Modelo Bose-Hubbard

Modelo de bosones sin espín en interacción en una red

El modelo de Bose-Hubbard proporciona una descripción de la física de los bosones sin espín que interactúan en una red . Está estrechamente relacionado con el modelo de Hubbard que se originó en la física del estado sólido como una descripción aproximada de los sistemas superconductores y el movimiento de los electrones entre los átomos de un sólido cristalino . El modelo fue introducido por Gersch y Knollman ^[1] en 1963 en el contexto de los superconductores granulares. (El término " Bose " en su nombre se refiere al hecho de que las partículas en el sistema son bosónicas ). El modelo saltó a la fama en la década de 1980 después de que se descubrió que capturaba la esencia de la transición superfluido-aislante de una manera que era mucho más manejable matemáticamente que los modelos fermiónicos metal-aislante. ^{[2] [3] [4]}

El modelo de Bose-Hubbard se puede utilizar para describir sistemas físicos como átomos bosónicos en una red óptica , ^[5] así como ciertos aislantes magnéticos. ^{[6] [7]} Además, se puede generalizar y aplicar a mezclas de Bose-Fermi, en cuyo caso el hamiltoniano correspondiente se denomina hamiltoniano de Bose-Fermi-Hubbard.

Hamiltoniano

La física de este modelo viene dada por el hamiltoniano de Bose-Hubbard:

${\displaystyle H=-t\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\left({\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{j}+{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}\right)+{\frac {U}{2}}\sum _{i}{\hat {n}}_{i}\left({\hat {n}}_{i}-1\right)-\mu \sum _{i}{\hat {n}}_{i}.}$

Aquí, denota la suma de todos los sitios reticulares vecinos y , mientras que y son operadores de creación y aniquilación bosónica tales que da el número de partículas en el sitio . El modelo está parametrizado por la amplitud de salto que describe la movilidad de los bosones en la red, la interacción en el sitio que puede ser atractiva ( ) o repulsiva ( ), y el potencial químico , que esencialmente establece el número de partículas. Si no se especifica, normalmente la frase "modelo de Bose-Hubbard" se refiere al caso en el que la interacción en el sitio es repulsiva. ${\displaystyle \left\langle i,j\right\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U<0}$ ${\displaystyle U>0}$ ${\displaystyle \mu }$

Este hamiltoniano tiene simetría global , lo que significa que es invariante (sus propiedades físicas no cambian) ante la transformación . En una fase superfluida , esta simetría se rompe espontáneamente . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\rightarrow e^{i\theta }{\hat {b}}_{i}}$

Espacio de Hilbert

La dimensión del espacio de Hilbert del modelo de Bose-Hubbard está dada por , donde es el número total de partículas, mientras que denota el número total de sitios reticulares. En fijos o , la dimensión del espacio de Hilbert crece polinomialmente, pero en una densidad fija de bosones por sitio, crece exponencialmente como . Se pueden formular hamiltonianos análogos para describir fermiones sin espín (el modelo de Fermi-Hubbard) o mezclas de diferentes especies de átomos (mezclas de Bose-Fermi, por ejemplo). En el caso de una mezcla, el espacio de Hilbert es simplemente el producto tensorial de los espacios de Hilbert de las especies individuales. Normalmente se incluyen términos adicionales para modelar la interacción entre especies. ${\displaystyle D_{b}=(N_{b}+L-1)!/N_{b}!(L-1)!}$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle D_{b}}$ ${\displaystyle n_{b}}$ ${\textstyle D_{b}\sim \left[(1+n_{b})\left(1+{\frac {1}{n_{b}}}\right)^{n_{b}}\right]^{L}}$

