truco de réplica

Límite matemático aplicado en física estadística.

En la física estadística de los vasos giratorios y otros sistemas con desorden apagado , el truco de la réplica es una técnica matemática basada en la aplicación de la fórmula:

$${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{Z^{n}-1 \over n}}$$

$${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\frac {\partial Z^{n}}{\partial n}}}$$

función de partición ${\displaystyle Z}$

Normalmente se utiliza para simplificar el cálculo de , el valor esperado de , reduciendo el problema a calcular el promedio del desorden, donde se supone que es un número entero. Esto es físicamente equivalente a promediar copias o réplicas del sistema, de ahí el nombre. ${\displaystyle {\overline {\ln Z}}}$ ${\displaystyle \ln Z}$ ${\displaystyle {\overline {Z^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

El quid del truco de la réplica es que, si bien el promediado del desorden se realiza asumiendo que es un número entero, para recuperar el logaritmo promediado del desorden se debe enviar continuamente a cero. Esta aparente contradicción en el corazón del truco de la réplica nunca se ha resuelto formalmente; sin embargo, en todos los casos en los que el método de la réplica se puede comparar con otras soluciones exactas, los métodos conducen a los mismos resultados. (Una prueba natural y suficientemente rigurosa de que el truco de la réplica funciona sería comprobar que se cumplen los supuestos del teorema de Carlson , especialmente que la relación es de tipo exponencial menor que π ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (Z^{n}-1)/n}$

En ocasiones es necesario requerir la propiedad adicional de ruptura de simetría de réplica (RSB) para obtener resultados físicos, lo que está asociado con la ruptura de la ergodicidad .

formulación general

Generalmente se utiliza para cálculos que involucran funciones analíticas (se puede expandir en series de potencias).

Expandir usando su serie de potencias : en potencias de o en otras palabras réplicas de , y realizar el mismo cálculo que se realizará en , usando las potencias de . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z}$

Un caso particular que es de gran utilidad en física es el de promediar la energía libre termodinámica ,

${\displaystyle F=-k_{\rm {B}}T\ln Z[J_{ij}],}$

sobre valores de con una cierta distribución de probabilidad, típicamente gaussiana. ^[1] ${\displaystyle J_{ij}}$

La función de partición entonces viene dada por

${\displaystyle Z[J_{ij}]\sim e^{-\beta J_{ij}}.}$

Observe que si estuviéramos calculando solo (o más generalmente, cualquier potencia de ) y no su logaritmo que queríamos promediar, la integral resultante (suponiendo una distribución gaussiana) es simplemente ${\displaystyle Z[J_{ij}]}$ ${\displaystyle J_{ij}}$

${\displaystyle \int dJ_{ij}\,e^{-\beta J-\alpha J^{2}},}$

una integral gaussiana estándar que se puede calcular fácilmente (por ejemplo, completar el cuadrado).

Para calcular la energía libre utilizamos el truco de la réplica:

$${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}}$$

^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\to 0}$

Claramente, tal argumento plantea muchas preguntas matemáticas, y el formalismo resultante para realizar el límite típicamente introduce muchas sutilezas. ^[3] ${\displaystyle n\to 0}$

Cuando se utiliza la teoría del campo medio para realizar los cálculos, tomar este límite a menudo requiere introducir parámetros de orden adicionales, una propiedad conocida como "rotura de simetría de réplica" que está estrechamente relacionada con la ruptura de la ergodicidad y la dinámica lenta dentro de los sistemas de desorden.

Aplicaciones físicas

El truco de la réplica se utiliza para determinar los estados fundamentales de sistemas mecánicos estadísticos, en la aproximación del campo medio . Normalmente, para sistemas en los que la determinación del estado fundamental es fácil, se pueden analizar las fluctuaciones cercanas al estado fundamental. De lo contrario, se utiliza el método de réplica. ^{[artículos sobre vasos giratorios 1]} Un ejemplo es el caso de un desorden apagado en un sistema como un vaso giratorio con diferentes tipos de enlaces magnéticos entre espines, lo que lleva a muchas configuraciones diferentes de espines que tienen la misma energía.

En la física estadística de sistemas con desorden apagado, dos estados cualesquiera con la misma realización del desorden (o en el caso de los vidrios giratorios, con la misma distribución de enlaces ferromagnéticos y antiferromagnéticos) se denominan réplicas entre sí. ^{[artículos sobre vasos giratorios 2]} Para sistemas con desorden apagado, normalmente se espera que las cantidades macroscópicas sean autopromediadas , por lo que cualquier cantidad macroscópica para una realización específica del trastorno será indistinguible de la misma cantidad calculada promediando todas las realizaciones posibles. del trastorno. La introducción de réplicas permite realizar este promedio en diferentes realizaciones del trastorno.

