En la teoría de conjuntos , una rama de la lógica matemática , un modelo interno [1] para una teoría T es una subestructura de un modelo M de una teoría de conjuntos que es a la vez un modelo para T y contiene todos los ordinales de M.
Sea el lenguaje de la teoría de conjuntos. Sea S una teoría de conjuntos particular, por ejemplo los axiomas de ZFC y sea (posiblemente lo mismo que S ) también una teoría en .
Si es un modelo para y es una estructura tal que
entonces decimos que es un modelo interno de (en ). [2] Generalmente será igual (o subsumirá) , por lo que es un modelo para 'dentro' del modelo de .
Si solo se cumplen las condiciones 1 y 2, N se llama modelo estándar de T (en M ) , submodelo estándar de T (si S = T y) N es un conjunto en M. Un modelo N de T en M se llama transitivo cuando es estándar y se cumple la condición 3. Si no se asume el axioma de fundamento (es decir, no está en S ), a estos tres conceptos se les da la condición adicional de que N esté bien fundamentado . Por tanto, los modelos internos son transitivos, los modelos transitivos son estándar y los modelos estándar están bien fundamentados.
La suposición de que existe un submodelo estándar de ZFC (en un universo determinado) es más fuerte que la suposición de que existe un modelo. De hecho, si hay un submodelo estándar, entonces hay un submodelo estándar más pequeño llamado modelo mínimo contenido en todos los submodelos estándar. El submodelo mínimo no contiene ningún submodelo estándar (ya que es mínimo) pero (asumiendo la consistencia de ZFC) contiene algún modelo de ZFC según el teorema de completitud de Gödel . Este modelo no está necesariamente bien fundamentado, de lo contrario su colapso de Mostowski sería un submodelo estándar. (No está bien fundamentado como relación en el universo, aunque satisface el axioma de fundamento , por lo que está "internamente" bien fundamentado. Estar bien fundado no es una propiedad absoluta. [3] ) En particular en el submodelo mínimo existe un modelo de ZFC pero no existe un submodelo estándar de ZFC.
Por lo general, cuando se habla de modelos internos de una teoría, la teoría que se está discutiendo es ZFC o alguna extensión de ZFC (como ZFC + un cardinal mensurable ). Cuando no se menciona ninguna teoría, generalmente se supone que el modelo en discusión es un modelo interno de ZFC. Sin embargo, no es raro hablar también de modelos internos de subteorías de ZFC (como ZF o KP ).
Kurt Gödel demostró que cualquier modelo de ZF tiene un modelo interno mínimo de ZF (que también es un modelo interno de ZFC + GCH ), llamado universo construible , o L.
Hay una rama de la teoría de conjuntos llamada teoría de modelos internos que estudia formas de construir modelos mínimos internos de teorías que extienden ZF. La teoría del modelo interno ha llevado al descubrimiento de la fuerza de consistencia exacta de muchas propiedades teóricas de conjuntos importantes.
