Subordinante (matemáticas)

En teoría de probabilidad , un subordinador es un proceso estocástico que no es negativo y cuyos incrementos son estacionarios e independientes . ^[1] Los subordinadores son una clase especial de proceso de Lévy que desempeñan un papel importante en la teoría del tiempo local . ^[2] En este contexto, los subordinadores describen la evolución del tiempo dentro de otro proceso estocástico, el proceso estocástico subordinado. En otras palabras, un subordinador determinará el número aleatorio de "pasos de tiempo" que ocurren dentro del proceso subordinado para una unidad dada de tiempo cronológico.

Para ser subordinado, un proceso debe ser un proceso de Lévy ^[3] También debe ser creciente, casi con seguridad , ^[3] o un proceso aditivo . ^[4]

Definición

Un subordinador es un proceso estocástico de valor real que no es negativo y es un proceso de Lévy . ^[1] Los subordinadores son los procesos estocásticos que tienen todas las siguientes propiedades: ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$

• ${\displaystyle X_{0}=0}$ casi seguro
• ${\displaystyle X}$no es negativo, es decir, para todos ${\displaystyle X_{t}\geq 0}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle X}$ tiene incrementos estacionarios , lo que significa que para y , la distribución de la variable aleatoria depende solo de y no de ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle Y_{t,h}:=X_{t+h}-X_{t}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle X}$tiene incrementos independientes , lo que significa que para todos y todas , las variables aleatorias definidas por son independientes entre sí ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}}$ ${\displaystyle (Y_{i})_{i=0,\dots ,n-1}}$ ${\displaystyle Y_{i}=X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}}}$
• Los caminos de son càdlàg , es decir, son continuos desde la derecha en todas partes y los límites desde la izquierda existen en todas partes. ${\displaystyle X}$

Ejemplos

El proceso de varianza gamma se puede describir como un movimiento browniano sujeto a un subordinador gamma . ^[3] Si un movimiento browniano , , con deriva está sujeto a un cambio de tiempo aleatorio que sigue un proceso gamma , , el proceso de varianza gamma seguirá: ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle \theta t}$ ${\displaystyle \Gamma (t;1,\nu )}$

${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\theta \,\Gamma (t;1,\nu )+\sigma \,W(\Gamma (t;1,\nu )).}$

El proceso de Cauchy puede describirse como un movimiento browniano sujeto a un subordinador de Lévy . ^[3]

Representación

Cada subordinador puede escribirse como ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$

${\displaystyle X_{t}=at+\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }x\;\Theta (\mathrm {d} s\;\mathrm {d} x)}$

dónde

• ${\displaystyle a\geq 0}$es un escalar y
• ${\displaystyle \Theta }$es un proceso de Poisson con medida de intensidad . Aquí hay una medida con , y es la medida de Lebesgue . ${\displaystyle (0,\infty )\times (0,\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \Theta =\lambda \otimes \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\max(x,1)\;\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$ ${\displaystyle \lambda }$

La medida se llama medida de Lévy del subordinador, y el par se llama características del subordinador. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (a,\mu )}$

Por el contrario, cualquier escalar y medida en con define un subordinador con características por la relación anterior. ^{[5] [1]} ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle \int \max(x,1)\;\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$ ${\displaystyle (a,\mu )}$

Referencias

1. Kallenberg, Olav (2002). Fundamentos de la probabilidad moderna (2.ª ed.). Nueva York: Springer. pág. 290.
2. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. p. 651. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
3. Applebaum, D. "Conferencias sobre procesos de Lévy y cálculo estocástico, Braunschweig; Conferencia 2: Procesos de Lévy" (PDF) . Universidad de Sheffield. págs. 37–53.
4. Li, Jing; Li, Lingfei; Zhang, Gongqiu (2017). "Modelos de salto puro para la fijación de precios y cobertura de derivados del VIX". Journal of Economic Dynamics and Control . 74 . doi :10.1016/j.jedc.2016.11.001.
5. Kallenberg, Olav (2002). Fundamentos de la probabilidad moderna (2.ª ed.). Nueva York: Springer. pág. 287.