BIO-LGCA

En biología computacional y matemática , un autómata celular de gas de red biológica (BIO-LGCA) es un modelo discreto para mover e interactuar agentes biológicos, ^[1] un tipo de autómata celular . El BIO-LGCA se basa en el modelo de autómata celular de red de gas (LGCA) utilizado en dinámica de fluidos. Un modelo BIO-LGCA describe las células y otros agentes biológicos móviles como partículas puntuales que se mueven en una red discreta, interactuando así con partículas cercanas. A diferencia de los modelos clásicos de autómatas celulares, las partículas en BIO-LGCA se definen por su posición y velocidad. Esto permite modelar y analizar fluidos activos y migraciones colectivas mediadas principalmente a través de cambios de impulso, más que de densidad. Las aplicaciones de BIO-LGCA incluyen la invasión del cáncer ^[2] y la progresión del cáncer . ^[3]

Definición del modelo

Como todos los modelos de autómatas celulares, un modelo BIO-LGCA se define por una red , un espacio de estados , una vecindad y una regla . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

• La red ( ) define el conjunto de todas las posiciones posibles de las partículas. Las partículas están restringidas a ocupar sólo ciertas posiciones, normalmente como resultado de una teselación regular y periódica del espacio. Matemáticamente, es un subconjunto discreto del espacio -dimensional. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$
• El espacio de estados ( ) describe los posibles estados de las partículas dentro de cada sitio de la red . En BIO-LGCA, múltiples partículas con diferentes velocidades pueden ocupar un solo sitio de red, a diferencia de los modelos clásicos de autómatas celulares, donde normalmente solo una celda puede residir en cada nodo de red simultáneamente. Esto hace que el espacio de estados sea un poco más complejo que el de los modelos clásicos de autómatas celulares (ver más abajo). ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \in {\mathcal {L}}}$
• La vecindad ( ) indica el subconjunto de sitios de la red que determina la dinámica de un sitio determinado en la red. Las partículas sólo interactúan con otras partículas dentro de su vecindad. Se deben elegir condiciones de frontera para las vecindades de sitios de red en el límite de redes finitas. Los vecindarios y las condiciones de contorno se definen de manera idéntica a los de los autómatas celulares normales (consulte Autómata celular ). ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
• La regla ( ) dicta cómo las partículas se mueven, proliferan o mueren con el tiempo. Como todo autómata celular, BIO-LGCA evoluciona en pasos de tiempo discretos. Para simular la dinámica del sistema , la regla se aplica sincrónicamente a cada sitio de la red en cada paso de tiempo. La aplicación de reglas cambia el estado original de un sitio de celosía a un nuevo estado. La regla depende de los estados de los sitios de la red en la vecindad de interacción del sitio de la red que se va a actualizar. En BIO-LGCA, la regla se divide en dos pasos, un paso de interacción probabilística seguido de un paso de transporte determinista. El paso de interacción simula procesos de reorientación, nacimiento y muerte, y se define específicamente para el proceso modelado. El paso de transporte transloca partículas a nodos de red vecinos en la dirección de sus velocidades. Consulte a continuación para obtener más detalles. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

espacio de estados

La subestructura de un sitio de red BIO-LGCA con seis canales de velocidad (correspondientes a una red hexagonal 2D) y un único canal de descanso. En este caso , y la capacidad de carga . Los canales 2, 3, 6 y 7 están ocupados, por lo que la configuración de la red es y el número de partículas es . ${\displaystyle b=6}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle K=7}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =(0,1,1,0,0,1,1)}$ ${\displaystyle n\left(\mathbf {s} \right)=\sum _{i=1}^{K}s_{i}=4}$

Para modelar explícitamente las velocidades de las partículas, se supone que los sitios de la red tienen una subestructura específica. Cada sitio de la red está conectado a sus sitios de la red vecinos a través de vectores llamados "canales de velocidad", donde el número de canales de velocidad es igual al número de vecinos más cercanos y, por lo tanto, depende de la geometría de la red ( para una red unidimensional, para una red hexagonal bidimensional, etc.). En dos dimensiones, los canales de velocidad se definen como . Además, se puede definir un número arbitrario de los llamados "canales de descanso", de modo que , . Se dice que un canal está ocupado si hay una partícula en el sitio de la red con una velocidad igual al canal de velocidad. La ocupación del canal se indica mediante el número de ocupación . Normalmente, se supone que las partículas obedecen a un principio de exclusión , de modo que no más de una partícula puede ocupar un único canal de velocidad en un sitio de red simultáneamente. En este caso, los números de ocupación son variables booleanas, es decir , y por lo tanto, cada sitio tiene una capacidad de carga máxima . Dado que la colección de todos los números de ocupación del canal define el número de partículas y sus velocidades en cada sitio de la red, el vector describe el estado de un sitio de la red y el espacio de estados viene dado por . ${\displaystyle \mathbf {r} \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,b\}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle b=6}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}=\left(\cos {\frac {2\pi i}{b}},\sin {\frac {2\pi i}{b}}\right)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}=(0,0)}$ ${\displaystyle i\in \{b+1,b+2,\ldots ,b+a\}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}\in {\mathcal {S}}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle K=a+b}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =\left(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{K}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {S}}^{K}}$

Dinámica de reglas y modelos.

