Proceso de varianza gamma

Concepto de probabilidad

Tres ejemplos de trayectorias de variación de procesos gamma (en particular, rojo, verde y negro)

En la teoría de procesos estocásticos , una parte de la teoría matemática de la probabilidad , el proceso de varianza gamma ( VG ) , también conocido como movimiento de Laplace , es un proceso de Lévy determinado por un cambio de tiempo aleatorio. El proceso tiene momentos finitos , lo que lo distingue de muchos procesos de Lévy. No hay un componente de difusión en el proceso VG y, por lo tanto, es un proceso de salto puro . Los incrementos son independientes y siguen una distribución de varianza-gamma , que es una generalización de la distribución de Laplace .

Existen varias representaciones del proceso VG que lo relacionan con otros procesos. Por ejemplo, se puede escribir como un movimiento browniano con deriva sujeto a un cambio aleatorio de tiempo que sigue un proceso gamma (de manera equivalente, en la literatura se encuentra la notación ): ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle \theta t}$ ${\displaystyle \Gamma (t;1,\nu )}$ ${\displaystyle \Gamma (t;\gamma =1/\nu ,\lambda =1/\nu )}$

${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\theta \,\Gamma (t;1,\nu )+\sigma \,W(\Gamma (t;1,\nu ))\quad .}$

Una forma alternativa de decir esto es que el proceso de varianza gamma es un movimiento browniano subordinado a un subordinador gamma .

Dado que el proceso VG es de variación finita, se puede escribir como la diferencia de dos procesos gamma independientes: ^[1]

${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\Gamma (t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\Gamma (t;\mu _{q},\mu _{q}^{2}\,\nu )}$

dónde

${\displaystyle \mu _{p}:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}+{\frac {\theta }{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad \mu _{q}:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}-{\frac {\theta }{2}}\quad .}$

Alternativamente, se puede aproximar mediante un proceso de Poisson compuesto que conduce a una representación con saltos (independientes) explícitamente dados y sus ubicaciones. Esta última caracterización permite comprender la estructura de la ruta de muestra con la ubicación y los tamaños de los saltos. ^[2]

Sobre la historia temprana del proceso varianza-gamma, véase Seneta (2000). ^[3]

Momentos

La media de un proceso de varianza gamma es independiente de y y está dada por ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X(t)]=\theta t}$

La varianza se da como

${\displaystyle \operatorname {Var} [X(t)]=(\theta ^{2}\nu +\sigma ^{2})t}$

El tercer momento central es

${\displaystyle \operatorname {E} [(X(t)-\operatorname {E} [X(t)])^{3}]=(2\theta ^{3}\nu ^{2}+3\sigma ^{2}\theta \nu )t}$

El cuarto momento central es

${\displaystyle \operatorname {E} [(X(t)-\operatorname {E} [X(t)])^{4}]=(3\sigma ^{4}\nu +12\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu ^{2}+6\theta ^{4}\nu ^{3})t+(3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu +3\theta ^{4}\nu ^{2})t^{2}}$

Precio de opciones

El proceso VG puede resultar ventajoso para la fijación de precios de opciones, ya que permite una modelización más amplia de la asimetría y la curtosis que el movimiento browniano . Como tal, el modelo de varianza gamma permite fijar precios de forma consistente para opciones con diferentes strikes y vencimientos utilizando un único conjunto de parámetros. Madan y Seneta presentan una versión simétrica del proceso de varianza gamma. ^[4] Madan, Carr y Chang ^[1] amplían el modelo para permitir una forma asimétrica y presentan una fórmula para fijar precios de opciones europeas según el proceso de varianza gamma.

Hirsa y Madan muestran cómo fijar el precio de las opciones americanas bajo el proceso de gamma de varianza. ^[5] Fiorani presenta soluciones numéricas para las opciones de barrera europeas y americanas bajo el proceso de gamma de varianza. ^[6] También proporciona un código informático para fijar el precio de las opciones de barrera europeas y americanas vainilla y de barrera bajo el proceso de gamma de varianza.

Lemmens et al. ^[7] construyen límites para las opciones aritméticas asiáticas para varios modelos de Lévy, incluido el modelo de varianza gamma.

Aplicaciones al modelado del riesgo crediticio

El proceso de varianza gamma se ha aplicado con éxito en la modelización del riesgo crediticio en modelos estructurales. La naturaleza puramente de salto del proceso y la posibilidad de controlar la asimetría y la curtosis de la distribución permiten al modelo fijar correctamente el precio del riesgo de impago de valores con vencimiento corto, algo que generalmente no es posible con modelos estructurales en los que los activos subyacentes siguen un movimiento browniano. Fiorani, Luciano y Semeraro ^[8] modelan swaps de incumplimiento crediticio bajo varianza gamma. En una prueba empírica extensa, muestran el rendimiento superior de la fijación de precios bajo varianza gamma, en comparación con los modelos alternativos presentados en la literatura.

