Modelo de Diosi-Penrose

El modelo de Diósi-Penrose fue introducido como una posible solución al problema de medición , donde el colapso de la función de onda está relacionado con la gravedad. El modelo fue sugerido por primera vez por Lajos Diósi al estudiar cómo las posibles fluctuaciones gravitacionales pueden afectar la dinámica de los sistemas cuánticos. ^{[1] [2]} Más tarde, siguiendo una línea de razonamiento diferente, Roger Penrose llegó a una estimación para el tiempo de colapso de una superposición debido a efectos gravitacionales, que es la misma (dentro de un factor numérico sin importancia) que la encontrada por Diósi, de ahí el nombre de modelo de Diósi-Penrose. Sin embargo, debe señalarse que mientras Diósi dio una ecuación dinámica precisa para el colapso, ^[2] Penrose adoptó un enfoque más conservador, estimando solo el tiempo de colapso de una superposición. ^[3]

El modelo de Diosi

En el modelo de Diósi, el colapso de la función de onda se induce por la interacción del sistema con un campo de ruido clásico, donde la función de correlación espacial de este ruido está relacionada con el potencial newtoniano. La evolución del vector de estado se desvía de la ecuación de Schrödinger y tiene la estructura típica de las ecuaciones de los modelos de colapso : ${\displaystyle |\psi _{t}\rangle }$

dónde

es la función de densidad de masa, con , y respectivamente la masa, el operador de posición y la función de densidad de masa de la partícula -ésima del sistema. es un parámetro introducido para difuminar la función de densidad de masa, necesario ya que se toma una distribución de masa puntual ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$ ${\displaystyle \mu _{R_{0}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{point}}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{N}m_{j}\delta (\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }}_{j})}$

conduciría a divergencias en las predicciones del modelo, por ejemplo, una tasa de colapso infinita ^{[4] [5]} o un aumento de la energía. ^{[6] [7]} Normalmente, en la literatura se han considerado dos distribuciones diferentes para la densidad de masa : un perfil de densidad de masa esférico o gaussiano, dados respectivamente por ${\displaystyle \mu _{R_{0}}(\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }}_{j})}$

${\displaystyle \mu _{R_{0}}^{\text{s}}(\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }}_{j})={\frac {3}{4\pi R_{0}^{3}}}\theta {\big (}|\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }}_{j}|-R_{0}{\big )}}$

y

${\displaystyle \mu _{R_{0}}^{\text{g}}(\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }}_{j})={\frac {1}{(2\pi R_{0}^{2})^{3/2}}}\,\exp \left(-{\frac {(\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }}_{j})^{2}}{2R_{0}^{2}}}\right).}$

La elección de una u otra distribución no afecta significativamente las predicciones del modelo, siempre que se considere el mismo valor para . El campo de ruido en la ecuación ( 1 ) tiene media cero y correlación dada por ${\displaystyle \mu _{R_{0}}(\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }}_{j})}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle w(\mathbf {x} ,t):={\frac {dW(\mathbf {x} ,t)}{dt}}}$

donde “ ” denota el promedio sobre el ruido. Se puede entonces entender a partir de las ecuaciones ( 1 ) y ( 3 ) en qué sentido el modelo está relacionado con la gravedad: la constante de acoplamiento entre el sistema y el ruido es proporcional a la constante gravitacional , y la correlación espacial del campo de ruido tiene la forma típica de un potencial newtoniano. De manera similar a otros modelos de colapso, el modelo de Diósi-Penrose comparte las dos características siguientes: ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w(\mathbf {x} ,t)}$

• El modelo describe un colapso en la posición.
• Existe un mecanismo de amplificación que garantiza que los objetos más masivos se localicen con mayor eficacia.