Los estados de cada sitio en la red se actualizan sincrónicamente en pasos de tiempo discretos para simular la dinámica del modelo. La regla se divide en dos pasos. El paso de interacción probabilística simula la interacción de partículas, mientras que el paso de transporte determinista simula el movimiento de partículas.

Paso de interacción

Dependiendo de la aplicación específica, la etapa de interacción puede estar compuesta por operadores de reacción y/o reorientación.

El operador de reacción reemplaza el estado de un nodo con un nuevo estado siguiendo una probabilidad de transición , que depende del estado de los sitios de la red vecinos para simular la influencia de las partículas vecinas en el proceso reactivo. El operador de reacción no conserva el número de partículas, lo que permite simular el nacimiento y la muerte de individuos. La probabilidad de transición del operador de reacción generalmente se define ad hoc en forma de observaciones fenomenológicas. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{\mathcal {N}}}$

El operador de reorientación también reemplaza un estado con un nuevo estado con probabilidad . Sin embargo, este operador conserva el número de partículas y, por lo tanto, solo modela los cambios en la velocidad de las partículas redistribuyéndolas entre los canales de velocidad. La probabilidad de transición para este operador se puede determinar a partir de observaciones estadísticas (usando el principio de calibre máximo ) o de la dinámica conocida de una sola partícula (usando la distribución de probabilidad angular discretizada en estado estacionario dada por la ecuación de Fokker-Planck asociada a una ecuación de Langevin). que describe la dinámica de reorientación), ^{[5] [6]} y típicamente toma la forma donde es una constante de normalización (también conocida como función de partición ), es una función similar a la energía que las partículas probablemente minimizarán al cambiar su dirección de movimiento, es un parámetro libre inversamente proporcional a la aleatoriedad de la reorientación de las partículas (análogo a la temperatura inversa en termodinámica), y es un delta de Kronecker que garantiza que el número de partículas antes y después de la reorientación no cambie. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$ ${\displaystyle n\left(\mathbf {s} \right)}$ ${\displaystyle n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$

El estado resultante de la aplicación del operador de reacción y reorientación se conoce como configuración posterior a la interacción y se denota por . ${\displaystyle \mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}:=\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}}$

Dinámica del modelo BIO-LGCA. En cada paso de tiempo, los operadores de reacción y/o reorientación cambian estocásticamente los números de ocupación en todos los sitios de la red simultáneamente durante el paso de interacción. Posteriormente, las partículas se mueven de manera determinista al mismo canal de velocidad en un nodo vecino en la dirección de su canal de velocidad, durante el paso de transporte. Los colores del boceto se utilizan para seguir la dinámica de las partículas de los nodos individuales. Este esquema asume una regla de conservación de partículas (sin operador de reacción).

Paso de transporte

Después del paso de interacción, el paso de transporte determinista se aplica sincrónicamente a todos los sitios de la red. El paso de transporte simula el movimiento de agentes según su velocidad, debido a la autopropulsión de los organismos vivos.

Durante este paso, los números de ocupación de los estados posteriores a la interacción se definirán como los nuevos estados de ocupación del mismo canal del sitio de la red vecina en la dirección del canal de velocidad, es decir . ${\displaystyle s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i})=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} )}$

Un nuevo paso de tiempo comienza cuando se han producido tanto los pasos de interacción como los de transporte. Por lo tanto, la dinámica del BIO-LGCA se puede resumir como la ecuación microdinámica estocástica en diferencias finitas. $${\displaystyle s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i},k+1)=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)}$$

Ejemplo de dinámica de interacción

Un modelo hexagonal BIO-LGCA de enjambre polar. En este modelo, las células cambian preferentemente sus velocidades para que sean paralelas al impulso de la vecindad. Los sitios de la red se colorean según su orientación, siguiendo la rueda de colores . Los sitios vacíos son blancos. Se utilizaron condiciones de contorno periódicas.

