias

Notas

1. no es una función modular (según la definición de Wikipedia), pero toda función modular es una función racional en . Algunos autores utilizan una definición no equivalente de "funciones modulares". ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ ${\displaystyle \lambda (\tau )}$
2. Para cualquier potencia prima , podemos iterar la ecuación modular de grado . Este proceso se puede utilizar para dar valores algebraicos de para cualquier ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda (ni)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$
3. es algebraico para cada ${\displaystyle \operatorname {sl} a\varpi }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} .}$

Otro

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl  0543.33001
• Chandrasekharan, K. (1985), Funciones elípticas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag , págs. 108-121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl  0575.33001
• Conway, John Horton ; Norton, Simon (1979), "Luz de luna monstruosa", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 11 (3): 308–339, doi :10.1112/blms/11.3.308, MR  0554399, Zbl  0424.20010
• Rankin, Robert A. (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X, Zbl0376.10020 ​
• Reinhardt, WP; Walker, PL (2010), "Función modular elíptica", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.

• Borwein, JM y Borwein, PB Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional. Nueva York: Wiley, págs. 139 y 298, 1987.

• Conway, JH y Norton, SP "Monstrous Moonshine". Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.

• Selberg, A. y Chowla, S. "Sobre la función zeta de Epstein". J. Reine Angew. Math. 227, 86-110, 1967.

Enlaces externos

• Función lambda modular en Fungrim