modelo hubbard

Modelo aproximado utilizado para describir la transición entre sistemas conductores y aislantes.

Modelo Hubbard bidimensional.

El modelo de Hubbard es un modelo aproximado utilizado para describir la transición entre sistemas conductores y aislantes . ^[1] Es particularmente útil en física del estado sólido . El modelo lleva el nombre de John Hubbard .

El modelo de Hubbard establece que cada electrón experimenta fuerzas competitivas: una lo empuja a formar un túnel hacia los átomos vecinos, mientras que la otra lo aleja de sus vecinos. ^[2] Por lo tanto, su hamiltoniano tiene dos términos: un término cinético que permite la formación de túneles ("saltos") de partículas entre sitios de la red y un término potencial que refleja la interacción en el sitio. Las partículas pueden ser fermiones , como en el trabajo original de Hubbard, o bosones , en cuyo caso el modelo se denomina " modelo Bose-Hubbard ".

El modelo de Hubbard es una aproximación útil para partículas en un potencial periódico a temperaturas suficientemente bajas, donde se puede suponer que todas las partículas están en la banda de Bloch más baja y se pueden ignorar las interacciones de largo alcance entre las partículas. Si se incluyen las interacciones entre partículas en diferentes sitios de la red, el modelo a menudo se denomina "modelo de Hubbard extendido". En particular, el término de Hubbard, más comúnmente denotado por U , se aplica en simulaciones basadas en primeros principios utilizando la Teoría del Funcional de Densidad , DFT. La inclusión del término de Hubbard en las simulaciones DFT es importante ya que mejora la predicción de la localización de electrones y, por tanto, evita la predicción incorrecta de la conducción metálica en sistemas aislantes. ^[3]

El modelo de Hubbard introduce interacciones de corto alcance entre electrones en el modelo de enlace estrecho , que solo incluye energía cinética (un término de "salto") e interacciones con los átomos de la red (un potencial "atómico"). Cuando la interacción entre electrones es fuerte, el comportamiento del modelo de Hubbard puede ser cualitativamente diferente de un modelo de enlace estrecho. Por ejemplo, el modelo de Hubbard predice correctamente la existencia de aislantes de Mott : materiales que resultan aislantes debido a la fuerte repulsión entre electrones, aunque satisfacen los criterios habituales para los conductores, como tener un número impar de electrones por celda unitaria.

Historia

El modelo fue propuesto originalmente en 1963 para describir electrones en sólidos. ^[4] Hubbard, Martin Gutzwiller y Junjiro Kanamori lo propusieron cada uno de forma independiente. ^[2]

Desde entonces, se ha aplicado al estudio de la superconductividad de alta temperatura , el magnetismo cuántico y las ondas de densidad de carga. ^[5]

Teoría de la banda de energía estrecha

El modelo de Hubbard se basa en la aproximación estricta de la física del estado sólido , que describe partículas que se mueven en un potencial periódico, normalmente denominado red . Para materiales reales, cada sitio de la red podría corresponder con un núcleo iónico, y las partículas serían los electrones de valencia de estos iones. En la aproximación estricta, el hamiltoniano se escribe en términos de estados de Wannier , que son estados localizados centrados en cada sitio de la red. Los estados de Wannier en sitios vecinos de la red están acoplados, lo que permite que las partículas de un sitio "salten" a otro. Matemáticamente, la fuerza de este acoplamiento viene dada por una "integral de salto" o "integral de transferencia" entre sitios cercanos. Se dice que el sistema está en el límite estricto cuando la fuerza de las integrales de salto disminuye rápidamente con la distancia. Este acoplamiento permite que los estados asociados con cada sitio de la red se hibriden, y los estados propios de dicho sistema cristalino son funciones de Bloch , con los niveles de energía divididos en bandas de energía separadas . El ancho de las bandas depende del valor de la integral de salto.

