vaso giratorio

Estado magnético desordenado

Representación esquemática de la estructura de espín aleatorio de un vaso de espín (arriba) y la ordenada de un ferroimán (abajo)

El desorden magnético del vidrio giratorio en comparación con un ferroimán es análogo al desorden posicional del vidrio (izquierda) en comparación con el cuarzo (derecha).

En física de la materia condensada , un vidrio de espín es un estado magnético caracterizado por la aleatoriedad, además del comportamiento cooperativo en la congelación de _los espines a una temperatura llamada "temperatura de congelación" Tf . ^[1] En los sólidos ferromagnéticos , los espines magnéticos de los átomos componentes se alinean en la misma dirección. El vidrio giratorio, en comparación con un ferroimán, se define como un estado magnético " desordenado " en el que los espines se alinean aleatoriamente o sin un patrón regular y los acoplamientos también son aleatorios. ^[1]

El término "vidrio" proviene de una analogía entre el desorden magnético en un vidrio giratorio y el desorden posicional de un vidrio químico convencional , por ejemplo, un vidrio de ventana. En el vidrio de una ventana o en cualquier sólido amorfo, la estructura del enlace atómico es muy irregular; por el contrario, un cristal tiene un patrón uniforme de enlaces atómicos. En los sólidos ferromagnéticos , todos los espines magnéticos se alinean en la misma dirección; esto es análogo a la estructura reticular de un cristal .

Los enlaces atómicos individuales en un vidrio giratorio son una mezcla de números aproximadamente iguales de enlaces ferromagnéticos (donde los vecinos tienen la misma orientación) y enlaces antiferromagnéticos (donde los vecinos tienen exactamente la orientación opuesta: los polos norte y sur están invertidos 180 grados). Estos patrones de imanes atómicos alineados y desalineados crean lo que se conoce como interacciones frustradas  : distorsiones en la geometría de los enlaces atómicos en comparación con lo que se vería en un sólido regular completamente alineado. También pueden crear situaciones en las que más de una disposición geométrica de átomos sea estable.

Hay dos aspectos principales del vidrio giratorio. Desde el punto de vista físico, los vidrios giratorios son materiales reales con propiedades distintivas, cuya revisión se encuentra en ^[2] . En el aspecto matemático, se estudian y aplican ampliamente modelos de mecánica estadística simples, inspirados en lentes giratorios reales. ^[3]

Los vidrios de espín y las complejas estructuras internas que surgen dentro de ellos se denominan " metaestables " porque están "atascados" en configuraciones estables distintas a la configuración de menor energía (que sería alineada y ferromagnética). La complejidad matemática de estas estructuras es difícil pero fructífera de estudiar experimentalmente o mediante simulaciones ; con aplicaciones a la física, química, ciencia de materiales y redes neuronales artificiales en informática .

Comportamiento magnético

Es la dependencia del tiempo lo que distingue a los espín de otros sistemas magnéticos.

Por encima de la temperatura de transición del vidrio de espín , Tc _, [ ^{nota 1]} el vidrio de espín exhibe un comportamiento magnético típico (como el paramagnetismo ).

Si se aplica un campo magnético mientras la muestra se enfría hasta la temperatura de transición, la magnetización de la muestra aumenta como lo describe la ley de Curie . Al alcanzar _Tc , la muestra se convierte en un vidrio giratorio y un enfriamiento adicional produce pocos cambios en la magnetización. Esto se conoce como magnetización enfriada por campo .

Cuando se elimina el campo magnético externo, la magnetización del vidrio giratorio cae rápidamente a un valor más bajo conocido como magnetización remanente .