Diagrama de fases

A temperatura cero, el modelo de Bose-Hubbard (en ausencia de desorden) está en un estado aislante de Mott en pequeño , o en un estado superfluido en grande . ^[8] Las fases aislantes de Mott se caracterizan por densidades de bosones enteros, por la existencia de una brecha de energía para excitaciones de partículas-huecos y por compresibilidad cero . El superfluido se caracteriza por una coherencia de fase de largo alcance, una ruptura espontánea de la simetría continua del hamiltoniano, una compresibilidad distinta de cero y una susceptibilidad superfluida. A temperatura distinta de cero, en ciertos regímenes de parámetros aparece una fase fluida regular que no rompe la simetría y no muestra coherencia de fase. Ambas fases se han observado experimentalmente en gases atómicos ultrafríos. ^[9] ${\displaystyle t/U}$ ${\displaystyle t/U}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

En presencia de desorden, existe una tercera fase, la de "vidrio de Bose". ^[4] El vidrio de Bose es una fase de Griffiths y puede considerarse como un aislante de Mott que contiene raros "charcos" de superfluido. Estos depósitos de superfluido no están interconectados, por lo que el sistema sigue siendo aislante, pero su presencia cambia significativamente la termodinámica del modelo. La fase de vidrio de Bose se caracteriza por una compresibilidad finita, la ausencia de un espacio y una susceptibilidad infinita a los superfluidos . ^{[4] Es aislante a pesar de la ausencia de un espacio, ya que la tunelización baja impide la generación de excitaciones que, aunque cercanas en energía, están separadas espacialmente. El vidrio de Bose tiene un} parámetro de orden Edwards-Anderson distinto de cero ^{[10] [11]} y se ha sugerido (pero no demostrado) que muestra una ruptura de simetría de réplica . ^[12]

Teoría del campo medio

Las fases del modelo limpio de Bose-Hubbard se pueden describir utilizando un hamiltoniano de campo medio : ^[13] donde es el número de coordinación reticular . Esto se puede obtener a partir del hamiltoniano de Bose-Hubbard completo estableciendo donde , ignorando los términos cuadráticos en (asumiblemente infinitesimales) y reetiquetando . Debido a que este desacoplamiento rompe la simetría del hamiltoniano inicial para todos los valores distintos de cero de , este parámetro actúa como un parámetro de orden superfluido . Para simplificar, se supone que este desacoplamiento es el mismo en cada sitio, lo que excluye fases exóticas como supersólidos u otras fases no homogéneas. (Son posibles otros desacoplamientos). El diagrama de fases se puede determinar calculando la energía de este hamiltoniano de campo medio utilizando la teoría de perturbación de segundo orden y encontrando la condición para la cual . Para hacer esto, el hamiltoniano se escribe como una pieza local del sitio más una perturbación: donde los términos bilineales y su conjugado se tratan como la perturbación. Se supone que el parámetro de orden es pequeño cerca de la transición de fase . El término local es diagonal en la base de Fock , lo que da la contribución de energía de orden cero: donde es un entero que etiqueta el llenado del estado de Fock. La pieza perturbativa se puede tratar con la teoría de perturbación de segundo orden, que conduce a: La energía se puede expresar como una expansión en serie en potencias pares del parámetro de orden (también conocido como el formalismo de Landau ): Después de hacerlo, la condición para la transición de fase de segundo orden de campo medio entre el aislante de Mott y la fase superfluida viene dada por: donde el entero describe el llenado del lóbulo aislante de Mott. Trazar la línea para diferentes valores enteros de genera el límite de los diferentes lóbulos de Mott, como se muestra en el diagrama de fases. ^[4] $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\textrm {MF}}&=\sum _{i}\left[-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })+zt\psi ^{*}\psi \right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\rightarrow \psi +\delta {\hat {b}}}$ ${\displaystyle \psi =\langle {\hat {b}}_{i}\rangle }$ ${\displaystyle \delta {\hat {b}}_{i}}$ ${\displaystyle \delta {\hat {b}}_{i}\rightarrow {\hat {b}}_{i}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \neq 0}$ $${\displaystyle H_{\textrm {MF}}=\sum _{i}\left[h_{i}^{(0)}-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })\right]\quad {\textrm {with}}\quad h_{i}^{(0)}=-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)+zt\psi ^{*}\psi }$$ ${\displaystyle \psi ^{*}{\hat {b}}_{i}}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle E_{m}^{(0)}=-\mu m+{\frac {U}{2}}m(m-1)+zt|\psi |^{2}}$$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle E_{m}^{(2)}=zt|\psi |^{2}\sum _{n\neq m}{\frac {|\langle m|({\hat {b}}_{i}^{\dagger }+{\hat {b}}_{i})|n\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}=-(zt)^{2}|\psi |^{2}\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right).}$$ $${\displaystyle E={\text{constant}}+R|\psi |^{2}+W|\psi |^{4}+...}$$ $${\displaystyle r={\frac {R}{zt}}=1+zt\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right)=0}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m^{th}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle m}$

