Clasificación de Bianchi

Clasificación del álgebra de mentiras

En matemáticas , la clasificación de Bianchi proporciona una lista de todas las álgebras de Lie tridimensionales reales ( hasta el isomorfismo ). La clasificación contiene 11 clases, 9 de las cuales contienen una sola álgebra de Lie y dos de las cuales contienen una familia de álgebras de Lie de tamaño continuo. (A veces, dos de los grupos se incluyen en las familias infinitas, lo que da 9 clases en lugar de 11). La clasificación es importante en geometría y física, porque los grupos de Lie asociados sirven como grupos de simetría de variedades de Riemann tridimensionales . Lleva el nombre de Luigi Bianchi , quien lo elaboró ​​en 1898.

El término "clasificación de Bianchi" también se utiliza para clasificaciones similares en otras dimensiones y para clasificaciones de álgebras de Lie complejas .

Clasificación en dimensión inferior a 3

• Dimensión 0: La única álgebra de Lie es la abeliana R ⁰ .
• Dimensión 1: La única álgebra de Lie es el álgebra de Lie abeliana R ¹ , con el grupo de automorfismo externo el grupo multiplicativo de números reales distintos de cero.
• Dimensión 2: Hay dos álgebras de Lie:
  • (1) El álgebra abeliana de Lie R ² , con grupo de automorfismo externo GL ₂ ( R ) .
  • (2) El álgebra de Lie solucionable de matrices triangulares superiores 2 × 2 de traza 0. Tiene centro trivial y grupo de automorfismo externo trivial. El grupo de Lie asociado simplemente conectado es el grupo afín de la línea.

Clasificación en dimensión 3

Todas las álgebras de Lie tridimensionales distintas de los tipos VIII y IX se pueden construir como un producto semidirecto de R ² y R , con R actuando sobre R ^{2 mediante una matriz} M de 2 por 2 . Los diferentes tipos corresponden a diferentes tipos de matrices M , como se describe a continuación.

• Tipo I : Ésta es el álgebra de Lie abeliana y unimodular R ³ . El grupo simplemente conectado tiene centro R ³ y grupo de automorfismo externo GL ₃ ( R ). Este es el caso cuando M es 0.
• Tipo II : El álgebra de Heisenberg , que es nilpotente y unimodular. El grupo simplemente conectado tiene centro R y grupo de automorfismo externo GL ₂ ( R ). Este es el caso cuando M es nilpotente pero no 0 (todos los valores propios son 0).
• Tipo III : esta álgebra es un producto de R y el álgebra de Lie bidimensional no abeliana. (Es un caso límite del tipo VI, donde un valor propio se vuelve cero). Tiene solución y no es unimodular. El grupo simplemente conexo tiene centro R y el grupo de automorfismo externo es el grupo de números reales distintos de cero. La matriz M tiene un valor propio cero y un valor propio distinto de cero.
• Tipo IV : El álgebra generada por [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = y + z . Es solucionable y no unimodular. El grupo simplemente conexo tiene un centro trivial y un grupo de automorfismo externo, el producto de los reales y un grupo de orden 2. La matriz M tiene dos valores propios iguales distintos de cero, pero no es diagonalizable .
• Tipo V : [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = z . Resoluble y no unimodular. (Un caso límite de tipo VI donde ambos valores propios son iguales). El grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y un automorfismo externo agrupa los elementos de GL ₂ ( R ) del determinante +1 o −1. La matriz M tiene dos valores propios iguales y es diagonalizable.
• Tipo VI : Una familia infinita: productos semidirectos de R ² por R , donde la matriz M tiene valores propios reales distintos de cero con suma distinta de cero. Las álgebras tienen solución y no son unimodulares. El grupo simplemente conexo tiene un centro trivial y un grupo de automorfismo externo, un producto de los números reales distintos de cero y un grupo de orden 2.
• Tipo VI ₀ : Este álgebra de Lie es el producto semidirecto de R ² por R , con R donde la matriz M tiene valores propios reales distintos de cero con suma cero. Es solucionable y unimodular. Es el álgebra de Lie del grupo de Poincaré bidimensional , el grupo de isometrías del espacio de Minkowski bidimensional . El grupo simplemente conexo tiene un centro trivial y un grupo de automorfismo externo, el producto de los números reales positivos con el grupo diédrico de orden 8.
• Tipo VII : Una familia infinita: productos semidirectos de R ² por R , donde la matriz M tiene valores propios no reales y no imaginarios. Resoluble y no unimodular. El grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y un automorfismo externo agrupa los reales distintos de cero.
• Tipo VII ₀ : Producto semidirecto de R ² por R , donde la matriz M tiene valores propios imaginarios distintos de cero. Soluble y unimodular. Esta es el álgebra de Lie del grupo de isometrías del plano. El grupo simplemente conexo tiene centro Z y un grupo de automorfismo externo un producto de los números reales distintos de cero y un grupo de orden 2.
• Tipo VIII : El álgebra de Lie sl ₂ ( R ) de matrices sin trazas de 2 por 2, asociada al grupo SL ₂ (R) . Es simple y unimodular. El grupo simplemente conexo no es un grupo matricial; se denota por , tiene centro Z y su grupo de automorfismo externo tiene orden 2. ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$
• Tipo IX : El álgebra de Lie del grupo ortogonal O ₃ ( R ). Se denota por 𝖘𝖔(3) y es simple y unimodular. El correspondiente grupo simplemente conectado es SU(2) ; tiene centro de orden 2 y grupo de automorfismo externo trivial, y es un grupo de espín .