El modelo de Hubbard introduce una interacción de contacto entre partículas de espín opuesto en cada sitio de la red. Cuando se utiliza el modelo de Hubbard para describir sistemas de electrones, se espera que estas interacciones sean repulsivas, derivadas de la interacción de Coulomb filtrada . Sin embargo, también se han considerado con frecuencia interacciones atractivas. La física del modelo de Hubbard está determinada por la competencia entre la fuerza de la integral de salto, que caracteriza la energía cinética del sistema , y ​​la fuerza del término de interacción. Por tanto, el modelo de Hubbard puede explicar la transición del metal al aislante en ciertos sistemas que interactúan. Por ejemplo, se ha utilizado para describir óxidos metálicos a medida que se calientan, donde el aumento correspondiente en el espaciamiento entre vecinos más cercanos reduce la integral de salto hasta el punto en que el potencial en el sitio es dominante. De manera similar, el modelo de Hubbard puede explicar la transición de conductor a aislante en sistemas como los pirocloros de tierras raras a medida que aumenta el número atómico del metal de tierras raras, porque el parámetro de la red aumenta (o el ángulo entre los átomos también puede cambiar) a medida que el El número atómico del elemento de tierras raras aumenta, cambiando así la importancia relativa de la integral de salto en comparación con la repulsión en el sitio.

Ejemplo: cadena unidimensional de átomos de hidrógeno

El átomo de hidrógeno tiene un electrón, en el llamado orbital s , que puede girar hacia arriba ( ) o hacia abajo ( ). Este orbital puede estar ocupado como máximo por dos electrones, uno con espín hacia arriba y otro hacia abajo (ver principio de exclusión de Pauli ). ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle \downarrow }$

Según la teoría de bandas , para una cadena 1D de átomos de hidrógeno, el orbital 1s forma una banda continua, que estaría exactamente medio llena. Por lo tanto, se predice que la cadena 1D de átomos de hidrógeno es un conductor según la teoría de bandas convencional. Esta cadena 1D es la única configuración lo suficientemente simple como para resolverla directamente. ^[2]

Pero en el caso en que el espacio entre los átomos de hidrógeno aumenta gradualmente, en algún momento la cadena debe convertirse en un aislante.

Expresado mediante el modelo de Hubbard, el hamiltoniano se compone de dos términos. El primer término describe la energía cinética del sistema, parametrizada por la integral de salto . El segundo término es la interacción de fuerza en el sitio que representa la repulsión de los electrones. Escrito en segunda notación de cuantificación, el hamiltoniano de Hubbard toma la forma ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+U\sum _{i}{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow },}$

¿Dónde está el operador de densidad de espín para el espín en el -ésimo sitio? El operador de densidad es y la ocupación del -ésimo sitio para la función de onda es . Normalmente se considera que t es positivo y U puede ser positivo o negativo, pero se supone que es positivo cuando se consideran sistemas electrónicos. ${\displaystyle {\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle n_{i}=\langle \Phi \vert {\hat {n}}_{i}\vert \Phi \rangle }$

Sin la contribución del segundo término, el hamiltoniano se resuelve en la fórmula de enlace estrecho de la teoría de bandas regulares.

La inclusión del segundo término produce un modelo realista que también predice una transición de conductor a aislante a medida que varía la relación entre interacción y salto, . Esta relación se puede modificar, por ejemplo, aumentando el espacio interatómico, lo que disminuiría la magnitud de sin afectar . En el límite donde , la cadena simplemente se resuelve en un conjunto de momentos magnéticos aislados . Si no es demasiado grande, la integral de superposición proporciona interacciones de superintercambio entre momentos magnéticos vecinos, lo que puede conducir a una variedad de correlaciones magnéticas interesantes, como ferromagnéticas, antiferromagnéticas, etc., dependiendo de los parámetros del modelo. El modelo unidimensional de Hubbard fue resuelto por Lieb y Wu utilizando el método Bethe ansatz . En la década de 1990 se lograron avances esenciales: se descubrió una simetría oculta y se evaluaron la matriz de dispersión , las funciones de correlación , la termodinámica y el entrelazamiento cuántico . ^[6] ${\displaystyle U/t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U/t\gg 1}$ ${\displaystyle U/t}$

Sistemas más complejos

Aunque Hubbard es útil para describir sistemas como una cadena 1D de átomos de hidrógeno, es importante señalar que los sistemas más complejos pueden experimentar otros efectos que el modelo de Hubbard no considera. En general, los aisladores se pueden dividir en aisladores Mott-Hubbard y aisladores de transferencia de carga .

Un aislante Mott-Hubbard se puede describir como

${\displaystyle (\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-})_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2-}+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.}$

Esto puede verse como análogo al modelo de Hubbard para las cadenas de hidrógeno, donde la conducción entre celdas unitarias puede describirse mediante una integral de transferencia.