Luego, la magnetización decae lentamente a medida que se acerca a cero (o a una pequeña fracción del valor original; esto sigue siendo desconocido ). Esta desintegración no es exponencial y ninguna función simple puede ajustarse adecuadamente a la curva de magnetización versus tiempo. ^[4] Esta lenta decadencia es particular de los vasos giratorios. Las mediciones experimentales del orden de días han mostrado cambios continuos por encima del nivel de ruido de la instrumentación. ^[4]

Los vidrios de espín se diferencian de los materiales ferromagnéticos en que después de que se elimina el campo magnético externo de una sustancia ferromagnética, la magnetización permanece indefinidamente en el valor remanente. Los materiales paramagnéticos se diferencian de los vidrios de espín por el hecho de que, una vez eliminado el campo magnético externo, la magnetización cae rápidamente a cero, sin magnetización remanente. La decadencia es rápida y exponencial. ^{[ cita necesaria ]}

Si la muestra se enfría por debajo de Tc en ausencia de un campo magnético externo, y se aplica un campo magnético después de la _transición a la fase de vidrio de espín, hay un rápido aumento inicial hasta un valor llamado magnetización enfriada por campo cero . Luego se produce una lenta deriva ascendente hacia la magnetización enfriada por el campo.

Sorprendentemente, la suma de las dos funciones complicadas del tiempo (las magnetizaciones remanentes y enfriadas por campo cero) es una constante, es decir, el valor enfriado por campo, y por lo tanto ambas comparten formas funcionales idénticas con el tiempo, ^[5] al menos en el límite de campos externos muy pequeños.

Modelo de Edwards-Anderson

Esto es similar al modelo de Ising . En este modelo, tenemos espines dispuestos en una red de dimensiones con interacciones solo con el vecino más cercano. Este modelo se puede resolver exactamente para las temperaturas críticas y se observa que existe una fase vítrea a bajas temperaturas. ^[6] El hamiltoniano para este sistema de espín viene dado por: ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j},}$

donde se refiere a la matriz de espín de Pauli para la partícula de medio espín en el punto de la red , y la suma se refiere a la suma de los puntos de la red vecinos y . Un valor negativo de denota una interacción de tipo antiferromagnético entre espines en puntos y . La suma abarca todas las posiciones vecinas más cercanas en una red, de cualquier dimensión. Las variables que representan la naturaleza magnética de las interacciones espín-espín se denominan variables de enlace o de enlace. ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \langle ij\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{ij}}$

Para determinar la función de partición de este sistema, es necesario promediar la energía libre donde , sobre todos los valores posibles de . La distribución de valores de se considera gaussiana con una media y una varianza : ${\displaystyle f\left[J_{ij}\right]=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\mathcal {Z}}\left[J_{ij}\right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left[J_{ij}\right]=\operatorname {Tr} _{S}\left(e^{-\beta H}\right)}$ ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J^{2}}$

${\displaystyle P(J_{ij})={\sqrt {\frac {N}{2\pi J^{2}}}}\exp \left\{-{\frac {N}{2J^{2}}}\left(J_{ij}-{\frac {J_{0}}{N}}\right)^{2}\right\}.}$

Al resolver la energía libre utilizando el método de réplica , por debajo de una cierta temperatura, se descubre que existe una nueva fase magnética llamada fase vítrea de espín (o fase vítrea) del sistema, que se caracteriza por una magnetización que desaparece junto con un valor que no desaparece. de la función de correlación de dos puntos entre giros en el mismo punto de la red pero en dos réplicas diferentes: ${\displaystyle m=0}$

${\displaystyle q=\sum _{i=1}^{N}S_{i}^{\alpha }S_{i}^{\beta }\neq 0,}$

¿Dónde están los índices de réplica? Por lo tanto, el parámetro de orden para la transición de fase ferromagnética a vidrio giratorio es , y el de paramagnético a vidrio giratorio es nuevamente . Por tanto, el nuevo conjunto de parámetros de orden que describen las tres fases magnéticas consta de ambos y . ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

Bajo el supuesto de simetría de réplica, la energía libre del campo medio viene dada por la expresión: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta f={}-{\frac {\beta ^{2}J^{2}}{4}}(1-q)^{2}+{\frac {\beta J_{0}m^{2}}{2}}-\int \exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right)\log \left(2\cosh \left(\beta Jz+\beta J_{0}m\right)\right)\,\mathrm {d} z.\end{aligned}}}$

Modelo de Sherrington-Kirkpatrick

Además de sus propiedades experimentales inusuales, los vidrios de espín son objeto de extensas investigaciones teóricas y computacionales. Una parte sustancial de los primeros trabajos teóricos sobre los lentes de espín se ocupaba de una forma de teoría del campo medio basada en un conjunto de réplicas de la función de partición del sistema.