Simulación

Fu (2000) describe los métodos de Monte Carlo para el proceso de varianza gamma. ^[9] Korn et al. (2010) presentan los algoritmos. ^[10]

Simulación de VG como movimiento browniano modificado con el tiempo gamma

• Entrada: parámetros VG e incrementos de tiempo , donde ${\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu }$ ${\displaystyle \Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.}$
• Inicialización: Establecer X (0) = 0.
• Bucle: Para i = 1 a N :

1. Genere variantes gamma y normales independientes , independientemente de las variantes aleatorias pasadas. ${\displaystyle \Delta \,G_{i}\,\sim \Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu )}$ ${\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$
2. Devolver ${\displaystyle X(t_{i})=X(t_{i-1})+\theta \,\Delta G_{i}+\sigma {\sqrt {\Delta G_{i}}}Z_{i}.}$

Simulación de VG como diferencia de gammas

Este enfoque ^{[9] [10]} se basa en la diferencia de representación gamma , donde se definen como anteriormente. ${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;=\;\Gamma (t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\Gamma (t;\mu _{q},\mu _{q}^{2}\,\nu )}$ ${\displaystyle \mu _{p},\mu _{q},\nu }$

• Entrada: parámetros VG [ ] e incrementos de tiempo , donde ${\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu ,\mu _{p},\mu _{q}}$ ${\displaystyle \Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.}$
• Inicialización: Establecer X (0) = 0.
• Bucle: Para i = 1 a N :

1. Generar variables gamma independientes independientemente de las variables aleatorias pasadas. ${\displaystyle \gamma _{i}^{-}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{q}),\quad \gamma _{i}^{+}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{p}),}$
2. Devolver ${\displaystyle X(t_{i})=X(t_{i-1})+\Gamma _{i}^{+}(t)-\Gamma _{i}^{-}(t).}$

Varianza gamma como distribución 2-EPT

Bajo la restricción de que sea entero, la distribución gamma de varianza puede representarse como una función de densidad de probabilidad 2-EPT . Bajo este supuesto, es posible derivar precios de opciones vainilla en forma cerrada y sus griegas asociadas . Para una descripción completa, consulte ^{[11] .} ${\displaystyle {\frac {1}{\nu }}}$

Referencias

1. Dilip Madan; Peter Carr; Eric Chang (1998). "El proceso de varianza gamma y la fijación de precios de opciones" (PDF) . European Finance Review . 2 : 79–105.
2. Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001). La distribución de Laplace y las generalizaciones: una revisión con aplicaciones a las comunicaciones, la economía, la ingeniería y las finanzas . Boston [ua]: Birkhäuser. ISBN 978-0817641665.
3. Eugene Seneta (2000). "Los primeros años del proceso de varianza-gamma". En Michael C. Fu; Robert A. Jarrow; Ju-Yi J. Yen; Robert J. Elliott (eds.). Avances en finanzas matemáticas . Boston: Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4544-1.
4. Madan, Dilip B.; Seneta, Eugene (1990). "El modelo de varianza gamma (VG) para los rendimientos del mercado de acciones". Journal of Business . 63 (4): 511–524. doi :10.1086/296519. JSTOR  2353303.
5. Hirsa, Ali; Madan, Dilip B. (2003). "Fijación de precios de opciones americanas con gamma de varianza". Revista de finanzas computacionales . 7 (2): 63–80. doi :10.21314/JCF.2003.112. S2CID  8283519.
6. Filo Fiorani (2004). Fijación de precios de opciones según el proceso de varianza gamma . Tesis inédita. pág. 380. SSRN  1411741.PDF.
7. Lemmens, Damiaan; Liang, Ling Zhi; Tempere, Jacques; De Schepper, Ann (2010), "Límites de fijación de precios para opciones asiáticas aritméticas discretas según los modelos de Lévy", Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications , 389 (22): 5193–5207, Bibcode :2010PhyA..389.5193L, doi :10.1016/j.physa.2010.07.026
8. Filo Fiorani, Elisa Luciano y Patrizia Semeraro, (2007), Incumplimiento único y conjunto en un modelo estructural con activos puramente discontinuos, Documento de trabajo n.° 41, Cuadernos de Carlo Alberto , Collegio Carlo Alberto. URLPDF
9. Michael C. Fu (2000). "Varianza-Gamma y Monte Carlo". En Michael C. Fu; Robert A. Jarrow; Ju-Yi J. Yen; Robert J. Elliott (eds.). Avances en finanzas matemáticas . Boston: Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4544-1.
10. Ralf Korn; Elke Korn y Gerald Kroisandt (2010). Métodos y modelos de Monte Carlo en finanzas y seguros . Boca Raton, Fla.: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4200-7618-9.(Sección 7.3.3)
11. Sexton, C. y Hanzon, B., "Cálculos de espacio de estados para densidades EPT bilaterales con aplicaciones de modelado financiero", www.2-ept.com