La clasificación de las álgebras de Lie complejas tridimensionales es similar excepto que los tipos VIII y IX se vuelven isomorfos, y los tipos VI y VII pasan a formar parte de una única familia de álgebras de Lie.

Los grupos de Lie tridimensionales conectados se pueden clasificar de la siguiente manera: son un cociente del correspondiente grupo de Lie simplemente conectado por un subgrupo discreto del centro, por lo que se puede leer en la tabla anterior.

Los grupos están relacionados con las 8 geometrías de la conjetura de geometrización de Thurston . Más precisamente, siete de las 8 geometrías se pueden realizar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo simplemente conectado (a veces en más de una forma). La geometría de Thurston del tipo S ² × R no se puede realizar de esta manera.

Constantes de estructura

Cada uno de los espacios tridimensionales de Bianchi admite un conjunto de tres campos vectoriales Killing que obedecen a la siguiente propiedad: ${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial \xi _{i}^{(c)}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \xi _{k}^{(c)}}{\partial x^{i}}}\right)\xi _{(a)}^{i}\xi _{(b)}^{k}=C_{\ ab}^{c}}$

donde , las "constantes de estructura" del grupo, forman un tensor constante de orden tres antisimétrico en sus dos índices inferiores. Para cualquier espacio de Bianchi tridimensional, viene dado por la relación ${\displaystyle C_{\ ab}^{c}}$ ${\displaystyle C_{\ ab}^{c}}$

${\displaystyle C_{\ ab}^{c}=\varepsilon _{abd}n^{cd}-\delta _{a}^{c}a_{b}+\delta _{b}^{c}a_{a}}$

donde está el símbolo de Levi-Civita , es el delta de Kronecker , y el vector y el tensor diagonal se describen en la siguiente tabla, donde da el i el valor propio de ; ^[1] el parámetro a recorre todos los números reales positivos : ${\displaystyle \varepsilon _{abd}}$ ${\displaystyle \delta _{a}^{c}}$ ${\displaystyle a_{a}=(a,0,0)}$ ${\displaystyle n^{cd}}$ ${\displaystyle n^{(i)}}$ ${\displaystyle n^{cd}}$

Figura 1. El espacio de parámetros como un plano tridimensional (clase A) y un medio plano tridimensional ortogonal (clase B) en R ⁴ con coordenadas ( n ⁽¹⁾ , n ⁽²⁾ , n ⁽³⁾ , a ), mostrando los representantes canónicos de cada tipo Bianchi.

La clasificación estándar de Bianchi se puede derivar de las constantes estructurales en los siguientes seis pasos:

1. Debido a la antisimetría , existen nueve constantes independientes . Estos pueden representarse de manera equivalente mediante los nueve componentes de una matriz constante arbitraria C ^ab : donde ε _abd es el símbolo tridimensional de Levi-Civita totalmente antisimétrico (ε ₁₂₃ = 1). La sustitución de esta expresión por en la identidad de Jacobi da como resultado ${\displaystyle C_{ab}^{c}=-C_{ba}^{c}}$ ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$
   ${\displaystyle C_{ab}^{c}=\varepsilon _{abd}C^{dc},}$
   ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$
   ${\displaystyle \varepsilon _{abd}C^{bd}C^{ac}=0.}$
2. Las constantes de estructura se pueden transformar como: La aparición de det A en esta fórmula se debe a que el símbolo ε _abd se transforma como densidad tensorial: , donde έ _mnd ≡ ε _mnd . Mediante esta transformación siempre es posible reducir la matriz C ^ab a la forma: Después de tal elección, todavía se tiene la libertad de hacer transformaciones en tríada pero con las restricciones y
   ${\displaystyle C^{ab}=\left(\det {A}\right)^{-1}A_{m}^{a}A_{n}^{b}{\acute {C}}^{mn}.}$
   ${\displaystyle \varepsilon _{abc}=\left(\det {A}\right)D_{a}^{m}D_{b}^{n}D_{c}^{d}{\acute {\varepsilon }}_{mnd}}$
   ${\displaystyle C^{ab}={\begin{bmatrix}n_{1}&0&0\\0&C^{22}&C^{23}\\0&C^{32}&C^{33}\end{bmatrix}}.}$
   ${\displaystyle A_{2}^{1}=A_{3}^{1}=0}$ ${\displaystyle A_{1}^{2}=A_{1}^{3}=0.}$
3. Ahora bien, las identidades de Jacobi sólo imponen una restricción:
   ${\displaystyle \left(C^{23}-C^{32}\right)n_{1}=0.}$
4. Si n ₁ ≠ 0 entonces C ²³ – C ³² = 0 y mediante las transformaciones restantes con , la matriz de 2 × 2 en C ^ab se puede hacer diagonal. Entonces, la condición de diagonalidad para C ^ab se conserva bajo las transformaciones con diagonal . Bajo estas transformaciones, los tres parámetros n ₁ , n ₂ , n ₃ cambian de la siguiente manera: mediante estas transformaciones diagonales, el módulo de cualquier n _a (si no es cero) se puede hacer igual a la unidad. Teniendo en cuenta que el cambio simultáneo de signo de todos los n _a no produce nada nuevo, se llega a los siguientes conjuntos invariantemente diferentes para los números n ₁ , n ₂ , n ₃ (invariantemente diferentes en el sentido de que no hay forma de pasar de uno a otro por alguna transformación de la tríada ), es decir a los siguientes diferentes tipos de espacios homogéneos con matriz diagonal C ^ab : ${\displaystyle A_{\bar {b}}^{\bar {a}}\neq 0,\quad {\bar {a}},{\bar {b}}={\bar {2}},{\bar {3}}}$ ${\displaystyle C^{{\bar {a}}{\bar {b}}}}$
   ${\displaystyle C^{ab}={\begin{bmatrix}n_{1}&0&0\\0&n_{2}&0\\0&0&n_{3}\end{bmatrix}}.}$
   ${\displaystyle A_{b}^{a}}$
   ${\displaystyle n_{a}=\left(A_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}\right)\left(A_{a}^{a}\right)^{2}{\acute {n}}_{a},{\text{no summation over}}\ a.}$
   ${\displaystyle e_{a}^{\bar {a}}=A_{\bar {b}}^{\bar {a}}e_{a}^{\bar {b}}}$
   ${\displaystyle {\begin{matrix}Bianchi\ IX&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,1),\\Bianchi\ VIII&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,-1),\\Bianchi\ VII_{0}&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,0),\\Bianchi\ VI_{0}&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,-1,0),\\Bianchi\ II&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,0,0).\end{matrix}}}$
5. Consideremos ahora el caso n ₁ = 0. También puede suceder en ese caso que C ²³ – C ³² = 0. Esto regresa a la situación ya analizada en el paso anterior pero con la condición adicional n ₁ = 0. Ahora, todo esencialmente diferentes tipos para los conjuntos n ₁ , n ₂ , n ₃ son (0, 1, 1), (0, 1, −1), (0, 0, 1) y (0, 0, 0). Los tres primeros repiten los tipos VII ₀ , VI ₀ , II . En consecuencia, sólo surge un nuevo tipo:
   ${\displaystyle Bianchi\ I\ :\ (n_{1},n_{2},n_{3})\ =\ (0,0,0).}$
6. El único caso que queda es n ₁ = 0 y C ²³ – C ³² ≠ 0. Ahora la matriz de 2 × 2 no es simétrica y no se puede hacer diagonal mediante transformaciones usando . Sin embargo, su parte simétrica se puede diagonalizar, es decir, la matriz C ^ab de 3 × 3 se puede reducir a la forma: donde a es un número arbitrario. Una vez hecho esto, todavía existe la posibilidad de realizar transformaciones con diagonal , bajo las cuales las cantidades n ₂ , n ₃ y a cambian de la siguiente manera: Estas fórmulas muestran que para distinto de cero n ₂ , n ₃ , a , la combinación a ² ( n ₂ n ₃ ) ⁻¹ es una cantidad invariante. Al elegir , se puede imponer la condición a > 0 y una vez hecho esto, la elección del signo de permite cambiar ambos signos de n ₂ y n ₃ simultáneamente, es decir, el conjunto ( n ₂ , n ₃ ) es equivalente al conjunto (− n ₂ , − n ₃ ). De ello se deduce que existen las siguientes cuatro posibilidades diferentes: Para las dos primeras, el número a se puede transformar en unidad eligiendo los parámetros y . Para las dos segundas posibilidades, ambos parámetros ya están fijos y a sigue siendo un número positivo invariante y arbitrario. Históricamente estos cuatro tipos de espacios homogéneos se han clasificado como: El tipo III es solo un caso particular del tipo VI correspondiente a a = 1. Los tipos VII y VI contienen una infinidad de tipos de álgebras invariantemente diferentes correspondientes a la arbitrariedad del parámetro continuo a. . El tipo VII ₀ es un caso particular de VII correspondiente a a = 0 mientras que el tipo VI ₀ es un caso particular de VI correspondiente también a a = 0. ${\displaystyle C^{{\bar {a}}{\bar {b}}}({\bar {a}},{\bar {b}}=2,3)}$ ${\displaystyle A_{\bar {b}}^{\bar {a}}\neq 0}$
   ${\displaystyle C^{ab}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&n_{2}&a\\0&-a&n_{3}\end{bmatrix}},}$
   ${\displaystyle A_{\bar {b}}^{\bar {a}}}$
   ${\displaystyle n_{2}=\left(A_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}\right)^{-1}\left(A_{2}^{2}\right)^{2}{\acute {n}}_{2},\quad n_{3}=\left(A_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}\right)^{-1}\left(A_{3}^{3}\right)^{2}{\acute {n}}_{3},\quad a=\left(A_{1}^{1}\right)^{-1}{\acute {a}}.}$
   ${\displaystyle A_{1}^{1}}$ ${\displaystyle A_{3}^{3}\left(A_{2}^{2}\right)^{-1}}$
   ${\displaystyle (a,n_{2},n_{3})=(a,0,0),(a,0,1),(a,1,1),(a,1,-1).}$
   