David Sherrington y Scott Kirkpatrick introdujeron en 1975 un modelo importante de vidrio giratorio con solución exacta. Se trata de un modelo de Ising con acoplamientos ferromagnéticos y antiferromagnéticos frustrados de largo alcance. Corresponde a una aproximación de campo medio de los vidrios de espín que describe la dinámica lenta de la magnetización y el complejo estado de equilibrio no ergódico.

A diferencia del modelo de Edwards-Anderson (EA), en el sistema, aunque solo se consideran interacciones de dos espines, el rango de cada interacción puede ser potencialmente infinito (del orden del tamaño de la red). Por lo tanto, vemos que dos espines cualesquiera pueden unirse con un enlace ferromagnético o antiferromagnético y la distribución de estos se da exactamente como en el caso del modelo de Edwards-Anderson. El modelo hamiltoniano para SK es muy similar al modelo EA:

${\displaystyle H=-{\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{i<j}J_{ij}S_{i}S_{j}}$

donde tienen los mismos significados que en el modelo EA. La solución de equilibrio del modelo, después de algunos intentos iniciales por parte de Sherrington, Kirkpatrick y otros, fue encontrada por Giorgio Parisi en 1979 con el método de la réplica. El trabajo posterior de interpretación de la solución de Parisi (por M. Mezard , G. Parisi , MA Virasoro y muchos otros) reveló la naturaleza compleja de una fase vítrea de baja temperatura caracterizada por la ruptura de la ergodicidad, la ultrametricidad y la falta de autopromedio. Otros desarrollos llevaron a la creación del método de la cavidad , que permitió estudiar la fase de baja temperatura sin réplicas. Una prueba rigurosa de la solución Parisi la proporcionan los trabajos de Francesco Guerra y Michel Talagrand . ^[7] ${\displaystyle J_{ij},S_{i},S_{j}}$

Diagrama de fases

Curva de Almeida-Thouless.

Cuando hay un campo magnético externo uniforme de magnitud , la función de energía se vuelve ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle H=-{\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{i<j}J_{ij}S_{i}S_{j}-M\sum _{i}S_{i}}$$

David Thouless ^[8] ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle J^{2}}$

La región de estabilidad en el diagrama de fases del modelo SK está determinada por dos parámetros adimensionales . Su diagrama de fases tiene dos partes, divididas por la curva de Almeida-Thouless . La curva es la solución establecida a las ecuaciones ^[8] ${\displaystyle x:={\frac {kT}{J}},\quad y:={\frac {M}{J}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int \mathrm {d} z\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\operatorname {sech} ^{4}\left({\frac {q^{1/2}z+y}{x}}\right),\\&q={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int \mathrm {d} z\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\tanh ^{2}\left({\frac {q^{1/2}z+y}{x}}\right).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle y^{2}\approx {\frac {4}{3}}(1-x)^{3}.}$$

$${\displaystyle x\approx {\frac {4}{3{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}}$$

modelo de rango infinito

A esto también se le llama "modelo p-spin". ^[3] El modelo de rango infinito es una generalización del modelo de Sherrington-Kirkpatrick donde no solo consideramos interacciones de dos espines sino también interacciones de espines, donde y es el número total de espines. A diferencia del modelo Edwards-Anderson, pero similar al modelo SK, el rango de interacción es infinito. El hamiltoniano de este modelo se describe por: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\leq N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle H=-\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}J_{i_{1}\dots i_{p}}S_{i_{1}}\cdots S_{i_{p}}}$

donde tienen significados similares a los del modelo EA. El límite de este modelo se conoce como modelo de energía aleatoria . En este límite, la probabilidad de que el cristal de espín exista en un estado particular depende sólo de la energía de ese estado y no de las configuraciones de espín individuales en él. Generalmente se supone una distribución gaussiana de enlaces magnéticos a través de la red para resolver este modelo. Se espera que cualquier otra distribución dé el mismo resultado, como consecuencia del teorema del límite central . La función de distribución gaussiana, con media y varianza , viene dada por: ${\displaystyle J_{i_{1}\dots i_{p}},S_{i_{1}},\dots ,S_{i_{p}}}$ ${\displaystyle p\to \infty }$ ${\displaystyle {\frac {J_{0}}{N}}}$ ${\displaystyle {\frac {J^{2}}{N}}}$