La probabilidad de transición para el operador de reacción y/o reorientación debe definirse para simular adecuadamente el sistema modelado. A continuación se enumeran algunas interacciones elementales y las correspondientes probabilidades de transición.

paseo aleatorio

En ausencia de estímulos externos o internos, las células pueden moverse aleatoriamente sin ninguna preferencia direccional. En este caso, el operador de reorientación puede definirse mediante una probabilidad de transición $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {\delta _{n(\mathbf {s} ),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}{Z}}}$$

Un modelo hexagonal BIO-LGCA de medios excitables. En este modelo, el operador de reacción favorece la rápida reproducción de partículas dentro de los canales de velocidad y la muerte lenta de las partículas dentro de los canales de reposo. Las partículas en los canales en reposo inhiben la reproducción de partículas en los canales de velocidad. El operador de reorientación es el operador de paseo aleatorio en el texto. Los sitios de la red son de colores más brillantes cuanto más partículas móviles están presentes. No se muestran las partículas en reposo. Se utilizaron condiciones de contorno periódicas.

dónde . Tal probabilidad de transición permite seleccionar de manera uniforme cualquier configuración posterior a la reorientación con el mismo número de partículas que la configuración previa a la reorientación . ${\displaystyle Z=\sum _{\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$

Proceso simple de nacimiento y muerte.

Si los organismos se reproducen y mueren independientemente de otros individuos (con la excepción de la capacidad de carga finita), entonces se puede simular un proceso simple de nacimiento/muerte ^[3] con una probabilidad de transición dada por donde , son probabilidades constantes de nacimiento y muerte, respectivamente, es el delta de Kronecker, que garantiza que solo ocurra un evento de nacimiento/muerte en cada paso, y es la función de Heaviside , que garantiza que el número de partículas sea positivo y esté limitado por la capacidad de carga . $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\left[r_{b}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)+1}+r_{d}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)-1}\right]\Theta \left[n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]\Theta \left[n\left(K-\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]}$$ ${\displaystyle r_{b},r_{d}\in [0,1]}$ ${\displaystyle r_{b}+r_{d}\leq 1}$ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ ${\displaystyle \Theta (x)}$ ${\displaystyle K}$

Un modelo BIO-LGCA cuadrado de células que interactúan adhesivamente. Las células se mueven preferentemente en la dirección del gradiente de densidad celular. Los sitios de la red se colorean con colores azules cada vez más oscuros a medida que aumenta la densidad celular. Los nodos vacíos están coloreados en blanco. Se utilizan condiciones de contorno periódicas.

Interacciones adhesivas

Las células pueden adherirse entre sí mediante moléculas de cadherina en la superficie celular. Las interacciones de cadherina permiten que las células formen agregados. La formación de agregados celulares a través de biomoléculas adhesivas se puede modelar ^[7] mediante un operador de reorientación con probabilidades de transición definidas como $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left[\beta \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)\cdot \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)\right]}$$

"Un modelo cuadrado BIO-LGCA de células que interactúan indirectamente quimiotácticamente ". En este modelo, las células producen un quimioatrayente en difusión con una vida media determinada . Las células se mueven preferentemente en la dirección del gradiente de quimioatrayente. Los sitios de la red se colorean de forma aditiva con un tinte azul más oscuro al aumentar la densidad celular y con un tinte amarillo más oscuro al aumentar la concentración de quimioatrayente. Los sitios de celosía vacíos son de color blanco. Se utilizaron condiciones de contorno periódicas.

donde es un vector que apunta en la dirección de máxima densidad celular, definido como , donde es la configuración del sitio de la red dentro de la vecindad , y es el impulso de la configuración posterior a la reorientación, definida como . Esta probabilidad de transición favorece las configuraciones posteriores a la reorientación con las células moviéndose hacia el gradiente de densidad celular. ${\displaystyle \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)=\sum _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal {O}}\mathbf {c} _{j}}$

análisis matemático

Dado que un tratamiento exacto de un modelo estocástico basado en agentes rápidamente se vuelve inviable debido a correlaciones de alto orden entre todos los agentes, ^[8] el método general para analizar un modelo BIO-LGCA es convertirlo en una ecuación determinista aproximada en diferencias finitas ( FDE) describiendo la dinámica media de la población, luego realizando el análisis matemático de este modelo aproximado y comparando los resultados con el modelo BIO-LGCA original.