   ${\displaystyle A_{1}^{1}}$ ${\displaystyle A_{3}^{3}\left(A_{2}^{2}\right)^{-1}}$
   ${\displaystyle {\begin{matrix}Bianchi\ V&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(1,0,0),\\Bianchi\ IV&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(1,0,1),\\Bianchi\ VII&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(a,1,1),\\Bianchi\ III&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(1,1,-1),\\Bianchi\ VI&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(a,1,-1).\end{matrix}}}$
   

Curvatura de los espacios de Bianchi

Los espacios de Bianchi tienen la propiedad de que sus tensores de Ricci se pueden separar en un producto de los vectores base asociados con el espacio y un tensor independiente de coordenadas.

Para una métrica determinada :

${\displaystyle ds^{2}=\gamma _{ab}\xi _{i}^{(a)}\xi _{k}^{(b)}dx^{i}dx^{k}}$

(donde 　hay 1 formas ), el tensor de curvatura de Ricci viene dado por: ${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}dx^{i}}$ ${\displaystyle R_{ik}}$

${\displaystyle R_{ik}=R_{(a)(b)}\xi _{i}^{(a)}\xi _{k}^{(b)}}$

${\displaystyle R_{(a)(b)}={\frac {1}{2}}\left[C_{\ \ b}^{cd}\left(C_{cda}+C_{dca}\right)+C_{\ cd}^{c}\left(C_{ab}^{\ \ d}+C_{ba}^{\ \ d}\right)-{\frac {1}{2}}C_{b}^{\ cd}C_{acd}\right]}$

donde los índices de las constantes de la estructura aumentan y disminuyen, lo cual no es función de . ${\displaystyle \gamma _{ab}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Aplicación cosmológica