${\displaystyle P\left(J_{i_{1}\cdots i_{p}}\right)={\sqrt {\frac {N^{p-1}}{J^{2}\pi p!}}}\exp \left\{-{\frac {N^{p-1}}{J^{2}p!}}\left(J_{i_{1}\cdots i_{p}}-{\frac {J_{0}p!}{2N^{p-1}}}\right)\right\}}$

Los parámetros de orden para este sistema están dados por la magnetización y la correlación de espín de dos puntos entre espines en el mismo sitio , en dos réplicas diferentes, que son las mismas que para el modelo SK. Este modelo de rango infinito se puede resolver explícitamente para la energía libre ^[6] en términos de y , bajo el supuesto de simetría de réplica y de ruptura de simetría de 1 réplica. ^[6] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta f={}&{\frac {1}{4}}\beta ^{2}J^{2}q^{p}-{\frac {1}{2}}p\beta ^{2}J^{2}q^{p}-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}J^{2}+{\frac {1}{2}}\beta J_{0}pm^{p}+{\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}}}p\beta ^{2}J^{2}q^{p-1}+{}\\&\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}z^{2}\right)\log \left(2\cosh \left(\beta Jz{\sqrt {{\frac {1}{2}}pq^{p-1}}}+{\frac {1}{2}}\beta J_{0}pm^{p-1}\right)\right)\,\mathrm {d} z\end{aligned}}}$

Comportamiento y aplicaciones no ergódicos.

Un sistema termodinámico es ergódico cuando, dada cualquier instancia (de equilibrio) del sistema, eventualmente visita todos los demás estados (de equilibrio) posibles (de la misma energía). Una característica de los sistemas de vidrio giratorio es que, por debajo de la temperatura de congelación , las instancias quedan atrapadas en un conjunto de estados "no ergonómicos": el sistema puede fluctuar entre varios estados, pero no puede realizar la transición a otros estados de energía equivalente. Intuitivamente, se puede decir que el sistema no puede escapar de los mínimos profundos del paisaje energético jerárquicamente desordenado ; las distancias entre mínimos están dadas por un ultramétrico , con altas barreras de energía entre mínimos. ^{[nota 2]} El índice de participación cuenta el número de estados a los que se puede acceder desde una instancia determinada, es decir, el número de estados que participan en el estado fundamental . El aspecto ergonómico del vidrio giratorio contribuyó decisivamente a que Giorgio Parisi concediera la mitad del Premio Nobel de Física de 2021 . ^{[9] [10] [11]} ${\displaystyle T_{\text{f}}}$

Para los sistemas físicos, como el manganeso diluido en cobre, la temperatura de congelación suele ser tan baja como 30 kelvin (-240 °C), por lo que el magnetismo del vidrio giratorio parece no tener prácticamente aplicaciones en la vida diaria. Los estados no ergódicos y los paisajes energéticos accidentados son, sin embargo, bastante útiles para comprender el comportamiento de ciertas redes neuronales , incluidas las redes de Hopfield , así como muchos problemas de optimización informática y genética .

Spin-glass sin desorden estructural

El neodimio cristalino elemental es paramagnético a temperatura ambiente y se convierte en un antiferroimán con un orden inconmensurable al enfriarse por debajo de 19,9 K. ^[12] Por debajo de esta temperatura de transición, exhibe un conjunto complejo de fases magnéticas ^{[13] [14]} que tienen largos tiempos de relajación de espín y tiempos de espín prolongados. -Comportamiento del vidrio que no depende del desorden estructural. ^[15]

Historia

Se puede encontrar una descripción detallada de la historia de los lentes giratorios desde principios de la década de 1960 hasta finales de la de 1980 en una serie de artículos populares de Philip W. Anderson en Physics Today . ^{[16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23]}

Descubrimiento

En la década de 1930, los científicos de materiales descubrieron el efecto Kondo , donde la resistividad del oro nominalmente puro alcanza un mínimo a 10 K, y de manera similar para el Cu nominalmente puro a 2 K. Más tarde se entendió que el efecto Kondo ocurre cuando un metal no magnético se infunde con átomos magnéticos diluidos.

