problema de signos numéricos

Problema en matemáticas aplicadas

En matemáticas aplicadas , el problema de signos numéricos es el problema de evaluar numéricamente la integral de una función altamente oscilatoria de un gran número de variables. Los métodos numéricos fallan debido a la casi cancelación de las contribuciones positivas y negativas a la integral. Cada uno tiene que integrarse con una precisión muy alta para que su diferencia se obtenga con una precisión útil .

El problema de los signos es uno de los principales problemas sin resolver en la física de sistemas de muchas partículas . A menudo surge en cálculos de las propiedades de un sistema mecánico cuántico con una gran cantidad de fermiones que interactúan fuertemente , o en teorías de campo que involucran una densidad distinta de cero de fermiones que interactúan fuertemente.

Descripción general

En física, el problema de los signos se encuentra típicamente (pero no exclusivamente) en los cálculos de las propiedades de un sistema mecánico cuántico con un gran número de fermiones que interactúan fuertemente, o en teorías de campo que involucran una densidad distinta de cero de fermiones que interactúan fuertemente. Debido a que las partículas interactúan fuertemente, la teoría de la perturbación es inaplicable y uno se ve obligado a utilizar métodos numéricos de fuerza bruta. Debido a que las partículas son fermiones, su función de onda cambia de signo cuando se intercambian dos fermiones cualesquiera (debido a la antisimetría de la función de onda, consulte el principio de Pauli ). Entonces, a menos que haya cancelaciones que surjan de alguna simetría del sistema, la suma mecánico-cuántica de todos los estados de múltiples partículas implica una integral sobre una función que es altamente oscilatoria y, por lo tanto, difícil de evaluar numéricamente, particularmente en dimensiones altas. Dado que la dimensión de la integral está dada por el número de partículas, el problema de signos se vuelve severo en el límite termodinámico . La manifestación teórica de campo del problema de los signos se analiza a continuación.

El problema de los signos es uno de los principales problemas sin resolver en la física de sistemas de muchas partículas, lo que impide el progreso en muchas áreas:

• Física de la materia condensada — Impide la solución numérica de sistemas con alta densidad de electrones fuertemente correlacionados, como el modelo de Hubbard . ^[1]
• Física nuclear : impide el cálculo ab initio de las propiedades de la materia nuclear y, por tanto, limita nuestra comprensión de los núcleos y las estrellas de neutrones .
• Teoría cuántica de campos : impide el uso de QCD de red ^[2] para predecir las fases y propiedades de la materia de los quarks . ^[3] (En la teoría de campos reticulares , el problema también se conoce como problema de acción compleja ). ^[4]

El problema de los signos en la teoría de campos.

^[a] En un enfoque de teoría de campo para sistemas de múltiples partículas, la densidad del fermión está controlada por el valor del potencial químico del fermión . Se evalúa la función de partición sumando todas las configuraciones de campo clásicas, ponderadas por , donde está la acción de la configuración. La suma de los campos de fermiones se puede realizar analíticamente, y lo que queda es una suma de los campos bosónicos (que puede haber sido originalmente parte de la teoría, o haber sido producida por una transformación de Hubbard-Stratonovich para hacer cuadrática la acción de los fermiones). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \exp(-S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle Z=\int D\sigma \,\rho [\sigma ],}$

donde representa la medida de la suma de todas las configuraciones de los campos bosónicos, ponderada por ${\displaystyle D\sigma }$ ${\displaystyle \sigma (x)}$

${\displaystyle \rho [\sigma ]=\det(M(\mu ,\sigma ))\exp(-S[\sigma ]),}$

donde ahora está la acción de los campos bosónicos, y es una matriz que codifica cómo se acoplaron los fermiones a los bosones. Por lo tanto , el valor esperado de un observable es un promedio de todas las configuraciones ponderado por : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M(\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle A[\sigma ]}$ ${\displaystyle \rho [\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \,A[\sigma ]\,\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \,\rho [\sigma ]}}.}$

Si es positivo, entonces puede interpretarse como una medida de probabilidad y puede calcularse realizando la suma numérica de las configuraciones de campo, utilizando técnicas estándar como el muestreo de importancia de Monte Carlo . ${\displaystyle \rho [\sigma ]}$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }}$

El problema del signo surge cuando no es positivo. Esto suele ocurrir en las teorías de fermiones cuando el potencial químico del fermión es distinto de cero, es decir, cuando hay una densidad de fondo de fermiones distinta de cero. Si no existe simetría partícula-antipartícula y , por lo tanto , el peso es en general un número complejo , entonces el muestreo de importancia de Monte Carlo no se puede utilizar para evaluar la integral. ${\displaystyle \rho [\sigma ]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \neq 0}$ ${\displaystyle \det(M(\mu ,\sigma ))}$ ${\displaystyle \rho (\sigma )}$

Procedimiento de reponderación

Una teoría de campo con un peso no positivo se puede transformar en una con un peso positivo incorporando la parte no positiva (signo o fase compleja) del peso en lo observable. Por ejemplo, se podría descomponer la función de ponderación en su módulo y fase:

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]\,\exp(i\theta [\sigma ]),}$

donde es real y positivo, entonces ${\displaystyle p[\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}{\int D\sigma \exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}}={\frac {\langle A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}{\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}}.}$