En cosmología , esta clasificación se utiliza para un espacio-tiempo homogéneo de dimensión 3+1. El grupo de Lie tridimensional es el grupo de simetría del corte espacial tridimensional, y la métrica de Lorentz que satisface la ecuación de Einstein se genera variando los componentes métricos en función de t. Las métricas de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker son isotrópicas, que son casos particulares de los tipos I, V y IX. Los modelos Bianchi tipo I incluyen la métrica de Kasner como caso especial. Las cosmologías de Bianchi IX incluyen la métrica de Taub . ^[2] Sin embargo, la dinámica cercana a la singularidad se rige aproximadamente por una serie de períodos sucesivos de Kasner (Bianchi I). La complicada dinámica, que esencialmente equivale al movimiento de un billar en una porción del espacio hiperbólico, exhibe un comportamiento caótico y se llama Mixmaster ; su análisis se conoce como análisis BKL en honor a Belinskii, Khalatnikov y Lifshitz. ^{[3] [4]} Un trabajo más reciente ha establecido una relación de teorías de (super)gravedad cerca de una singularidad espacial (límite BKL) con álgebras de Lorentzian Kac-Moody , grupos de Weyl y grupos hiperbólicos de Coxeter . ^{[5] [6] [7]} Otro trabajo más reciente se ocupa de la naturaleza discreta del mapa de Kasner y una generalización continua. ^{[8] [9] [10]} En un espacio que es a la vez homogéneo e isotrópico la métrica se determina completamente, dejando libre sólo el signo de la curvatura. Asumir sólo homogeneidad espacial sin simetría adicional como la isotropía deja mucha más libertad a la hora de elegir la métrica. Lo siguiente se refiere a la parte espacial de la métrica en un instante dado de tiempo t suponiendo un marco sincrónico de modo que t sea el mismo tiempo sincronizado para todo el espacio. ${\displaystyle \scriptstyle {\text{VII}}_{h}}$

La homogeneidad implica propiedades métricas idénticas en todos los puntos del espacio. Una definición exacta de este concepto implica considerar conjuntos de transformaciones de coordenadas que transforman el espacio en sí mismo, es decir, dejan su métrica sin cambios: si el elemento lineal antes de la transformación es

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\left(x^{1},x^{2},x^{3}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta },}$

luego, después de la transformación, el mismo elemento de línea es

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\left(x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3}\right)dx^{\prime \alpha }dx^{\prime \beta },}$

con la misma dependencia funcional de γ _αβ de las nuevas coordenadas. (Para obtener una definición de espacio homogéneo más teórica e independiente de las coordenadas, consulte espacio homogéneo ). Un espacio es homogéneo si admite un conjunto de transformaciones ( un grupo de movimientos ) que lleva cualquier punto dado a la posición de cualquier otro punto. Dado que el espacio es tridimensional, las diferentes transformaciones del grupo están etiquetadas por tres parámetros independientes.

Figura 2. La tríada e ^{( a )} ( e ⁽¹⁾ , e ⁽²⁾ , e ⁽³⁾ ) es un sistema de coordenadas afín (incluido como caso especial el sistema de coordenadas cartesiano) cuyas coordenadas son funciones de las coordenadas curvilíneas x _α (x1 _, x2 _, x3 ₎ .

En el espacio euclidiano la homogeneidad del espacio se expresa por la invariancia de la métrica bajo desplazamientos paralelos ( traslaciones ) del sistema de coordenadas cartesiano . Cada traslación está determinada por tres parámetros: los componentes del vector de desplazamiento del origen de coordenadas. Todas estas transformaciones dejan invariantes los tres diferenciales independientes ( dx , dy , dz ) a partir de los cuales se construye el elemento lineal. En el caso general de un espacio homogéneo no euclidiano, las transformaciones de su grupo de movimientos nuevamente dejan invariantes tres formas diferenciales lineales independientes , que, sin embargo, no se reducen a diferenciales totales de ninguna función coordenada. Estas formas se escriben donde el índice latino ( a ) etiqueta tres vectores independientes (funciones de coordenadas); estos vectores se denominan campo de marco o tríada. Las letras griegas etiquetan las tres coordenadas curvilíneas en forma de espacio . Se construye una invariante métrica espacial bajo el grupo de movimientos dado con el uso de las formas anteriores: ${\displaystyle e_{\alpha }^{(a)}dx^{\alpha }}$

es decir, el tensor métrico es

donde los coeficientes η _ab , que son simétricos en los índices a y b , son funciones del tiempo. La elección de los vectores base está dictada por las propiedades de simetría del espacio y, en general, estos vectores base no son ortogonales (de modo que la matriz η _ab no es diagonal).