Se observó un comportamiento inusual en aleaciones de hierro en oro (Au Fe ) y aleación de manganeso en cobre (Cu Mn ) en alrededor del 1 al 10 por ciento atómico . Cannella y Mydosh observaron en 1972 ^[24] que Au Fe tenía un pico inesperado en forma de cúspide en la susceptibilidad a CA a una temperatura bien definida, que más tarde se denominaría temperatura de congelación del vidrio giratorio . ^[25]

También se le llamó "mictomagnet" (micto- en griego significa "mixto"). El término surgió de la observación de que estos materiales a menudo contienen una mezcla de interacciones ferromagnéticas ( ) y antiferromagnéticas ( ), lo que lleva a su estructura magnética desordenada. Este término cayó en desgracia a medida que evolucionó la comprensión teórica de los lentes giratorios, reconociendo que la frustración magnética surge no sólo de una simple mezcla de interacciones ferromagnéticas y antiferromagnéticas, sino de su aleatoriedad y frustración en el sistema. ${\displaystyle J>0}$ ${\displaystyle J<0}$

Modelo Sherrington-Kirkpatrick

Sherrington y Kirkpatrick propusieron el modelo SK en 1975 y lo resolvieron mediante el método de réplica. ^[26] Descubrieron que a bajas temperaturas, su entropía se vuelve negativa, lo que pensaron que se debía a que el método de réplica es un método heurístico que no se aplica a bajas temperaturas.

Luego se descubrió que el método de réplica era correcto, pero el problema radica en que la simetría rota a baja temperatura en el modelo SK no puede caracterizarse puramente mediante el parámetro de orden de Edwards-Anderson. En lugar de ello, se necesitan más parámetros de pedido, lo que lleva a que la réplica rompa el ansatz de Giorgio Parisi . En la réplica completa que rompe el ansatz, se requieren infinitos parámetros de orden para caracterizar una solución estable. ^[27]

Aplicaciones

El formalismo de la teoría del campo medio de réplica también se ha aplicado en el estudio de redes neuronales , donde ha permitido calcular propiedades como la capacidad de almacenamiento de arquitecturas de redes neuronales simples sin necesidad de diseñar o diseñar un algoritmo de entrenamiento (como la retropropagación ). implementado. ^[28]

También se han estudiado ampliamente modelos de vidrio de espín más realistas con interacciones frustradas de corto alcance y desorden, como el modelo gaussiano donde los acoplamientos entre espines vecinos siguen una distribución gaussiana , especialmente utilizando simulaciones de Monte Carlo . Estos modelos muestran fases de vidrio giratorio bordeadas por transiciones de fase nítidas .

Además de su relevancia en la física de la materia condensada, la teoría del vidrio de espín ha adquirido un carácter fuertemente interdisciplinario, con aplicaciones a la teoría de redes neuronales , la informática, la biología teórica, la econofísica , etc.

Los modelos de vidrio giratorio se adaptaron al modelo de embudo plegable de plegamiento de proteínas .

Ver también

• Imán amorfo
• Interacción antiferromagnética
• método de cavidad
• Estructura cristalina
• Frustración geométrica
• Vidrio orientado
• Transición de fase
• Desorden apagado
• Modelo de energía aleatorio
• truco de réplica
• Física del estado sólido
• hacer girar el hielo

Notas

1. es idéntica a la llamada "temperatura de congelación" ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle T_{\text{f}}.}$
2. El desorden jerárquico del paisaje energético puede caracterizarse verbalmente con una sola frase: en este paisaje hay "valles (aleatorios) dentro de valles (aleatorios) aún más profundos dentro de valles (aleatorios) aún más profundos, ..., etc."

Referencias

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Literatura

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Fuentes primarias

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enlaces externos

• Estadísticas de frecuencia del término "Spin glass" en arxiv.org