Implementación en redes ópticas

Los átomos ultrafríos en redes ópticas se consideran una realización estándar del modelo de Bose-Hubbard. La capacidad de ajustar los parámetros del modelo mediante técnicas experimentales simples y la falta de dinámica de red presente en los sistemas electrónicos de estado sólido significan que los átomos ultrafríos ofrecen una realización limpia y controlable del modelo de Bose-Hubbard. ^{[14] [5]} La mayor desventaja de la tecnología de red óptica es la vida útil de la trampa, ya que los átomos suelen quedar atrapados solo durante unas pocas decenas de segundos.

Para entender por qué los átomos ultrafríos ofrecen una realización tan conveniente de la física de Bose-Hubbard, el hamiltoniano de Bose-Hubbard se puede derivar a partir del segundo hamiltoniano cuantizado que describe un gas de átomos ultrafríos en el potencial reticular óptico. Este hamiltoniano viene dado por:

${\displaystyle H=\int {\rm {d}}^{3}r\!\left[{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\rm {latt.}}({\vec {r}})\right){\hat {\psi }}({\vec {r}})+{\frac {g}{2}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})-\mu {\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})\right]}$,

donde es el potencial de red óptica, es la amplitud de interacción (de contacto) y es el potencial químico. La aproximación de enlace fuerte da como resultado la sustitución , que conduce al hamiltoniano de Bose-Hubbard la física está restringida a la banda más baja ( ) y las interacciones son locales al nivel del modo discreto. Matemáticamente, esto se puede expresar como el requisito de que excepto para el caso . Aquí, es una función de Wannier para una partícula en un potencial de red óptica localizado alrededor del sitio de la red y para la banda de Bloch . ^[15] ${\displaystyle V_{latt}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle {\hat {\psi }}({\vec {r}})=\sum \limits _{i}w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})b_{i}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\textstyle \int w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})w_{j}^{\beta }({\vec {r}})w_{k}^{\gamma }(r)w_{l}^{\delta }({\vec {r}})\,{\rm {d}}^{3}r=0}$ ${\displaystyle i=j=k=l\wedge \alpha =\beta =\gamma =\delta =0}$ ${\displaystyle w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \alpha }$

Sutilezas y aproximaciones

La aproximación de enlace fuerte simplifica significativamente el segundo hamiltoniano cuantificado, aunque introduce varias limitaciones al mismo tiempo:

• En el caso de estados de un solo sitio con varias partículas en un solo estado, las interacciones pueden acoplarse a bandas de Bloch más altas, lo que contradice los supuestos básicos. Aun así, un modelo de banda única puede abordar la física de baja energía de un entorno de este tipo, pero con parámetros U y J que se vuelven dependientes de la densidad. En lugar de un parámetro U, la energía de interacción de n partículas puede describirse como cercana, pero no igual a U. ^[15] ${\displaystyle U_{n}}$
• Al considerar la dinámica reticular (rápida), se agregan términos adicionales al hamiltoniano para que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se cumpla en la base de la función de Wannier (dependiente del tiempo). Los términos provienen de la dependencia temporal de las funciones de Wannier. ^{[16] [17]} De lo contrario, la dinámica reticular se puede incorporar haciendo que los parámetros clave del modelo dependan del tiempo, variando con el valor instantáneo del potencial óptico.

