En teoría de conjuntos , la teoría de modelos internos es el estudio de ciertos modelos de ZFC o algún fragmento o fortalecimiento de los mismos. Normalmente estos modelos son subconjuntos o subclases transitivos del universo V de von Neumann , o en ocasiones de una extensión genérica de V. La teoría de modelos internos estudia las relaciones de estos modelos con la determinabilidad , los cardinales grandes y la teoría descriptiva de conjuntos . A pesar del nombre, se considera más una rama de la teoría de conjuntos que de la teoría de modelos .
Ejemplos
- La clase de todos los conjuntos es un modelo interno que contiene todos los demás modelos internos.
- El primer ejemplo no trivial de un modelo interior fue el universo construible L desarrollado por Kurt Gödel . Todo modelo M de ZF tiene un modelo interno LM que satisface el axioma de constructibilidad , y este será el modelo interno más pequeño de M que contiene todos los ordinales de M. Independientemente de las propiedades del modelo original, LM satisfará la hipótesis del continuo generalizado y axiomas combinatorios como el principio del diamante ◊.
- HOD, la clase de conjuntos que son definibles hereditariamente ordinales , forma un modelo interno que satisface a ZFC.
- Los conjuntos que son definibles hereditariamente sobre una secuencia contable de ordinales forman un modelo interno, utilizado en el teorema de Solovay .
- L(R) , el modelo interno más pequeño que contiene todos los números reales y todos los ordinales.
- L[U], la clase construida en relación con un ultrafiltro U normal, no principal y completo sobre un ordinal (ver daga cero ).
Resultados de consistencia
Un uso importante de los modelos internos es la prueba de resultados consistentes. Si se puede demostrar que todo modelo de un axioma A tiene un modelo interno que satisface el axioma B , entonces si A es consistente , B también debe ser consistente. Este análisis es más útil cuando A es un axioma independiente de ZFC, por ejemplo un axioma cardinal grande ; es una de las herramientas utilizadas para clasificar los axiomas según su consistencia .
Referencias
- Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
- Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00384-7
Ver también
