modelo idiota

Modelo de conducción eléctrica.

Los electrones del modelo Drude (que se muestran aquí en azul) rebotan constantemente entre iones de cristal estacionarios más pesados ​​(que se muestran en rojo). ^{[ cita necesaria ]}

El modelo Drude de conducción eléctrica fue propuesto en 1900 ^{[1] [2]} por Paul Drude para explicar las propiedades de transporte de electrones en materiales (especialmente metales). Básicamente, la ley de Ohm estaba bien establecida y establecía que la corriente J y el voltaje V que impulsan la corriente están relacionados con la resistencia R del material. La inversa de la resistencia se conoce como conductancia. Cuando consideramos un metal de unidad de longitud y unidad de área de sección transversal, la conductancia se conoce como conductividad, que es la inversa de la resistividad . El modelo Drude intenta explicar la resistividad de un conductor en términos de la dispersión de electrones (los portadores de electricidad) por los iones relativamente inmóviles del metal que actúan como obstrucciones al flujo de electrones.

El modelo, que es una aplicación de la teoría cinética , supone que el comportamiento microscópico de los electrones en un sólido puede tratarse de forma clásica y se comporta de forma muy parecida a una máquina de pinball , con un mar de electrones en constante vibración que rebotan y rebotan en objetos más pesados ​​y relativamente inmóviles. iones positivos.

En términos modernos, esto se refleja en el modelo de electrones de valencia, donde el mar de electrones está compuesto únicamente por los electrones de valencia ^[3] y no por el conjunto completo de electrones disponibles en el sólido, y los centros de dispersión son las capas internas de átomos estrechamente unidos. electrones al núcleo. Los centros de dispersión tenían una carga positiva equivalente al número de valencia de los átomos. ^{[Ashcroft & Mermin 1]} Esta similitud, sumada a algunos errores de cálculo en el artículo de Drude, terminó proporcionando una teoría cualitativa razonable de los sólidos capaz de hacer buenas predicciones en ciertos casos y dar resultados completamente incorrectos en otros. Cada vez que la gente intentaba dar más sustancia y detalles a la naturaleza de los centros de dispersión, a la mecánica de la dispersión y al significado de la duración de la dispersión, todos estos intentos terminaban en fracaso. ^{[Ashcroft y Mermín 2]}

Las longitudes de dispersión calculadas en el modelo Drude son del orden de 10 a 100 distancias interatómicas, y tampoco se les pudo dar explicaciones microscópicas adecuadas.

La dispersión Drude no es una dispersión electrón-electrón, que es sólo un fenómeno secundario en la teoría moderna, ni la dispersión nuclear, dados los electrones, pueden ser, como máximo, absorbidos por los núcleos. El modelo permanece un poco mudo sobre los mecanismos microscópicos; en términos modernos, esto es lo que ahora se llama el "mecanismo de dispersión primaria", donde el fenómeno subyacente puede ser diferente caso por caso. ^{[Ashcroft y Mermín 3]}

El modelo ofrece mejores predicciones para los metales, especialmente en lo que respecta a la conductividad, ^{[Ashcroft & Mermin 4]} y, a veces, se le llama teoría Drude de los metales. Esto se debe a que los metales tienen esencialmente una mejor aproximación al modelo de electrones libres , es decir, los metales no tienen estructuras de bandas complejas , los electrones se comportan esencialmente como partículas libres y donde, en el caso de los metales, el número efectivo de electrones deslocalizados es esencialmente el igual que el número de valencia. ^{[Ashcroft y Mermín 5]}

Los dos resultados más significativos del modelo Drude son una ecuación electrónica de movimiento,

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{m}}\times \mathbf {B} \right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$$

la densidad de corriente JE

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\,\mathbf {E} .}$$

Aquí t es el tiempo, ⟨ p ⟩ es el momento promedio por electrón y q, n, m y τ son, respectivamente, la carga del electrón, la densidad numérica, la masa y el tiempo libre medio entre colisiones iónicas. Esta última expresión es particularmente importante porque explica en términos semicuantitativos por qué debería cumplirse la ley de Ohm , una de las relaciones más ubicuas en todo el electromagnetismo. ^{[Ashcroft y Mermin 6] [4] [5]}

Los siguientes pasos dieron pasos hacia una teoría más moderna de los sólidos:

• El modelo sólido de Einstein y el modelo de Debye , sugiriendo que el comportamiento cuántico del intercambio de energía en unidades integrales o cuantos era un componente esencial en la teoría completa, especialmente con respecto a los calores específicos , donde la teoría de Drude falló.
• En algunos casos, concretamente en el efecto Hall, la teoría hacía predicciones correctas si en lugar de utilizar una carga negativa para los electrones se utilizaba una carga positiva. Esto ahora se interpreta como agujeros (es decir, cuasipartículas que se comportan como portadores de carga positiva), pero en la época de Drude no estaba claro por qué era así. ^{[Ashcroft y Mermín 7]}

Drude utilizó la estadística de Maxwell-Boltzmann para el gas de electrones y para derivar el modelo, que era el único disponible en ese momento. Al reemplazar las estadísticas con las estadísticas correctas de Fermi Dirac , Sommerfeld mejoró significativamente las predicciones del modelo, aunque todavía tenía una teoría semiclásica que no podía predecir todos los resultados de la teoría cuántica de sólidos moderna. ^{[Ashcroft y Mermín 8]}

Historia

El físico alemán Paul Drude propuso su modelo en 1900 cuando no estaba claro si existían los átomos ni qué eran los átomos a escala microscópica. ^[6] En su artículo original, Drude cometió un error al estimar que el número de Lorenz de la ley de Wiedemann-Franz era el doble de lo que debería haber sido clásicamente, haciéndolo parecer de acuerdo con el valor experimental del calor específico. Este número es aproximadamente 100 veces menor que la predicción clásica, pero este factor se anula con la velocidad electrónica media que es aproximadamente 100 veces mayor que el cálculo de Drude. ^{[Ashcroft y Mermín 9]}

La primera prueba directa de los átomos mediante el cálculo del número de Avogadro a partir de un modelo microscópico se debe a Albert Einstein , el primer modelo moderno de estructura atómica data de 1904 y el modelo de Rutherford de 1909. Drude parte del descubrimiento de los electrones en 1897 por JJ Thomson y asume como modelo simplista de sólidos que la mayor parte del sólido está compuesta de centros de dispersión cargados positivamente, y un mar de electrones sumergen esos centros de dispersión para hacer que el sólido total sea neutro desde una perspectiva de carga. ^{[Ashcroft & Mermin 10]} El modelo fue ampliado en 1905 por Hendrik Antoon Lorentz (y por lo tanto también se lo conoce como modelo Drude-Lorentz ) ^[7] para dar la relación entre la conductividad térmica y la conductividad eléctrica de los metales (ver número de Lorenz ), y es un modelo clásico . Posteriormente , Arnold Sommerfeld y Hans Bethe lo complementaron con los resultados de la teoría cuántica en 1933 , lo que condujo al modelo Drude-Sommerfeld .

Hoy en día, los modelos de Drude y Sommerfeld siguen siendo importantes para comprender el comportamiento cualitativo de los sólidos y obtener una primera comprensión cualitativa de una configuración experimental específica. ^{[Ashcroft & Mermin 11]} Este es un método genérico en física del estado sólido , donde es típico aumentar incrementalmente la complejidad de los modelos para dar predicciones cada vez más precisas. Es menos común utilizar una teoría cuántica de campos completa desde los primeros principios, dadas las complejidades debidas a la enorme cantidad de partículas e interacciones y el poco valor agregado de las matemáticas adicionales involucradas (considerando la ganancia incremental en precisión numérica de las predicciones). ). ^[8]

Suposiciones

Drude utilizó la teoría cinética de los gases aplicada al gas de electrones que se mueven sobre un fondo fijo de " iones "; esto contrasta con la forma habitual de aplicar la teoría de los gases como un gas neutro diluido sin fondo. Se supuso que la densidad numérica del gas de electrones era

$${\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},}$$

ZA^{[Ashcroft & Mermin 10][Ashcroft & Mermin 10] 10]}N _Aconstante de Avogadro ${\displaystyle \rho _{\text{m}}}$

$${\displaystyle {\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.}$$

radio de Bohrlos metales alcalinos^{[Ashcroft y Mermín 12]} ${\displaystyle r_{\text{s}}}$

Los supuestos centrales hechos en el modelo Drude son los siguientes:

• Drude aplicó la teoría cinética de un gas diluido, a pesar de las altas densidades, ignorando por lo tanto las interacciones electrón-electrón y electrón-ion, aparte de las colisiones. ^{[Ashcroft y Mermín 13]}
• El modelo Drude considera que el metal está formado por una colección de iones cargados positivamente de los que se han desprendido una serie de "electrones libres". Se puede pensar que son los electrones de valencia de los átomos que se han deslocalizado debido al campo eléctrico de los otros átomos. ^{[Ashcroft y Mermín 12]}
• El modelo de Drude ignora la interacción de largo alcance entre el electrón y los iones o entre los electrones; esto se llama aproximación del electrón independiente. ^{[Ashcroft y Mermín 12]}
• Los electrones se mueven en línea recta entre una colisión y otra; esto se llama aproximación de electrones libres. ^{[Ashcroft y Mermín 12]}
• La única interacción de un electrón libre con su entorno se consideró como colisiones con el impenetrable núcleo de iones. ^{[Ashcroft y Mermín 12]}
• El tiempo medio entre colisiones posteriores de dicho electrón es τ , con una distribución de Poisson sin memoria . La naturaleza del compañero de colisión del electrón no importa para los cálculos y conclusiones del modelo de Drude. ^{[Ashcroft y Mermín 12]}
• Después de un evento de colisión, la distribución de la velocidad y la dirección de un electrón está determinada únicamente por la temperatura local y es independiente de la velocidad del electrón antes del evento de colisión. ^{[Ashcroft & Mermin 12]} Se considera que el electrón está inmediatamente en equilibrio con la temperatura local después de una colisión.

Eliminar o mejorar cada uno de estos supuestos da como resultado modelos más refinados, que pueden describir con mayor precisión diferentes sólidos:

• La mejora de la hipótesis de la estadística de Maxwell-Boltzmann con la estadística de Fermi-Dirac conduce al modelo de Drude-Sommerfeld .
• Mejorar la hipótesis de la estadística de Maxwell-Boltzmann con la estadística de Bose-Einstein conduce a consideraciones sobre el calor específico de los átomos de espín enteros ^[9] y al condensado de Bose-Einstein .
• Un electrón de banda de valencia en un semiconductor sigue siendo esencialmente un electrón libre en un rango de energía delimitado (es decir, sólo una colisión "rara" de alta energía que implique un cambio de banda se comportaría de manera diferente); la aproximación independiente del electrón sigue siendo esencialmente válida (es decir, sin dispersión electrón-electrón), mientras que en cambio se descarta la hipótesis sobre la localización de los eventos de dispersión (en términos simples, el electrón está y se dispersa por todas partes). ^[10]

Tratamiento matemático

campo CC

El análisis más simple del modelo Drude supone que el campo eléctrico E es uniforme y constante, y que la velocidad térmica de los electrones es lo suficientemente alta como para que acumulen sólo una cantidad infinitesimal de impulso d p entre colisiones, que ocurren en promedio cada τ segundos. . ^{[Ashcroft y Mermín 6]}

Entonces, un electrón aislado en el tiempo t habrá estado viajando en promedio durante el tiempo τ desde su última colisión y, en consecuencia, habrá acumulado impulso.

$${\displaystyle \Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$$

Durante su última colisión, es probable que este electrón haya rebotado hacia adelante o hacia atrás, por lo que todas las contribuciones anteriores al impulso del electrón pueden ignorarse, lo que da como resultado la expresión

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$$

Sustituyendo las relaciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$$

Análisis variable en el tiempo

Respuesta drusa de la densidad de corriente a un campo eléctrico de CA.

La dinámica también se puede describir introduciendo una fuerza de arrastre efectiva. En el momento t = t ₀ + dt el momento del electrón será:

$${\displaystyle \mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)}$$

Fuerza de Lorentz ${\displaystyle \mathbf {f} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {g} (t_{0})}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0}$

$${\displaystyle {\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.}$$

En promedio, una fracción de los electrones no habrá experimentado otra colisión, la otra fracción que tuvo la colisión en promedio saldrá en una dirección aleatoria y contribuirá al impulso total solo en un factor que es de segundo orden. ^{[Ashcroft y Mermín 14]} ${\displaystyle 1-{\frac {dt}{\tau }}}$ ${\displaystyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt}$

Con un poco de álgebra y eliminando términos de orden , esto da como resultado la ecuación diferencial genérica ${\displaystyle dt^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$$

El segundo término es en realidad una fuerza de arrastre adicional o un término de amortiguación debido a los efectos Drude.