El triple recíproco de vectores se introduce con la ayuda del delta de Kronecker. ${\displaystyle e_{(a)}^{\alpha }}$

En el caso tridimensional, la relación entre los dos vectores triples se puede escribir explícitamente

donde el volumen v es

${\displaystyle v=\left\vert e_{\alpha }^{(a)}\right\vert =\mathbf {e} ^{(1)}\cdot \mathbf {e} ^{(2)}\times \mathbf {e} ^{(3)},}$

con e _{( a )} y e ^{( a )} considerados como vectores cartesianos con componentes y , respectivamente. El determinante del tensor métrico eq. 6b es γ = η v ² donde η es el determinante de la matriz η _ab . ${\displaystyle e_{(a)}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{\alpha }^{(a)}}$

Las condiciones requeridas para la homogeneidad del espacio son

Las constantes se denominan constantes de estructura del grupo. ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$

Multiplicando por , ec. 6e se puede reescribir en la forma ${\displaystyle e_{(c)}^{\gamma }}$

La ecuación 6e se puede escribir en forma vectorial como

${\displaystyle \mathbf {e} _{(a)}\times \mathbf {e} _{(b)}{\text{curl }}\mathbf {e} ^{(c)}=-C_{ab}^{c},}$

donde nuevamente las operaciones vectoriales se realizan como si las coordenadas x ^α fueran cartesianas. Usando la ecuación. 6d , se obtiene

y seis ecuaciones más obtenidas mediante una permutación cíclica de los índices 1, 2, 3.

Las constantes de estructura son antisimétricas en sus índices inferiores, como se ve en su definición eq. 6e : . Se puede obtener otra condición sobre las constantes de estructura observando que la ecuación. 6f se puede escribir en forma de relaciones de conmutación ${\displaystyle C_{ab}^{c}=-C_{ba}^{c}}$

para los operadores diferenciales lineales

En la teoría matemática de grupos continuos ( grupos de Lie ), los operadores X _a satisfacen las condiciones eq. 6h se llaman generadores del grupo . La teoría de los grupos de Lie utiliza operadores definidos utilizando los vectores Killing en lugar de tríadas . Dado que en la métrica sincrónica ninguno de los componentes γ _αβ depende del tiempo, los vectores Killing (tríadas) son similares al tiempo. ${\displaystyle \xi _{(a)}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{(a)}^{\alpha }}$

Las condiciones ec. Seguimiento de 6h de la identidad Jacobi

${\displaystyle [[X_{a},X_{b}],X_{c}]+[[X_{b},X_{c}],X_{a}]+[[X_{c},X_{a}],X_{b}]=0}$

y tener la forma

Es una clara ventaja utilizar, en lugar de las constantes de tres índices , un conjunto de cantidades de dos índices, obtenidas mediante la transformación dual. ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$

donde e _abc = e ^abc es el símbolo antisimétrico de la unidad (con e ₁₂₃ = +1). Con estas constantes las relaciones de conmutación eq. 6h se escriben como

La propiedad de antisimetría ya se tiene en cuenta en la definición de la ecuación. 6k , mientras que la propiedad eq. 6j toma la forma

La elección de los tres vectores de trama en las formas diferenciales (y con ellos los operadores X _a ) no es única. Pueden someterse a cualquier transformación lineal con coeficientes constantes: ${\displaystyle e_{\alpha }^{(a)}dx^{\alpha }}$

Las cantidades η _ab y C ^ab se comportan como tensores (son invariantes) con respecto a tales transformaciones.

Las condiciones ec. 6m son los únicos que deben satisfacer las constantes de estructura. Pero entre las constantes admisibles por estas condiciones, existen conjuntos equivalentes, en el sentido de que su diferencia está relacionada con una transformación del tipo eq. 6n . La cuestión de la clasificación de espacios homogéneos se reduce a determinar todos los conjuntos no equivalentes de constantes estructurales. Esto se puede hacer, utilizando las propiedades "tensoriales" de las cantidades ^Cab , mediante el siguiente método sencillo (CG Behr, 1962).

El tensor asimétrico C ^ab se puede resolver en una parte simétrica y antisimétrica. El primero se denota por n ^ab , y el segundo se expresa en términos de su vector dual a _c :

Sustitución de esta expresión en la ec. 6m conduce a la condición

Mediante las transformaciones ec. 6n el tensor simétrico n ^ab se puede llevar a forma diagonal con valores propios n ₁ , n ₂ , n ₃ . La ecuación 6p muestra que el vector a _b (si existe) se encuentra a lo largo de una de las direcciones principales del tensor n ^ab , la correspondiente al valor propio cero. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, se puede establecer a _b = ( a , 0, 0). Entonces la ecuación. 6p se reduce a an ₁ = 0, es decir, una de las cantidades a o n ₁ debe ser cero. Las identidades Jacobi toman la forma:

Las únicas libertades que quedan son los cambios de signo de los operadores X _a y su multiplicación por constantes arbitrarias. Esto permite cambiar simultáneamente el signo de todos los n _a y también hacer que la cantidad sea positiva (si es diferente de cero). Además, todas las constantes estructurales se pueden hacer iguales a ±1, si al menos una de las _cantidades a , n2 , n3 _desaparece . Pero si estas tres cantidades difieren de cero, las transformaciones de escala dejan invariante la relación h = a ² ( n ₂ n ₃ ) ⁻¹ .