Primero, se obtiene el valor esperado de la ecuación microdinámica donde denota el valor esperado , y es el valor esperado del número de ocupación del canal -ésimo del sitio de la red en un paso de tiempo . Sin embargo, el término de la derecha es altamente no lineal en los números de ocupación tanto del sitio de la red como de los sitios de la red dentro de la vecindad de interacción , debido a la forma de la probabilidad de transición y las estadísticas de colocación de partículas dentro de los canales de velocidad (por ejemplo, derivadas de un principio de exclusión impuesto a las ocupaciones de canales). Esta no linealidad daría como resultado correlaciones y momentos de alto orden entre todas las ocupaciones de canales involucradas. En cambio, generalmente se supone una aproximación de campo medio, en la que se desprecian todas las correlaciones y momentos de orden superior, de modo que las interacciones directas entre partículas se sustituyen por interacciones con los respectivos valores esperados. En otras palabras, si son variables aleatorias y es una función, entonces bajo esta aproximación. Por lo tanto, podemos simplificar la ecuación a donde es una función no lineal de la configuración esperada del sitio de la red y la configuración esperada de la vecindad que depende de las probabilidades de transición y las estadísticas de partículas en el nodo. ${\displaystyle s_{m}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1)=s_{m}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)}$ $${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$$ ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right):=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\langle F\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)\right\rangle \approx F\left(\left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)}$ $${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)={\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)}$

A partir de este FDE no lineal, se pueden identificar varios estados estacionarios homogéneos , o constantes independientes del FDE y que son soluciones del mismo. Para estudiar las condiciones de estabilidad de estos estados estacionarios y el potencial de formación de patrones del modelo, se puede realizar un análisis de estabilidad lineal . Para hacerlo, la FDE no lineal se linealiza como donde denota el estado estacionario homogéneo y se asumió una vecindad de von Neumann . Para convertirlo en una ecuación en diferencias finitas más familiar con incrementos temporales únicamente, se puede aplicar una transformada discreta de Fourier en ambos lados de la ecuación. Después de aplicar el teorema de desplazamiento y aislar el término con un incremento temporal a la izquierda, se obtiene la ecuación reticular de Boltzmann ^[4] donde es la unidad imaginaria , es el tamaño de la red a lo largo de una dimensión, es el número de onda de Fourier y denota la transformada discreta de Fourier. En notación matricial, esta ecuación se simplifica a , donde la matriz se llama propagador de Boltzmann y se define como Los valores propios del propagador de Boltzmann dictan las propiedades de estabilidad del estado estacionario: ^[4] ${\displaystyle {\bar {f}}_{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\sum _{j=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)+\sum _{j=1}^{K}\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}$$ ${\displaystyle \mathrm {ss} }$ ${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}}$ $${\displaystyle {\hat {f}}_{m}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left\{\sum _{j=1}^{K}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]{\hat {f}}_{j}\left(\mathbf {q} ,k\right)\right\}}$$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}}$ ${\displaystyle {\hat {\cdot }}={\mathcal {F}}\{\cdot \}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=\Gamma {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k\right)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle \Gamma _{m,j}=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right].}$$ ${\displaystyle \lambda \left(\mathbf {q} \right)}$

• Si , donde denota el módulo , entonces las perturbaciones con número de onda crecen con el tiempo. Si y , entonces dominarán las perturbaciones con número de onda y se observarán patrones con una longitud de onda clara. De lo contrario, el estado estacionario es estable y cualquier perturbación decaerá. ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|>1}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|>1}$ ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|\geq \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|\forall \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {max} }}$
• Si , donde denota el argumento , entonces las perturbaciones se transportan y se observan comportamientos poblacionales no estacionarios. De lo contrario, la población parecerá estática a nivel macroscópico. ${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\lambda \left(q\right)\right]\neq 0}$ ${\displaystyle \mathrm {arg} (\cdot )}$

Aplicaciones

La construcción de un BIO-LGCA para el estudio de fenómenos biológicos implica principalmente definir probabilidades de transición apropiadas para el operador de interacción, a través de definiciones precisas del espacio de estados (para considerar varios fenotipos celulares , por ejemplo), condiciones de contorno (para modelar fenómenos en condiciones confinadas) , el vecindario (para igualar cuantitativamente los rangos de interacción experimental) y la capacidad de carga (para simular efectos de hacinamiento para tamaños de celda determinados) pueden ser importantes para aplicaciones específicas. Mientras que la distribución del operador de reorientación se puede obtener mediante los métodos estadísticos y biofísicos antes mencionados, la distribución de los operadores de reacción se puede estimar a partir de estadísticas de experimentos in vitro , por ejemplo. ^[9]

Los modelos BIO-LGCA se han utilizado para estudiar varios fenómenos celulares, biofísicos y médicos. Algunos ejemplos incluyen:

• Angiogénesis : ^[10] se comparó un experimento in vitro con células endoteliales y observables de simulación BIO-LGCA para determinar los procesos involucrados durante la angiogénesis y su peso. Descubrieron que la adhesión, la alineación, la guía por contacto y la remodelación de la ECM están involucradas en la angiogénesis, mientras que las interacciones de largo alcance no son vitales para el proceso.
• Fluidos activos : ^[11] se investigaron las propiedades físicas macroscópicas de una población de partículas que interactúan a través de interacciones de alineación polar utilizando un modelo BIO-LGCA. Se descubrió que el aumento de la densidad inicial de partículas y la fuerza de interacción dan como resultado una transición de fase de segundo orden desde un estado homogéneo y desordenado a un estado ordenado, modelado y en movimiento.
• Epidemiología : ^[12] se utilizó un modelo espacial SIR BIO-LGCA para estudiar el efecto de diferentes estrategias de vacunación y el efecto de aproximar una epidemia espacial con un modelo no espacial. Descubrieron que las estrategias de vacunación de tipo barrera son mucho más efectivas que las estrategias de vacunación espacialmente uniformes. Además, descubrieron que los modelos no espaciales sobreestiman en gran medida la tasa de infección.
• Interferencia celular : ^[13] se utilizaron modelos in vitro y Bio-LGCA para estudiar el comportamiento metastásico en el cáncer de mama. El modelo BIO-LGCA reveló que la metástasis puede exhibir diferentes comportamientos, como estados aleatorios similares a gases, estados sólidos atascados y estados fluidos correlacionados, dependiendo del nivel de adherencia entre las células, la densidad de la ECM y las interacciones célula-ECM.

Referencias

1. Alemán, Andreas; Nava-Sedeño, Josué Manik; Syga, Simón; Hatzikirou, Haralampos (15 de junio de 2021). "BIO-LGCA: una clase de modelado de autómatas celulares para analizar la migración celular colectiva". PLOS Biología Computacional . 17 (6): e1009066. Código Bib : 2021PLSCB..17E9066D. doi : 10.1371/journal.pcbi.1009066 . ISSN  1553-7358. PMC  8232544 . PMID  34129639.
2. Reher, David; Klink, Bárbara; Alemán, Andreas; Voss-Böhme, Anja (11 de agosto de 2017). "La heterogeneidad de la adhesión celular refuerza la diseminación de células tumorales: nuevos conocimientos de un modelo matemático". Biología Directa . 12 (1): 18. doi : 10.1186/s13062-017-0188-z . ISSN  1745-6150. PMC 5553611 . PMID  28800767. 
3. Böttger, Katrin; Hatzikirou, Haralambos; Voss-Böhme, Anja; Cavalcanti-Adam, Elisabetta Ada; Herrero, Miguel A.; Deutsch, Andreas (3 de septiembre de 2015). Alber, Mark S (ed.). "Un efecto Allee emergente es fundamental para el inicio y la persistencia del tumor". PLOS Biología Computacional . 11 (9): e1004366. Código Bib : 2015PLSCB..11E4366B. doi : 10.1371/journal.pcbi.1004366 . ISSN  1553-7358. PMC 4559422 . PMID  26335202. 
4. "Modelado matemático de la formación de patrones biológicos", Modelado de autómatas celulares de formación , modelado y simulación de patrones biológicos en ciencia, ingeniería y tecnología, Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 45–56, 2005, doi :10.1007/0- 8176-4415-6_3, ISBN 978-0-8176-4281-5, recuperado el 25 de mayo de 2021
5. Nava-Sedeño, JM; Hatzikirou, H.; Peruani, F.; Deutsch, A. (27 de febrero de 2017). "Extracción de reglas de autómatas celulares a partir de modelos físicos de ecuaciones de Langevin para la migración de células individuales y colectivas". Revista de biología matemática . 75 (5): 1075-1100. doi :10.1007/s00285-017-1106-9. ISSN  0303-6812. PMID  28243720. S2CID  32456636.
6. Nava-Sedeño, JM; Hatzikirou, H.; Klages, R.; Deutsch, A. (5 de diciembre de 2017). "Modelos de autómatas celulares para paseos aleatorios correlacionados en el tiempo: derivación y análisis". Informes científicos . 7 (1): 16952. arXiv : 1802.04201 . Código Bib : 2017NatSR...716952N. doi :10.1038/s41598-017-17317-x. ISSN  2045-2322. PMC 5717221 . PMID  29209065. 
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Enlaces externos

• Simulador Bio-LGCA: un simulador en línea con interacciones elementales con valores de parámetros personalizables.
• Paquete Python BIO-LGCA: un paquete Python de código abierto para implementar simulaciones del modelo BIO-LGCA.