Función de densidad de probabilidad 2-EPT

En teoría de probabilidad , una función de densidad de probabilidad 2-EPT es una clase de funciones de densidad de probabilidad en la línea real. La clase contiene las funciones de densidad de todas las distribuciones que tienen funciones características que son funciones racionales estrictamente propias (es decir, el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador).

Definición

Una función de densidad de probabilidad 2-EPT es una función de densidad de probabilidad con una función característica racional estrictamente propia . En cualquiera de estas funciones de densidad de probabilidad se encuentran funciones trigonométricas polinomiales exponenciales (EPT). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,+\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)}$

Cualquier función de densidad EPT se puede representar como ${\displaystyle (-\infty ,0)}$

${\displaystyle f(x)={\textbf {c}}_{N}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N},}$

donde e representa una matriz exponencial, son matrices cuadradas, son vectores columna y son vectores fila. De manera similar, la función de densidad EPT en se expresa como ${\displaystyle ({\textbf {A}}_{N},{\textbf {A}}_{P})}$ ${\displaystyle ({\textbf {b}}_{N},{\textbf {b}}_{P})}$ ${\displaystyle ({\textbf {c}}_{N},{\textbf {c}}_{P})}$ ${\displaystyle [0,-\infty )}$

${\displaystyle f(x)={\textbf {c}}_{P}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}.}$

La parametrización es la realización mínima ^[1] de la función 2-EPT. ${\displaystyle ({\textbf {A}}_{N},{\textbf {b}}_{N},{\textbf {c}}_{N},{\textbf {A}}_{P},{\textbf {b}}_{P},{\textbf {c}}_{P})}$

La clase general de medidas de probabilidad con funciones características racionales (propias) son densidades correspondientes a mezclas de masa puntual en cero (" distribución delta ") y densidades 2-EPT. A diferencia de las distribuciones geométricas de tipo fase y matriz ^[2] , las funciones de densidad de probabilidad 2-EPT se definen en toda la línea real. Se ha demostrado que la clase de densidades 2-EPT está cerrada bajo muchas operaciones y, utilizando realizaciones mínimas, estos cálculos se han ilustrado para el marco bilateral en Sexton y Hanzon. ^[3] La operación más compleja es la convolución de densidades 2-EPT utilizando técnicas de espacio de estados. Gran parte del trabajo se centra en la capacidad de descomponer la función característica racional en la suma de dos funciones racionales con polos ubicados en el semiplano abierto izquierdo o derecho. Se ha demostrado que la densidad de distribución de varianza-gamma es una densidad 2-EPT bajo una restricción de parámetros. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Notas

1. Kailath, T. (1980) Sistemas lineales , Prentice Hall, 1980
2. Neuts, M. "Distribuciones de probabilidad de tipo fase", Liber Amicorum Prof. Emeritus H. Florin páginas 173-206, Departamento de Matemáticas, Universidad de Lovaina, Bélgica 1975
3. Sexton, C. y Hanzon, B., "Cálculos de espacio de estados para densidades EPT bilaterales con aplicaciones de modelado financiero", www.2-ept.com
4. Madan, D., Carr, P., Chang, E. (1998) "El proceso de varianza gamma y la fijación de precios de opciones", European Finance Review 2: 79–105

Enlaces externos

• 2 - Funciones de densidad de probabilidad trigonométrica polinomial exponencial (2-EPT) Archivado el 8 de julio de 2020 en Wayback Machine Sitio web para antecedentes e implementaciones de Matlab