Para mostrar estas características, es conveniente escribir la ecuación maestra para el operador estadístico correspondiente a la Ec. ( 1 ): ${\displaystyle \rho (t)=\mathbb {E} {\big [}|\psi _{t}\rangle \langle \psi _{t}|{\big ]}}$

Es interesante señalar que esta ecuación maestra ha sido derivada más recientemente por L. Diósi utilizando un enfoque híbrido donde partículas masivas cuantificadas interactúan con campos gravitacionales clásicos. ^[8]

Si se considera la ecuación maestra en la base de posición, introduciendo con , donde es un estado propio de posición de la -ésima partícula, descuidando la evolución libre, se encuentra ${\displaystyle \rho ({\vec {\boldsymbol {a}}},{\vec {\boldsymbol {b}}},t):=\langle {\vec {\boldsymbol {a}}}|\rho (t)|{\vec {\boldsymbol {b}}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\vec {\boldsymbol {a}}}\rangle :=|{\boldsymbol {a}}_{1}\rangle \otimes \dots \otimes |{\boldsymbol {a}}_{N}\rangle }$ ${\displaystyle |{\boldsymbol {a}}_{j}\rangle }$ ${\displaystyle j}$

con

dónde

${\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathbf {x} ,{\vec {\boldsymbol {a}}}):=\sum _{j}m_{j}\mu _{R_{0}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {a}}_{j})}$

es la densidad de masa cuando las partículas del sistema están centradas en los puntos , ..., . La ecuación ( 5 ) se puede resolver exactamente y se obtiene ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{N}}$

dónde

Como se esperaba, para los términos diagonales de la matriz de densidad, cuando , se tiene , es decir, el tiempo de decaimiento tiende a infinito, lo que implica que los estados con una posición bien localizada no se ven afectados por el colapso. Por el contrario, los términos fuera de la diagonal , que son diferentes de cero cuando se trata de una superposición espacial, decaerán con un tiempo de decaimiento dado por la ecuación ( 8 ). ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {a}}}={\vec {\boldsymbol {b}}}}$ ${\displaystyle \Lambda ({\vec {\boldsymbol {a}}},{\vec {\boldsymbol {a}}})=0}$ ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {a}}}\neq {\vec {\boldsymbol {b}}}}$

Para tener una idea de la escala en la que el colapso inducido gravitacionalmente se vuelve relevante, se puede calcular el tiempo de decaimiento en la ecuación ( 8 ) para el caso de una esfera con radio y masa en una superposición espacial a una distancia . Luego, el tiempo de decaimiento se puede calcular ^[9] ) utilizando la ecuación ( 8 ) con ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle d:=|{\boldsymbol {a}}-{\boldsymbol {b}}|}$

donde . Para dar algunos ejemplos, si se considera un protón, para el cual  kg y  m, en una superposición con , se obtiene  años. Por el contrario, para un grano de polvo con  kg y  m, se obtiene  s. Por lo tanto, al contrario de lo que podría esperarse considerando las debilidades de la fuerza gravitatoria, los efectos del colapso relacionado con la gravedad se vuelven relevantes ya en la escala mesoscópica. ${\displaystyle \lambda =d/(2R_{0})}$ ${\displaystyle m\simeq 1.67\times 10^{-27}}$ ${\displaystyle R_{0}\simeq 10^{-15}}$ ${\displaystyle d\gg R_{0}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{DP}}\simeq 10^{6}}$ ${\displaystyle m\simeq 6\times 10^{-12}}$ ${\displaystyle R_{0}\simeq 10^{-5}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{DP}}\simeq 10^{-8}}$

Recientemente, el modelo se ha generalizado incluyendo efectos disipativos ^{[7] [10]} y no markovianos ^[11] .

La propuesta de Penrose

Es bien sabido que la relatividad general y la mecánica cuántica , nuestras teorías más fundamentales para describir el universo, no son compatibles, y aún falta la unificación de las dos. El enfoque estándar para superar esta situación es tratar de modificar la relatividad general mediante la cuantización de la gravedad . Penrose sugiere un enfoque opuesto, lo que él llama "gravitización de la mecánica cuántica", donde la mecánica cuántica se modifica cuando los efectos gravitacionales se vuelven relevantes. ^{[3] [4] [9] [12] [13] [14]} El razonamiento subyacente a este enfoque es el siguiente: tomemos un sistema masivo de estados bien localizados en el espacio. En este caso, al estar bien localizado el estado, la curvatura inducida del espacio-tiempo está bien definida. Según la mecánica cuántica, debido al principio de superposición, el sistema puede colocarse (al menos en principio) en una superposición de dos estados bien localizados, lo que conduciría a una superposición de dos espacios-tiempos diferentes. La idea clave es que, dado que la métrica del espacio-tiempo debe estar bien definida, a la naturaleza “no le gustan” estas superposiciones de espacio-tiempo y las suprime colapsando la función de onda a uno de los dos estados localizados.