En el caso de un vidrio giratorio, esperamos que la energía libre por giro (o cualquier cantidad autopromediada) en el límite termodinámico sea independiente de los valores particulares de los acoplamientos ferromagnéticos y antiferromagnéticos entre sitios individuales, a través de la red. Entonces, encontramos explícitamente la energía libre en función del parámetro del desorden (en este caso, parámetros de la distribución de enlaces ferromagnéticos y antiferromagnéticos) y promediamos la energía libre sobre todas las realizaciones del desorden (todos los valores del acoplamiento entre sitios, cada uno con su correspondiente probabilidad, dada por la función de distribución). Como la energía libre toma la forma:

${\displaystyle F={\overline {F[J_{ij}]}}=-k_{B}T\,{\overline {\ln Z[J]}}}$

donde describe el desorden (para los vidrios giratorios, describe la naturaleza de la interacción magnética entre cada uno de los sitios individuales y ) y estamos tomando el promedio de todos los valores de los acoplamientos descritos en , ponderados con una distribución dada. Para realizar el promedio sobre la función logaritmo, el truco de la réplica resulta útil, reemplazando el logaritmo con su forma límite mencionada anteriormente. En este caso, la cantidad representa la función de partición conjunta de sistemas idénticos. ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Z^{n}}$ ${\displaystyle n}$

REM: el problema de réplica más sencillo

El modelo de energía aleatoria (REM) es uno de los modelos más simples de mecánica estadística de sistemas desordenados, y probablemente el modelo más simple para mostrar el significado y el poder del truco de la réplica hasta el nivel 1 de ruptura de la simetría de la réplica. El modelo es especialmente adecuado para esta introducción porque se conoce un resultado exacto mediante un procedimiento diferente y se puede demostrar que el truco de la réplica funciona mediante una verificación cruzada de los resultados.

Ver también

El método de la cavidad es un método alternativo, a menudo de uso más sencillo que el método de réplica, para estudiar problemas de campo medio desordenados. Ha sido ideado para trabajar con modelos en gráficos locales en forma de árbol .

Otro método alternativo es el método supersimétrico . El uso del método de supersimetría proporciona una alternativa matemática rigurosa al truco de la réplica, pero sólo en sistemas que no interactúan. Véase, por ejemplo, el libro: ^{[otros enfoques 1]}

Además, se ha demostrado ^{[otros enfoques 2]} que la técnica de Keldysh proporciona una alternativa viable al enfoque de réplica.

Observaciones

La primera de las identidades anteriores se entiende fácilmente mediante la expansión de Taylor :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {e^{n\ln Z}-1}{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {n\ln Z+{1 \over 2!}(n\ln Z)^{2}+\cdots }{n}}\\&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

Para la segunda identidad, simplemente se usa la definición de la derivada

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial Z^{n}}{\partial n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial e^{n\ln Z}}{\partial n}}\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}Z^{n}\ln Z\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}(1+n\ln Z+\cdots )\ln Z\\[5pt]&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

Referencias

• S Edwards (1971), "Mecánica estadística del caucho". En Redes de polímeros: propiedades estructurales y mecánicas , (eds AJ Chompff & S. Newman). Nueva York: Plenum Press, ISBN 978-1-4757-6210-5.
• M Mezard, G Parisi y M Virasoro, "La teoría del vidrio giratorio y más allá", World Scientific, 1987

Artículos sobre gafas giratorias

1. Parisi, Giorgio (17 de enero de 1997). "Sobre el enfoque de réplica para hacer girar vasos". {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
2. Tommaso Castellani, Andrea Cavagna (mayo de 2005). "Teoría del cristal giratorio para peatones". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2005 (5): P05012. arXiv : cond-mat/0505032 . Código Bib : 2005JSMTE..05..012C. doi :10.1088/1742-5468/2005/05/P05012. S2CID  118903982.

Libros sobre gafas giratorias

Referencias a otros enfoques

1. Supersimetría en el desorden y el caos , Konstantin Efetov, Cambridge University Press, 1997.
2. A. Kamenev y A. Andreev, cond-mat/9810191; C. Chamon, AWW Ludwig y C. Nayak, cond-mat/9810282.

1. Nishimori, Hidetoshi (2001). Física estadística de vasos giratorios y procesamiento de información: una introducción . Oxford [ua]: Universidad de Oxford. Prensa. ISBN 0-19-850940-5. Consulte la página 13, Capítulo 2.
2. Hertz, John (marzo-abril de 1998). "Física del vidrio giratorio". {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
3. Mezard, M; Parisi, G; Virasoro, M (1 de noviembre de 1986). Teoría del Spin Glass y más allá . Apuntes de conferencias científicas mundiales sobre física. vol. 9. CIENTÍFICO MUNDIAL. doi :10.1142/0271. ISBN 9789971501167.