Así se llega a la clasificación de Bianchi que enumera los posibles tipos de espacios homogéneos clasificados por los valores de a , n ₁ , n ₂ , n ₃ que se presenta gráficamente en la Fig. 3. En el caso de clase A ( a = 0), escriba IX ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1, n ⁽³⁾ =1) está representado por el octante 2, tipo VIII ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1, n ⁽³⁾ =–1) está representado por el octante 6, mientras que el tipo VII ₀ ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1, n ⁽³⁾ =0) está representado por el primer cuadrante del plano horizontal y el tipo VI ₀ ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =–1, n ⁽³⁾ =0) está representado por el cuarto cuadrante de este plano; el tipo II (( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =0, n ⁽³⁾ =0) está representado por el intervalo [0,1] a lo largo de n ⁽¹⁾ y el tipo I ( n ⁽¹⁾ =0 , n ⁽²⁾ = 0, n ⁽³⁾ = 0) está en el origen. De manera similar, en el caso de clase B (con n ⁽³⁾ = 0), Bianchi tipo VI _h ( a = h , n ⁽¹⁾ = 1, n ⁽²⁾ =–1) se proyecta al cuarto cuadrante del plano horizontal y el tipo VII _h ( a = h , n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1) se proyecta al primer cuadrante del plano horizontal. plano; estos dos últimos tipos son una única clase de isomorfismo correspondiente a una superficie de valor constante de la función h = a ² ( n ⁽¹⁾ n ⁽²⁾ ) ⁻¹ . Una superficie típica de este tipo se ilustra en un octante, el ángulo θ dado por tan  θ = | h /2| ^1/2 ; los de los octantes restantes se obtienen por rotación a través de múltiplos de π /2, halternando en signo para una magnitud dada | h |. El tipo III es un subtipo de VI _h con a =1. El tipo V ( a =1, n ⁽¹⁾ =0, n ⁽²⁾ =0) es el intervalo (0,1] a lo largo del eje a y el tipo IV ( a =1, n ⁽¹⁾ =1, n ^{( 2)} =0) es la cara abierta vertical entre el primer y cuarto cuadrante del plano a = 0, dando este último el límite de clase A de cada tipo.

Las ecuaciones de Einstein para un universo con un espacio homogéneo se pueden reducir a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que contiene sólo funciones del tiempo con la ayuda de un marco de campo. Para hacer esto, se deben resolver los componentes espaciales de cuatro vectores y cuatro tensores a lo largo de la tríada de vectores base del espacio:

${\displaystyle R_{(a)(b)}=R_{\alpha \beta }e_{(a)}^{\alpha }e_{(b)}^{\beta },\quad R_{0(a)}=R_{0\alpha }e_{(a)}^{\alpha },\quad u^{(a)}=u^{\alpha }e_{\alpha }^{(a)},}$

donde todas estas cantidades son ahora funciones de t únicamente; las cantidades escalares, la densidad de energía ε y la presión de la materia p , también son funciones del tiempo.

Las ecuaciones de Einstein en el vacío en un sistema de referencia sincrónico son ^{[11] [12] [nota 1]}

donde es el tensor tridimensional , y P _{αβ es el} tensor de Ricci tridimensional , que se expresa mediante el tensor métrico tridimensional γ _αβ de la misma manera que Rik _se expresa mediante g _ik ; P _αβ contiene sólo las derivadas espaciales (pero no temporales) de γ _αβ . Usando tríadas, para la ec. 11 uno tiene simplemente ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }}$ ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {\partial \gamma _{\alpha }^{\beta }}{\partial t}}}$

${\displaystyle \varkappa _{(a)(b)}={\frac {\partial \eta _{ab}}{\partial t}},\quad \varkappa _{(a)}^{(b)}={\frac {\partial \eta _{ac}}{\partial t}}\eta ^{cb}.}$

