Modelo de vértice

Un modelo de vértice es un tipo de modelo de mecánica estadística en el que los pesos de Boltzmann están asociados con un vértice en el modelo (que representa un átomo o partícula). ^{[1] [2]} Esto contrasta con un modelo de vecino más cercano, como el modelo de Ising , en el que la energía, y por lo tanto el peso de Boltzmann de un microestado estadístico se atribuye a los enlaces que conectan dos partículas vecinas. La energía asociada con un vértice en la red de partículas depende, por lo tanto, del estado de los enlaces que lo conectan con los vértices adyacentes. Resulta que cada solución de la ecuación de Yang-Baxter con parámetros espectrales en un producto tensorial de espacios vectoriales produce un modelo de vértice exactamente solucionable. ${\displaystyle V\otimes V}$

Un modelo de vértice bidimensional

Aunque el modelo se puede aplicar a diversas geometrías en cualquier número de dimensiones, con cualquier número de estados posibles para un enlace dado, los ejemplos más fundamentales se dan para redes bidimensionales, siendo la más simple una red cuadrada donde cada enlace tiene dos estados posibles. En este modelo, cada partícula está conectada a otras cuatro partículas, y cada uno de los cuatro enlaces adyacentes a la partícula tiene dos estados posibles, indicados por la dirección de una flecha en el enlace. En este modelo, cada vértice puede adoptar posibles configuraciones. La energía para un vértice dado puede darse por , ${\displaystyle 2^{4}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}^{k\ell }}$

Un vértice en el modelo de vértice de red cuadrada

con un estado de la red es una asignación de un estado de cada enlace, siendo la energía total del estado la suma de las energías de los vértices. Como la energía suele ser divergente para una red infinita, el modelo se estudia para una red finita a medida que la red se acerca al tamaño infinito. Se pueden imponer condiciones de contorno periódicas o de pared de dominio ^[3] en el modelo.

Discusión

Para un estado dado de la red, el peso de Boltzmann se puede escribir como el producto sobre los vértices de los pesos de Boltzmann de los estados de vértice correspondientes.

${\displaystyle \exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))=\prod _{\mbox{vertices}}\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })}$

donde se escriben los pesos de Boltzmann para los vértices

${\displaystyle R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })}$,

y los i , j , k , l abarcan los posibles estados de cada uno de los cuatro bordes unidos al vértice. Los estados de vértice de los vértices adyacentes deben satisfacer condiciones de compatibilidad a lo largo de los bordes de conexión (enlaces) para que el estado sea admisible.

La probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado dado en un momento particular, y por tanto las propiedades del sistema, están determinadas por la función de partición , para la que se desea una forma analítica.

${\displaystyle \mathbb {Z} =\sum _{\mbox{states}}\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))}$

donde β = 1/ kT , T es la temperatura y k es la constante de Boltzmann . La probabilidad de que el sistema se encuentre en cualquier estado dado ( microestado ) viene dada por

${\displaystyle {\frac {\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))}{\mathbb {Z} }}}$

de modo que el valor medio de la energía del sistema viene dado por

${\displaystyle \langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{\mbox{states}}\varepsilon \exp(-\beta \varepsilon )}{\sum _{\mbox{states}}\exp(-\beta \varepsilon )}}=kT^{2}{\frac {\partial }{\partial T}}\ln \mathbb {Z} }$

Para evaluar la función de partición, primero examine los estados de una fila de vértices.

Una fila de vértices en el modelo de vértice de red cuadrada

Los bordes externos son variables libres, con suma sobre los enlaces internos. Por lo tanto, se forma la función de partición de filas.

${\displaystyle T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots l_{N}}=\sum _{r_{1},\dots ,r_{N-1}}R_{i_{1}k_{1}}^{r_{1}\ell _{1}}R_{r_{1}k_{2}}^{r_{2}\ell _{2}}\cdots R_{r_{N-1}k_{N}}^{i'_{1}\ell _{N}}}$

Esto se puede reformular en términos de un espacio vectorial auxiliar n -dimensional V , con una base , y como ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ ${\displaystyle R\in End(V\otimes V)}$

${\displaystyle R(v_{i}\otimes v_{j})=\sum _{k,\ell }R_{ij}^{k\ell }v_{k}\otimes v_{\ell }}$

y como ${\displaystyle T\in End(V\otimes V^{\otimes N})}$

${\displaystyle T(v_{i_{1}}\otimes v_{k_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{k_{N}})=\sum _{i'_{1},\ell _{1},\dots \ell _{N}}T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots \ell _{N}}v_{i'_{1}}\otimes v_{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\ell _{N}}}$

lo que implica que T puede escribirse como

${\displaystyle T=R_{0N}\cdots R_{02}R_{01},}$

donde los índices indican los factores del producto tensorial sobre el que opera R. Sumando los estados de los enlaces en la primera fila con las condiciones de contorno periódicas , se obtiene ${\displaystyle V\otimes V^{\otimes N}}$ ${\displaystyle i_{1}=i'_{1}}$