Sin embargo, es posible que los electrones presenten otro tipo de comportamiento:

${\displaystyle \mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}.}$

Esto se conoce como transferencia de carga y da como resultado aisladores de transferencia de carga . A diferencia de los aisladores de Mott-Hubbard, la transferencia de electrones ocurre sólo dentro de una celda unitaria.

Ambos efectos pueden estar presentes y competir en sistemas iónicos complejos.

Tratamiento numérico

El hecho de que el modelo de Hubbard no se haya resuelto analíticamente en dimensiones arbitrarias ha llevado a una intensa investigación sobre métodos numéricos para estos sistemas de electrones fuertemente correlacionados. ^{[7] [8]} Uno de los objetivos principales de esta investigación es determinar el diagrama de fases de baja temperatura de este modelo, particularmente en dos dimensiones. El tratamiento numérico aproximado del modelo de Hubbard en sistemas finitos es posible mediante varios métodos.

Uno de esos métodos, el algoritmo de Lanczos , puede producir propiedades estáticas y dinámicas del sistema. Los cálculos del estado fundamental que utilizan este método requieren el almacenamiento de tres vectores del tamaño del número de estados. El número de estados aumenta exponencialmente con el tamaño del sistema, lo que limita el número de sitios en la red a unos 20 en el hardware del siglo XXI. Con proyector y campo auxiliar de temperatura finita Monte Carlo , existen dos métodos estadísticos que pueden obtener determinadas propiedades del sistema. Para bajas temperaturas aparecen problemas de convergencia que conllevan un esfuerzo computacional exponencial con temperatura decreciente debido al llamado problema del signo de fermión .

El modelo de Hubbard se puede estudiar dentro de la teoría dinámica del campo medio (DMFT). Este esquema mapea el hamiltoniano de Hubbard en un modelo de impurezas de sitio único , un mapeo que es formalmente exacto solo en dimensiones infinitas y en dimensiones finitas corresponde al tratamiento exacto de todas las correlaciones puramente locales únicamente. DMFT permite calcular la función de Green local del modelo de Hubbard para una temperatura determinada. Dentro de DMFT, se puede calcular la evolución de la función espectral y observar la aparición de las bandas de Hubbard superior e inferior a medida que aumentan las correlaciones. ${\displaystyle U}$

Simulador

Se han utilizado pilas de dicalcogenuros de metales de transición (TMD) bidimensionales heterogéneos para simular geometrías en más de una dimensión. Se apilaron diseleniuro de tungsteno y sulfuro de tungsteno. Esto creó una superred muaré que consta de supercélulas hexagonales (unidades de repetición definidas por la relación de los dos materiales). Cada supercélula se comporta entonces como si fuera un solo átomo. La distancia entre las supercélulas es aproximadamente 100 veces mayor que la de los átomos dentro de ellas. Esta mayor distancia reduce drásticamente la tunelización de electrones a través de las supercélulas. ^[2]

Pueden utilizarse para formar cristales de Wigner . Se pueden conectar electrodos para regular un campo eléctrico . El campo eléctrico controla cuántos electrones llenan cada supercélula. El número de electrones por supercélula determina efectivamente qué "átomo" simula la red. Un electrón/célula se comporta como hidrógeno, dos/célula como helio, etc. A partir de 2022 se podrán simular supercélulas con hasta ocho electrones ( oxígeno ). Un resultado de la simulación mostró que la diferencia entre el metal y el aislante es una función continua de la intensidad del campo eléctrico. ^[2]

Un régimen de apilamiento "al revés" permite la creación de un aislante Chern a través del anómalo efecto Hall cuántico (con los bordes del dispositivo actuando como conductor mientras el interior actúa como aislante). El dispositivo funcionó a una temperatura de 5 Kelvins , lejos por encima de la temperatura a la que se había observado el efecto por primera vez. ^[2]

Ver también

• Modelo de impurezas de Anderson
• teorema de bloch
• Estructura de banda electrónica
• Física del estado sólido
• Modelo Bose-Hubbard
• modelo tJ
• Modelo de Heisenberg (cuántico)
• Teoría dinámica del campo medio
• Criterio fumeta