Campo eléctrico constante

En el momento t = t ₀ + dt, el momento promedio del electrón será

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$$

⟨ p ⟩q

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }}$$

pag ( t )en estado estacionariore ⟨ p ⟩/dt= 0

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .}$$

Como se indicó anteriormente, el impulso promedio puede estar relacionado con la velocidad promedio y esto a su vez puede estar relacionado con la densidad de corriente,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}}$$

CC σ ₀ ${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E} }$

$${\displaystyle \sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}}$$

campo de CA

Conductividad compleja para diferentes frecuencias suponiendo que τ = 10 ⁻⁵ y que σ ₀ = 1 .

El modelo Drude también puede predecir la corriente como respuesta a un campo eléctrico dependiente del tiempo con una frecuencia angular ω . La conductividad compleja es

$${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.}$$

Aquí se supone que:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$

i−i−j

Prueba utilizando la ecuación de movimiento ^{[Ashcroft & Mermin 15]}

Dado

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (t)&=\Re {\left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {E} (t)&=\Re {\left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\end{aligned}}}$$

Y la ecuación de movimiento de arriba

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$$

sustituyendo

$${\displaystyle -i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}}$$

Dado

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}\\\mathbf {j} (t)&=\Re {\left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {j} (\omega )&=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}\end{aligned}}}$$

definiendo la conductividad compleja a partir de:

$${\displaystyle \mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )}$$

Tenemos:

$${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}$$

La parte imaginaria indica que la corriente va por detrás del campo eléctrico. Esto sucede porque los electrones necesitan aproximadamente un tiempo τ para acelerarse en respuesta a un cambio en el campo eléctrico. Aquí el modelo Drude se aplica a los electrones; se puede aplicar tanto a electrones como a huecos; es decir, portadores de carga positiva en semiconductores. Las curvas para σ ( ω ) se muestran en el gráfico.

Si se aplica al sólido un campo eléctrico que varía sinusoidalmente con la frecuencia , los electrones cargados negativamente se comportan como un plasma que tiende a moverse una distancia x del fondo cargado positivamente. Como resultado, la muestra se polariza y habrá un exceso de carga en las superficies opuestas de la muestra. ${\displaystyle \omega }$

La constante dieléctrica de la muestra se expresa como

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}}$$

desplazamiento eléctricodensidad de polarización ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$

La densidad de polarización se escribe como

$${\displaystyle P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}}$$

n

$${\displaystyle P=-nex}$$

$${\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E}$$

$${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}}$$

Prueba utilizando las ecuaciones de Maxwell ^{[Ashcroft & Mermin 16]}

Dadas las aproximaciones para lo incluido anteriormente ${\displaystyle \sigma (\omega )}$

• asumimos que no hay campo electromagnético: esto siempre es menor en un factor v/c dado el término adicional de Lorentz en la ecuación de movimiento ${\displaystyle -{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B} }$
• Supusimos un campo espacialmente uniforme: esto es cierto si el campo no oscila considerablemente a través de unos pocos caminos libres medios de electrones. Normalmente, este no es el caso: el camino libre medio es del orden de Angstroms, correspondientes a longitudes de onda típicas de los rayos X.

Dadas las ecuaciones de Maxwell sin fuentes (que se tratan por separado en el ámbito de las oscilaciones del plasma )

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0;&\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}}$$

entonces

$${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)}$$

o

$${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E} }$$

que es una ecuación de onda electromagnética para un medio homogéneo continuo con constante dieléctrica en forma de Helmoltz ${\displaystyle \epsilon (\omega )}$

$${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\mathbf {E} }$$

donde el índice de refracción es y la velocidad de fase es, por lo tanto, la constante dieléctrica compleja es ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}}$ ${\displaystyle v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}}$

$${\displaystyle \epsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)}$$

que en el caso se puede aproximar a: ${\displaystyle \omega \tau \gg 1}$

$${\displaystyle \epsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}}$$

En una frecuencia de resonancia , llamada frecuencia de plasma , la función dieléctrica cambia de signo de negativo a positivo y la parte real de la función dieléctrica cae a cero. ${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$

$${\displaystyle \omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}}$$

de oscilación del plasmaplasmón^[11]ultravioleta^{[Ashcroft y Mermín 17]}

Conductividad térmica de los metales.