Los componentes de P _{( a ) ( b )} se pueden expresar en términos de las cantidades η _ab y las constantes de estructura del grupo utilizando la representación tétrada del tensor de Ricci en términos de cantidades ^[13] ${\displaystyle \lambda _{abc}=\left(e_{(a)i,k}-e_{(a)k,i}\right)e_{(b)}^{i}e_{(c)}^{k}}$

${\displaystyle R_{(a)(b)}=-{\frac {1}{2}}\left(\lambda _{ab,c}^{c}+\lambda _{ba,c}^{c}+\lambda _{ca,b}^{c}+\lambda _{cb,a}^{c}+\lambda _{b}^{cd}\lambda _{cda}+\lambda _{b}^{cd}\lambda _{dca}-{\frac {1}{2}}\lambda _{b}^{cd}\lambda _{acd}+\lambda _{cd}^{c}\lambda _{ab}^{d}+\lambda _{cd}^{c}\lambda _{ba}^{d}\right).}$

Después de reemplazar los símbolos de tres índices por símbolos de dos índices C ^ab y las transformaciones: ${\displaystyle \lambda _{bc}^{a}=C_{bc}^{a}}$

${\displaystyle \eta _{ad}\eta _{bc}\eta _{cf}e^{def}=\eta e_{abc},\quad e_{abf}e^{cdf}=\delta _{a}^{c}\delta _{b}^{d}-\delta _{a}^{d}\delta _{b}^{c}}$

se obtiene el tensor de Ricci "homogéneo" expresado en constantes de estructura:

${\displaystyle P_{(a)}^{(b)}={\frac {1}{2\eta }}\left\{2C^{bd}C_{ad}+C^{db}C_{ad}+C^{bd}C_{da}-C_{d}^{d}\left(C_{a}^{b}+C_{a}^{b}\right)+\delta _{a}^{b}\left[\left(C_{d}^{d}\right)^{2}-2C^{df}C_{df}\right]\right\}.}$

Aquí, todos los índices aumentan y disminuyen con el tensor métrico local η _ab

${\displaystyle C_{a}^{b}=\eta _{ac}C^{cb},\quad C_{ab}=\eta _{ac}\eta _{bd}C^{cd}.}$

Las identidades de Bianchi para el tensor tridimensional P _αβ en el espacio homogéneo toman la forma

${\displaystyle P_{b}^{c}C_{ca}^{b}+P_{a}^{c}C_{cb}^{b}=0.}$

Teniendo en cuenta las transformaciones de derivadas covariantes para cuatro vectores arbitrarios A _i y cuatro tensores A _ik

${\displaystyle A_{i;k}e_{(a)}^{i}e_{(b)}^{k}=A_{(a)(b)}-A^{(d)}\gamma _{dab},}$

${\displaystyle A_{ik;l}e_{(a)}^{i}e_{(b)}^{k}e_{(c)}^{l}=A_{(a)(b)(c)}-A_{(b)}^{(d)}\gamma _{dac}+A_{(a)}^{(d)}\gamma _{dbc},}$

las expresiones finales para los componentes de la tríada del cuatro tensor de Ricci son:

Por tanto, al establecer las ecuaciones de Einstein no es necesario utilizar expresiones explícitas para los vectores base como funciones de las coordenadas.

Ver también

• Portal de física

• Grupos de la tabla de mentiras
• Lista de grupos de mentiras simples
• Singularidad BKL

Notas

1. La convención utilizada por BKL es la misma que la del libro de Landau & Lifshitz (1988). Los índices latinos pasan por los valores 0, 1, 2, 3; Los índices griegos recorren los valores espaciales 1, 2, 3. La métrica g _ik tiene la firma (+ − − −); γ _αβ = − g _αβ es el tensor métrico espacial tridimensional. BKL utiliza un sistema de unidades en el que la velocidad de la luz y la constante gravitacional de Einstein son iguales a 1.

Referencias

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3. Belinsky, Khalatnikov y Lifshitz 1971.
4. Belinsky, Khalatnikov y Lifshitz 1972.
5. Henneaux, Persson y Spindel 2008.
6. Henneaux, Persson y Wesley 2008.
7. Henneaux 2009.
8. Cornish y Levin 1997a.
9. Cornish y Levin 1997b.
10. Cornish y Levin 1997c.
11. Lifshitz y Khalatnikov 1963
12. Landau y Lifshitz 1988, cap. 97
13. Landau y Lifshitz 1988, ec. (98.14).

Bibliografía

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