Para establecer estas ideas sobre una base más cuantitativa, Penrose sugirió que una forma de medir la diferencia entre dos espacios-tiempos, en el límite newtoniano, es

donde es la aceleración gravitacional newtoniana en el punto donde el sistema está localizado alrededor de . La aceleración se puede escribir en términos de los potenciales gravitacionales correspondientes , es decir . Usando esta relación en la ecuación ( 9 ), junto con la ecuación de Poisson , con dando la densidad de masa cuando el estado está localizado alrededor de , y su solución, se llega a ${\displaystyle g_{i}({\boldsymbol {r}})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle g_{i}({\boldsymbol {r}})}$ ${\displaystyle \Phi _{i}({\boldsymbol {r}})}$ ${\displaystyle g_{i}({\boldsymbol {r}})=-\nabla \Phi _{i}({\boldsymbol {r}})}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi _{i}({\boldsymbol {r}})=4\pi G\mu _{i}({\boldsymbol {r}})}$ ${\displaystyle \mu _{i}({\boldsymbol {r}})}$ ${\displaystyle i}$

El tiempo de desintegración correspondiente se puede obtener mediante la incertidumbre de tiempo-energía de Heisenberg :

que, salvo por un factor simplemente debido al uso de diferentes convenciones, es exactamente igual a la descomposición temporal derivada del modelo de Diósi. Esta es la razón por la que las dos propuestas se denominan juntas modelo de Diósi-Penrose. ${\displaystyle 8\pi }$ ${\displaystyle \tau _{\text{DP}}}$

Más recientemente, Penrose sugirió una nueva y bastante elegante forma de justificar la necesidad de un colapso inducido por la gravedad, basada en evitar tensiones entre el principio de superposición y el principio de equivalencia , piedras angulares de la mecánica cuántica y la relatividad general. Para explicarlo, comencemos comparando la evolución de un estado genérico en presencia de aceleración gravitatoria uniforme . Una forma de realizar el cálculo, lo que Penrose llama “perspectiva newtoniana”, ^{[4] [9]} consiste en trabajar en un marco inercial, con coordenadas espacio-temporales y resolver la ecuación de Schrödinger en presencia del potencial (típicamente, uno elige las coordenadas de tal manera que la aceleración esté dirigida a lo largo del eje, en cuyo caso ). Alternativamente, debido al principio de equivalencia, uno puede elegir ir en el marco de referencia de caída libre, con coordenadas relacionadas con por y , resolver la ecuación de Schrödinger libre en ese marco de referencia, y luego escribir los resultados en términos de las coordenadas inerciales . Esto es lo que Penrose llama “perspectiva einsteiniana”. La solución obtenida en la perspectiva einsteiniana y la obtenida en la perspectiva newtoniana están relacionadas entre sí por ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {r}},t)}$ ${\displaystyle V({\boldsymbol {x}})=m{\boldsymbol {g}}\cdot {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle V(z)=mgz}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {R}},T)}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {r}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {g}}t^{2}}$ ${\displaystyle T=t}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {r}},t)}$ ${\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {r}},t)}$ ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}},t)}$