Referencias

1. Altland, A.; Simons, B. (2006). "Efectos de interacción en el sistema de vinculación estricta". Teoría del campo de la materia condensada . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 58 y siguientes . ISBN 978-0-521-84508-3.
2. Wood, Charlie (16 de agosto de 2022). "Physics Duo encuentra magia en dos dimensiones". Revista Quanta . Consultado el 21 de agosto de 2022 .
3. Fronzi, Marco; Assadi, M. Hussein N.; Hanaor, Dorian AH (2019). "Conocimientos teóricos sobre la hidrofobicidad de superficies de CeO2 de bajo índice". Ciencia de superficies aplicada . 478 : 68–74. arXiv : 1902.02662 . Código Bib : 2019ApSS..478...68F. doi :10.1016/j.apsusc.2019.01.208. S2CID  118895100.
4. Hubbard, J. (26 de noviembre de 1963). "Correlaciones electrónicas en bandas de energía estrechas". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 276 (1365): 238–257. Código Bib : 1963RSPSA.276..238H. doi :10.1098/rspa.1963.0204. ISSN  0080-4630. S2CID  35439962.
5. Auerbach, Assa. (1994). Electrones interactuantes y magnetismo cuántico. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94286-6. OCLC  30028928.
6. Essler, FHL; Frahm, H.; Göhmann, F.; Klümper, A.; Korepin, VE (2005). El modelo unidimensional de Hubbard . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-80262-8.
7. Scalapino, DJ (2006). "Estudios numéricos del modelo Hubbard 2D": cond–mat/0610710. arXiv : cond-mat/0610710 . Código bibliográfico : 2006cond.mat.10710S. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
8. LeBlanc, J. (2015). "Soluciones del modelo bidimensional de Hubbard: puntos de referencia y resultados de una amplia gama de algoritmos numéricos". Revisión física X. 5 (4): 041041. arXiv : 1505.02290 . Código Bib : 2015PhRvX...5d1041L. doi : 10.1103/PhysRevX.5.041041 .

Otras lecturas

• Hubbard, J. (1963). "Correlaciones electrónicas en bandas de energía estrechas". Actas de la Royal Society de Londres . 276 (1365): 238–257. Código Bib : 1963RSPSA.276..238H. doi :10.1098/rspa.1963.0204. JSTOR  2414761. S2CID  35439962.
• Bach, V.; Lieb, EH; Solovej, JP (1994). "Teoría generalizada de Hartree-Fock y el modelo Hubbard". Revista de Física Estadística . 76 (1–2): 3. arXiv : cond-mat/9312044 . Código Bib : 1994JSP....76....3B. doi :10.1007/BF02188656. S2CID  207143.
• Lieb, EH (1995). "El modelo Hubbard: algunos resultados rigurosos y problemas abiertos". Xi Int. Cong. Mp, Int. Prensa (?) . 1995 : cond–mat/9311033. arXiv : cond-mat/9311033 . Código bibliográfico : 1993cond.mat.11033L.
• Gebhard, F. (1997). "Transición metal-aislante". La transición Mott Metal-Aislante: modelos y métodos. Springer Tracts en física moderna. vol. 137. Saltador . págs. 1–48. ISBN 9783540614814.
• Lieb, EH; Wu, FY (2003). "El modelo unidimensional de Hubbard: una reminiscencia". Física A. 321 (1): 1–27. arXiv : cond-mat/0207529 . Código Bib : 2003PhyA..321....1L. doi :10.1016/S0378-4371(02)01785-5. S2CID  44758937.
• Arovas, Daniel P.; Berg, Erez; Kivelson, Steven; Rahgu, Sri (2022). "El modelo Hubbard". Revista Anual de Física de la Materia Condensada . 13 : 239–274. arXiv : 2103.12097 . Código Bib : 2022ARCMP..13..239A. doi :10.1146/annurev-conmatphys-031620-102024.
• Qin, Mingpu; Schäfer, Thomas; Andergassen, Sabine; Corboz, Philippe; Gaviota, Emanuel (2022). "El modelo Hubbard: una perspectiva computacional". Revista Anual de Física de la Materia Condensada . 13 : 275–302. arXiv : 2104.00064 . Código Bib : 2022ARCMP..13..275Q. doi :10.1146/annurev-conmatphys-090921-033948. S2CID  260725458.