Un gran éxito del modelo Drude es la explicación de la ley de Wiedemann-Franz . Esto se debió a una cancelación fortuita de errores en el cálculo original de Drude. Drude predijo el valor del número de Lorenz:

$${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$$

^{[Ashcroft y Mermín 18]} ${\displaystyle 2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$

Derivación y errores de Drude ^{[Ashcroft & Mermin 16]}

Los sólidos pueden conducir calor mediante el movimiento de electrones, átomos e iones. Los conductores tienen una gran densidad de electrones libres, mientras que los aislantes no la tienen; Los iones pueden estar presentes en cualquiera de los dos. Dada la buena conductividad eléctrica y térmica de los metales y la mala conductividad eléctrica y térmica de los aisladores, un punto de partida natural para estimar la conductividad térmica es calcular la contribución de los electrones de conducción.

La densidad de corriente térmica es el flujo por unidad de tiempo de energía térmica a través de una unidad de área perpendicular al flujo. Es proporcional al gradiente de temperatura.

$${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T}$$

¿Dónde está la conductividad térmica? En un cable unidimensional, la energía de los electrones depende de la temperatura local. Si imaginamos un gradiente de temperatura en el que la temperatura disminuye en la dirección x positiva, la velocidad promedio de los electrones es cero (pero no la velocidad promedio). Los electrones que lleguen a la ubicación x desde el lado de mayor energía llegarán con energías , mientras que los del lado de menor energía llegarán con energías . Aquí, es la velocidad promedio de los electrones y es el tiempo promedio desde la última colisión. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \epsilon [T(x)]}$ ${\displaystyle \varepsilon [T(x-v\tau )]}$ ${\displaystyle \varepsilon [T(x+v\tau )]}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \tau }$

El flujo neto de energía térmica en la ubicación x es la diferencia entre lo que pasa de izquierda a derecha y de derecha a izquierda:

$${\displaystyle \mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}}$$

El factor de1/2explica el hecho de que es igualmente probable que los electrones se muevan en cualquier dirección. Sólo la mitad contribuye al flujo en x .

Cuando el camino libre medio es pequeño, la cantidad se puede aproximar mediante una derivada con respecto a x. Esto da ${\displaystyle \ell =v\tau }$ ${\displaystyle {\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau }$

$${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot \left(-{\frac {dT}{dx}}\right)}$$

Dado que el electrón se mueve en las direcciones , y , la velocidad cuadrática media en la dirección es . También tenemos , ¿dónde está la capacidad calorífica específica del material? ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}}$ ${\displaystyle c_{v}}$

Juntando todo esto, la densidad de corriente de energía térmica es

$${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T}$$

Esto determina la conductividad térmica:

$${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}}$$

(Esta derivación ignora la dependencia de la temperatura y, por tanto, la dependencia de la posición, de la velocidad v. Esto no introducirá un error significativo a menos que la temperatura cambie rápidamente en una distancia comparable al camino libre medio.)

Dividir la conductividad térmica por la conductividad eléctrica elimina el tiempo de dispersión y da ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}}$$

En este punto del cálculo, Drude hizo dos suposiciones que ahora se sabe que son errores. Primero, utilizó el resultado clásico para la capacidad calorífica específica de los electrones de conducción: . Esto sobreestima la contribución electrónica a la capacidad calorífica específica en un factor de aproximadamente 100. En segundo lugar, Drude utilizó la velocidad cuadrática media clásica para los electrones, . Esto subestima la energía de los electrones en un factor de aproximadamente 100. La cancelación de estos dos errores da como resultado una buena aproximación a la conductividad de los metales. Además de estas dos estimaciones, Drude también cometió un error estadístico y sobreestimó el tiempo medio entre colisiones en un factor de 2. Esta confluencia de errores dio un valor para el número de Lorenz notablemente cercano a los valores experimentales. ${\displaystyle c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T}$

El valor correcto del número de Lorenz estimado a partir del modelo Drude es ^{[Ashcroft & Mermin 19]}

$${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}.}$$

Termoenergía

Un gradiente de temperatura genérico cuando se enciende en una barra delgada desencadenará una corriente de electrones hacia el lado de temperatura más baja, dado que los experimentos se realizan en forma de circuito abierto, esta corriente se acumulará en ese lado generando un campo eléctrico que contrarresta la corriente eléctrica. Este campo se llama campo termoeléctrico:

$${\displaystyle \mathbf {E} =Q\nabla T}$$

$${\displaystyle Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}}$$

^{[Ashcroft y Mermín 20]}

Prueba junto con los errores de Drude ^{[Ashcroft & Mermin 21]}

Del modelo unidimensional simple

$${\displaystyle v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)}$$

Ampliando a 3 grados de libertad ${\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }$

$${\displaystyle \mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)}$$

La velocidad media debida al campo eléctrico (dada la ecuación de movimiento anterior en equilibrio)

$${\displaystyle \mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}}$$

Para tener un total nulo actual tenemos ${\displaystyle \mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0}$

$${\displaystyle Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}}$$

Y como es habitual en el caso Drude ${\displaystyle c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$

$${\displaystyle Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}}$$

donde las termopotencias típicas a temperatura ambiente son 100 veces menores del orden de microvoltios. ^{[Ashcroft y Mermín 20]}

Precisión del modelo.

El modelo Drude proporciona una muy buena explicación de la conductividad CC y CA en metales, el efecto Hall y la magnetorresistencia ^{[Ashcroft & Mermin 14]} en metales cerca de la temperatura ambiente. El modelo también explica en parte la ley de Wiedemann-Franz de 1853.

La fórmula de Drude se obtiene de forma limitada, es decir, suponiendo que los portadores de carga forman un gas ideal clásico . Cuando se considera la teoría cuántica, el modelo de Drude se puede extender al modelo de electrones libres , donde los portadores siguen la distribución de Fermi-Dirac . La conductividad predicha es la misma que en el modelo de Drude porque no depende de la forma de distribución electrónica de la velocidad. Sin embargo, el modelo de Drude sobreestima en gran medida la capacidad calorífica electrónica de los metales. En realidad, los metales y los aislantes tienen aproximadamente la misma capacidad calorífica a temperatura ambiente. Además, el modelo Drude no explica la tendencia dispersa de la conductividad eléctrica frente a la frecuencia por encima de aproximadamente 2 THz. ^{[12] [13]}

El modelo también se puede aplicar a portadores de carga positivos (huecos).

Respuesta grosa en materiales reales.

El comportamiento característico de un metal Drude en el dominio del tiempo o de la frecuencia, es decir, la relajación exponencial con una constante de tiempo τ o la dependencia de la frecuencia para σ ( ω ) indicada anteriormente, se denomina respuesta Drude. En un metal convencional, simple y real (por ejemplo, sodio, plata u oro a temperatura ambiente), tal comportamiento no se encuentra experimentalmente, porque la frecuencia característica τ ⁻¹ está en el rango de frecuencia infrarroja, donde otras características que no se consideran en el El modelo drude (como la estructura de la banda ) juega un papel importante. ^[12] Pero para ciertos otros materiales con propiedades metálicas, se encontró que la conductividad dependiente de la frecuencia sigue de cerca la simple predicción de Drude para σ ( ω ) . Estos son materiales donde la tasa de relajación τ ⁻¹ es de frecuencias mucho más bajas. ^[12] Este es el caso de ciertos monocristales semiconductores dopados , ^[14] gases de electrones bidimensionales de alta movilidad , ^[15] y metales con fermiones pesados . ^[dieciséis]

Ver también

• Modelo de electrones libres
• Arnoldo Sommerfeld
• Conductividad eléctrica

Referencias

Citas

1. Ashcroft & Mermin 1976, págs. 3 página nota 4 y fig. 1.1
2. Ashcroft & Mermin 1976, págs. 3 página nota 7 y fig. 1.2
3. Ashcroft & Mermin 1976, págs. 3 página nota 6
4. Ashcroft y Mermin 1976, págs.8 tabla 1.2
5. Ashcroft y Mermin 1976, págs.5 tabla 1.1
6. Ashcroft y Mermin 1976, págs. 6-7
7. Ashcroft y Mermin 1976, págs.15 tabla 1.4
8. Ashcroft y Mermin 1976, págs.4
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10. Ashcroft y Mermin 1976, págs.
11. Ashcroft y Mermin 1976, págs.2
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13. Ashcroft y Mermin 1976, págs.4
14. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 11
15. Ashcroft y Mermin 1976, págs.16
16. Ashcroft y Mermin 1976, págs.17
17. Ashcroft y Mermin 1976, págs.18 tabla 1.5
18. Ashcroft y Mermin 1976, págs.18 tabla 1.6
19. Ashcroft y Mermin 1976, págs.25 problema 1
20. Ashcroft y Mermin 1976, págs.25
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Referencias

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General

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enlaces externos

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