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}},}$

donde es la matriz de transferencia de filas. ${\displaystyle \tau =\operatorname {trace} _{V}(T)}$

Dos filas de vértices en el modelo de vértice de red cuadrada

Sumando las contribuciones en dos filas, el resultado es

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}(\operatorname {trace} _{V}(T))_{j_{1}\dots j_{N}}^{k_{1}\dots k_{N}}.}$

que al sumar los enlaces verticales que conectan las dos primeras filas da: para M filas, esto da ${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{M})_{\ell '_{1}\dots \ell '_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

y luego aplicando las condiciones de contorno periódicas a las columnas verticales, la función de partición se puede expresar en términos de la matriz de transferencia como ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \mathbb {Z} =\operatorname {trace} _{V^{\otimes N}}(\tau ^{M})\sim \lambda _{max}^{M}}$

donde es el mayor valor propio de . La aproximación se deduce del hecho de que los valores propios de son los valores propios de elevado a M , y como , la potencia del mayor valor propio se vuelve mucho mayor que las otras. Como la traza es la suma de los valores propios, el problema de calcular se reduce al problema de encontrar el valor propio máximo de . Esto en sí mismo es otro campo de estudio. Sin embargo, un enfoque estándar para el problema de encontrar el mayor valor propio de es encontrar una gran familia de operadores que conmutan con . Esto implica que los espacios propios son comunes y restringe el espacio posible de soluciones. Dicha familia de operadores conmutativos se encuentra generalmente por medio de la ecuación de Yang-Baxter , que relaciona así la mecánica estadística con el estudio de los grupos cuánticos . ${\displaystyle \lambda _{max}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau ^{M}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle M\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Integrabilidad

Definición : Un modelo de vértice es integrable si, de modo que ${\displaystyle \forall \mu ,\nu ,\exists \lambda }$

${\displaystyle R_{12}(\lambda )R_{13}(\mu )R_{23}(\nu )=R_{23}(\nu )R_{13}(\mu )R_{12}(\lambda )}$

Esta es una versión parametrizada de la ecuación de Yang-Baxter, correspondiente a la posible dependencia de las energías de los vértices, y por tanto de los pesos de Boltzmann R, de parámetros externos, como la temperatura, los campos externos, etc.

La condición de integrabilidad implica la siguiente relación.

Proposición : Para un modelo de vértice integrable, con y definidos como arriba, entonces ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle R(\lambda )(1\otimes T(\mu ))(T(\nu )\otimes 1)=(T(\nu )\otimes 1)(1\otimes T(\mu ))R(\lambda )}$

como endomorfismos de , donde actúa sobre los dos primeros vectores del producto tensorial. ${\displaystyle V\otimes V\otimes V^{\otimes N}}$ ${\displaystyle R(\lambda )}$

Se deduce que al multiplicar ambos lados de la ecuación anterior a la derecha por y usar la propiedad cíclica del operador de traza, se cumple el siguiente corolario. ${\displaystyle R(\lambda )^{-1}}$

Corolario : Para un modelo de vértice integrable para el cual es invertible , la matriz de transferencia conmuta con . ${\displaystyle R(\lambda )}$ ${\displaystyle \forall \lambda }$ ${\displaystyle \tau (\mu )}$ ${\displaystyle \tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu }$

Esto ilustra el papel de la ecuación de Yang-Baxter en la solución de modelos reticulares resolubles. Dado que las matrices de transferencia conmutan para todos los , los vectores propios de son comunes y, por lo tanto, independientes de la parametrización. Es un tema recurrente que aparece en muchos otros tipos de modelos mecánicos estadísticos buscar estas matrices de transferencia conmutativas. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \lambda ,\nu }$ ${\displaystyle \tau }$

De la definición de R anterior se desprende que para cada solución de la ecuación de Yang-Baxter en el producto tensorial de dos espacios vectoriales n -dimensionales, existe un modelo de vértice resoluble bidimensional correspondiente donde cada uno de los enlaces puede estar en los estados posibles , donde R es un endomorfismo en el espacio abarcado por . Esto motiva la clasificación de todas las representaciones irreducibles de dimensión finita de un álgebra cuántica dada con el fin de encontrar modelos resolubles correspondientes a ella. ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n}$

Modelos de vértices notables

• Modelo de seis vértices

  

  Configuraciones del modelo de seis vértices con pesos de Boltzmann

• Modelo de ocho vértices

  

  Configuraciones del modelo de ocho vértices con pesos de Boltzmann

• Modelo de diecinueve vértices (modelo de Izergin-Korepin) ^[4]

Referencias

1. RJ Baxter, Modelos resueltos con exactitud en mecánica estadística , Londres, Academic Press, 1982
2. V. Chari y AN Pressley, Una guía para los grupos cuánticos, Cambridge University Press, 1994
3. VE Korepin et al., Método de dispersión inversa cuántica y funciones de correlación , Nueva York, Press Syndicate de la Universidad de Cambridge, 1993
4. AG Izergin y VE Korepin, El método de dispersión inversa para el modelo cuántico de Shabat-Mikhailov. Communications in Mathematical Physics, 79, 303 (1981)