Resultados experimentales

Greiner et al. observaron experimentalmente transiciones de fase cuántica en el modelo de Bose-Hubbard ^[9] y el grupo de Immanuel Bloch observó parámetros de interacción dependientes de la densidad ^[18] . Desde 2009 es posible obtener imágenes con resolución atómica del modelo de Bose-Hubbard utilizando microscopios de gas cuántico ^{[19] [20] [21]} ${\displaystyle U_{n}}$

Otras aplicaciones

El modelo de Bose-Hubbard es de interés en el campo de la computación cuántica y la información cuántica. Mediante este modelo se puede estudiar el entrelazamiento de átomos ultrafríos. ^[22]

Simulación numérica

En el cálculo de estados de baja energía, el término proporcional a significa que es improbable que haya una gran ocupación de un único sitio, lo que permite truncar el espacio de Hilbert local a estados que contengan partículas como máximo. Entonces, la dimensión del espacio de Hilbert local es La dimensión del espacio de Hilbert completo crece exponencialmente con el número de sitios de la red, lo que limita las simulaciones exactas por computadora de todo el espacio de Hilbert a sistemas de 15 a 20 partículas en 15 a 20 sitios de la red. ^{[ cita requerida ]} Los sistemas experimentales contienen varios millones de sitios, con un llenado promedio por encima de la unidad. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle n^{2}U}$ ${\displaystyle d<\infty }$ ${\displaystyle d+1.}$

Las redes unidimensionales pueden estudiarse utilizando el grupo de renormalización de la matriz de densidad (DMRG) y técnicas relacionadas, como la decimación de bloques con evolución temporal (TEBD). Esto incluye el cálculo del estado fundamental del hamiltoniano para sistemas de miles de partículas en miles de sitios de la red y la simulación de su dinámica gobernada por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo . Recientemente, ^{[ ¿cuándo? ]} se han estudiado redes bidimensionales utilizando estados de pares entrelazados proyectados , una generalización de los estados de productos matriciales en dimensiones superiores, tanto para el estado fundamental ^[23] como para la temperatura finita. ^[24]

Las dimensiones más altas son significativamente más difíciles debido al rápido crecimiento del entrelazamiento . ^[25]

Todas las dimensiones pueden ser tratadas mediante algoritmos cuánticos de Monte Carlo , ^{[ cita requerida ]} que proporcionan una forma de estudiar las propiedades de los estados térmicos del hamiltoniano, y en particular el estado fundamental.

Generalizaciones

Se pueden derivar hamiltonianos de tipo Bose-Hubbard para diferentes sistemas físicos que contienen gas atómico ultrafrío en el potencial periódico. Entre ellos se incluyen:

• sistemas con interacciones densidad-densidad de mayor alcance de la forma , que pueden estabilizar una fase supersólida para ciertos valores de parámetros ${\displaystyle Vn_{i}n_{j}}$
• imanes dimerizados, donde los electrones de espín 1/2 están unidos en pares llamados dímeros que tienen estadísticas de excitación bosónica y se describen mediante un modelo de Bose-Hubbard
• interacción dipolar de largo alcance ^[26]
• sistemas con términos de tunelización inducidos por interacción ^[27] ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }(n_{i}+n_{j})a_{j}}$
• estructura de espín interna de los átomos, por ejemplo debido a la captura de una variedad degenerada completa de estados de espín hiperfinos (para F=1 conduce al modelo de espín 1 de Bose-Hubbard) ^{[28] [ aclaración necesaria ]}
• situaciones en las que el gas experimenta un potencial adicional, por ejemplo, en sistemas desordenados. ^[29] El desorden podría realizarse mediante un patrón de moteado o utilizando una segunda red óptica inconmensurable y más débil. En este último caso, la inclusión del desorden equivale a incluir un término adicional de la forma: . ${\displaystyle H_{I}=V_{d}\sum \limits _{i}\cos(ki+\varphi ){\hat {n}}_{i}}$

Véase también

• Modelo de Jaynes-Cummings-Hubbard

Referencias

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