Tenga en cuenta que el valor esperado deseado es ahora una relación donde el numerador y el denominador son valores esperados y ambos utilizan una función de ponderación positiva . Sin embargo, la fase es una función altamente oscilatoria en el espacio de configuración, por lo que si se utilizan los métodos de Monte Carlo para evaluar el numerador y el denominador, cada uno de ellos se evaluará como un número muy pequeño, cuyo valor exacto se ve inundado por el ruido inherente a la fase. Proceso de muestreo de Montecarlo. La "maldad" del problema de signos se mide por la pequeñez del denominador : si es mucho menor que 1, entonces el problema de signos es grave. Se puede demostrar ^[5] que ${\displaystyle p[\sigma ]}$ ${\displaystyle \exp(i\theta [\sigma ])}$ ${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}$

${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),}$

donde es el volumen del sistema, es la temperatura y es la densidad de energía. Por lo tanto, el número de puntos de muestreo Monte Carlo necesarios para obtener un resultado preciso aumenta exponencialmente a medida que el volumen del sistema aumenta y la temperatura llega a cero. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$

La descomposición de la función de ponderación en módulo y fase es sólo un ejemplo (aunque se ha recomendado como la opción óptima ya que minimiza la varianza del denominador ^[6] ). En general se podría escribir

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]{\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}},}$

donde puede ser cualquier función de ponderación positiva (por ejemplo, la función de ponderación de la teoría). ^[7] La ​​maldad del problema del signo se mide entonces por ${\displaystyle p[\sigma ]}$ ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle \left\langle {\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}\right\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),}$

que nuevamente llega a cero exponencialmente en el límite de gran volumen.

Métodos para reducir el problema de las señales.

El problema de signos es NP-difícil , lo que implica que una solución completa y genérica del problema de signos también resolvería todos los problemas de la clase de complejidad NP en tiempo polinomial. ^[8] Si (como generalmente se sospecha) no hay soluciones en tiempo polinomial para los problemas NP (ver problema P versus NP ), entonces no hay una solución genérica para el problema de signos. Esto deja abierta la posibilidad de que pueda haber soluciones que funcionen en casos específicos, donde las oscilaciones del integrando tengan una estructura que pueda explotarse para reducir los errores numéricos.

En sistemas con un problema de signo moderado, como las teorías de campo a una temperatura suficientemente alta o en un volumen suficientemente pequeño, el problema de signo no es demasiado grave y se pueden obtener resultados útiles mediante varios métodos, como una reponderación más cuidadosamente ajustada y una continuación analítica. de imaginario a real , o expansión de Taylor en potencias de . ^{[3] [9]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Existen varias propuestas para solucionar sistemas con un problema de señales severo:

• Deformación del contorno. El espacio del campo se complejiza y el contorno integral de la trayectoria se deforma desde otra variedad dimensional incrustada en el espacio complejo. ^[10] ${\displaystyle R^{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C^{N}}$

• Algoritmos de clúster de Meron . Estos logran una aceleración exponencial al descomponer las líneas del mundo de fermiones en grupos que contribuyen de forma independiente. Se han desarrollado algoritmos de agrupamiento para ciertas teorías, ^[5] pero no para el modelo de electrones de Hubbard, ni para la QCD , la teoría de los quarks.
• Cuantización estocástica . La suma de las configuraciones se obtiene como la distribución de equilibrio de estados explorada por una ecuación compleja de Langevin . Hasta ahora, se ha descubierto que el algoritmo evade el problema de signos en modelos de prueba que tienen un problema de signos pero que no involucran fermiones. ^[11]
• Método de nodo fijo. Se fija la ubicación de los nodos (ceros) de la función de onda multipartícula y se utilizan métodos de Monte Carlo para obtener una estimación de la energía del estado fundamental, sujeto a esa restricción. ^[12]
• Algoritmos de Majorana. El uso de la representación de fermiones de Majorana para realizar transformaciones de Hubbard-Stratonovich puede ayudar a resolver el problema de los signos de fermiones de una clase de modelos fermiónicos de muchos cuerpos. ^{[13] [14]}
• Monte Carlo esquemático : basado en diagramas de Feynman de muestreo estocástico y estratégico ^[15]

Ver también

• Método de fase estacionaria.
• Integral oscilatoria

Notas a pie de página

1. Las fuentes de esta sección incluyen Chandrasekharan & Wiese (1999) ^[5] y Kieu & Griffin (1994), ^[6] además de las citadas.

Referencias

1. Hola, EY; Gubernatis, JE; Scalettar, RT; Blanco, SR; Scalapino, DJ; Azúcar, RL (1990). "Problema de signos en la simulación numérica de sistemas multielectrónicos". Revisión física B. 41 (13): 9301–9307. Código bibliográfico : 1990PhRvB..41.9301L. doi : 10.1103/PhysRevB.41.9301. PMID  9993272.
2. de Forcrand, Philippe (2010). "Simulación de QCD a densidad finita". Pos Lat . 010 : 010. arXiv : 1005.0539 . Código Bib : 2010arXiv1005.0539D.
3. Philipsen, O. (2008). "Cálculos de red a potencial químico distinto de cero: el diagrama de fases QCD". Actas de la ciencia . 77 : 011. doi : 10.22323/1.077.0011 .
4. Anagnostopoulos, KN; Nishimura, J. (2002). "Nuevo enfoque al problema de acción compleja y su aplicación a un estudio no perturbativo de la teoría de supercuerdas". Revisión física D. 66 (10): 106008. arXiv : hep-th/0108041 . Código Bib : 2002PhRvD..66j6008A. doi : 10.1103/PhysRevD.66.106008. S2CID  119384615.
5. Chandrasekharan, Shailesh; Wiese, Uwe-Jens (1999). "Solución de Meron-Cluster de problemas de signos de fermiones". Cartas de revisión física . 83 (16): 3116–3119. arXiv : cond-mat/9902128 . Código bibliográfico : 1999PhRvL..83.3116C. doi : 10.1103/PhysRevLett.83.3116. S2CID  119061060.
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