Puesto que las dos funciones de onda son equivalentes aparte de una fase global, conducen a las mismas predicciones físicas, lo que implica que no hay problemas en esta situación en la que el campo gravitatorio siempre tiene un valor bien definido. Sin embargo, si la métrica espacio-temporal no está bien definida, entonces estaremos en una situación en la que hay una superposición de un campo gravitatorio correspondiente a la aceleración y uno correspondiente a la aceleración . Esto no crea problemas siempre que uno se ciña a la perspectiva newtoniana. Sin embargo, al utilizar la perspectiva einsteniana, implicará una diferencia de fase entre las dos ramas de la superposición dada por . Mientras que el término en el exponente lineal en el tiempo no conduce a ninguna dificultad conceptual, el primer término, proporcional a , es problemático, ya que es un residuo no relativista del llamado efecto Unruh : en otras palabras, los dos términos en la superposición pertenecen a diferentes espacios de Hilbert y, estrictamente hablando, no pueden superponerse. Aquí es donde el colapso inducido por la gravedad juega un papel, colapsando la superposición cuando el primer término de la fase se vuelve demasiado grande. ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}_{b}}$ ${\displaystyle e^{i{\frac {m}{\hbar }}\left({\frac {1}{6}}({\boldsymbol {g}}_{a}-{\boldsymbol {g}}_{b})^{2}t^{3}+({\boldsymbol {g}}_{a}-{\boldsymbol {g}}_{b})\cdot {\boldsymbol {r}}\,t\right)}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{3}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}(g_{a}-g_{b})^{2}t^{3}}$

También se puede encontrar más información sobre la idea de Penrose sobre el colapso inducido por la gravedad en la interpretación de Penrose .

Pruebas experimentales y límites teóricos

Dado que el modelo de Diósi-Penrose predice desviaciones de la mecánica cuántica estándar, el modelo puede probarse. El único parámetro libre del modelo es el tamaño de la distribución de densidad de masa, dada por . Todos los límites presentes en la literatura se basan en un efecto indirecto del colapso relacionado con la gravedad: una difusión de tipo browniano inducida por el colapso sobre el movimiento de las partículas. Esta difusión de tipo browniano es una característica común de todas las teorías de colapso objetivo y, típicamente, permite establecer los límites más fuertes en los parámetros de estos modelos. El primer límite en fue establecido por Ghirardi et al., ^[6] donde se demostró que  m para evitar un calentamiento poco realista debido a esta difusión inducida de tipo browniano. Luego, el límite se ha restringido aún más a  m mediante el análisis de los datos de los detectores de ondas gravitacionales. ^[15] y más tarde a  m mediante el estudio del calentamiento de las estrellas de neutrones. ^[16] ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}>10^{-15}}$ ${\displaystyle R_{0}>4\times 10^{-14}}$ ${\displaystyle R_{0}\gtrsim 10^{-13}}$

En cuanto a las pruebas interferométricas directas del modelo, donde se prepara un sistema en una superposición espacial, hay dos propuestas consideradas actualmente: una configuración optomecánica con un espejo mesoscópico que se colocará en una superposición mediante un láser, ^[17] y experimentos que involucran superposiciones de condensados ​​de Bose-Einstein . ^[9]

Véase también

• Problema de medición
• Interpretación de la mecánica cuántica
• Interpretación de Penrose
• Decoherencia gravitacional
• Colapso de la función de onda
• Teoría del colapso objetivo
• Teoría de Ghirardi-Rimini-Weber

Referencias

1. Diósi, L. (16 de marzo de 1987). "Una ecuación maestra universal para la violación gravitacional de la mecánica cuántica". Physics Letters A . 120 (8): 377–381. Bibcode :1987PhLA..120..377D. doi :10.1016/0375-9601(87)90681-5. ISSN  0375-9601.
2. Diósi, L. (1989-08-01). "Modelos para la reducción universal de fluctuaciones cuánticas macroscópicas". Physical Review A . 40 (3): 1165–1174. Bibcode :1989PhRvA..40.1165D. doi :10.1103/PhysRevA.40.1165. PMID  9902248.
3. Penrose, Roger (1996-05-01). "Sobre el papel de la gravedad en la reducción cuántica de estados". Relatividad general y gravitación . 28 (5): 581–600. Bibcode :1996GReGr..28..581P. doi :10.1007/BF02105068. ISSN  1572-9532. S2CID  44038399.
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