Modelo Bose-Hubbard

Modelo de bosones sin espín que interactúan en una red

El modelo de Bose-Hubbard ofrece una descripción de la física de la interacción de bosones sin espín en una red . Está estrechamente relacionado con el modelo de Hubbard que se originó en la física del estado sólido como una descripción aproximada de los sistemas superconductores y el movimiento de los electrones entre los átomos de un sólido cristalino . El modelo fue introducido por Gersch y Knollman ^[1] en 1963 en el contexto de los superconductores granulares. (El término ' Bose ' en su nombre se refiere al hecho de que las partículas del sistema son bosónicas ). El modelo saltó a la fama en la década de 1980 después de que se descubrió que captaba la esencia de la transición superfluido-aislante de una manera que era mucho más manejables matemáticamente que los modelos fermiónicos de aisladores metálicos. ^{[2] [3] [4]}

El modelo de Bose-Hubbard se puede utilizar para describir sistemas físicos como átomos bosónicos en una red óptica , ^[5] así como ciertos aislantes magnéticos. ^{[6] [7]} Además, se puede generalizar y aplicar a mezclas de Bose-Fermi, en cuyo caso el hamiltoniano correspondiente se llama hamiltoniano de Bose-Fermi-Hubbard.

hamiltoniano

La física de este modelo viene dada por el hamiltoniano de Bose-Hubbard:

${\displaystyle H=-t\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\left({\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{j}+{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}\right)+{\frac {U}{2}}\sum _{i}{\hat {n}}_{i}\left({\hat {n}}_{i}-1\right)-\mu \sum _{i}{\hat {n}}_{i}}$.

Aquí, denota la suma de todos los sitios de la red vecina y , mientras que y son operadores bosónicos de creación y aniquilación que dan el número de partículas en el sitio . El modelo está parametrizado por la amplitud de salto que describe la movilidad del bosón en la red, la interacción en el sitio que puede ser atractiva ( ) o repulsiva ( ), y el potencial químico , que esencialmente establece el número de partículas. Si no se especifica, normalmente la frase "modelo Bose-Hubbard" se refiere al caso en el que la interacción en el sitio es repulsiva. ${\displaystyle \left\langle i,j\right\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U<0}$ ${\displaystyle U>0}$ ${\displaystyle \mu }$

Este hamiltoniano tiene simetría global , lo que significa que es invariante (sus propiedades físicas no cambian) por la transformación . En una fase superfluida , esta simetría se rompe espontáneamente . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\rightarrow e^{i\theta }{\hat {b}}_{i}}$

Espacio de Hilbert

La dimensión del espacio de Hilbert del modelo de Bose-Hubbard viene dada por , donde es el número total de partículas, mientras que denota el número total de sitios de la red. En valores fijos o , la dimensión del espacio de Hilbert crece polinomialmente, pero en una densidad fija de bosones por sitio, crece exponencialmente como . Se pueden formular hamiltonianos análogos para describir fermiones sin espín (el modelo de Fermi-Hubbard) o mezclas de diferentes especies de átomos (mezclas de Bose-Fermi, por ejemplo). En el caso de una mezcla, el espacio de Hilbert es simplemente el producto tensorial de los espacios de Hilbert de las especies individuales. Normalmente se incluyen términos adicionales para modelar la interacción entre especies. ${\displaystyle D_{b}=(N_{b}+L-1)!/N_{b}!(L-1)!}$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle D_{b}}$ ${\displaystyle n_{b}}$ ${\textstyle D_{b}\sim \left[(1+n_{b})\left(1+{\frac {1}{n_{b}}}\right)^{n_{b}}\right]^{L}}$

Diagrama de fases

A temperatura cero, el modelo de Bose-Hubbard (en ausencia de desorden) se encuentra en un estado aislante de Mott en pequeño o en un estado superfluido en general . ^[8] Las fases aislantes de Mott se caracterizan por densidades de bosones enteras, por la existencia de una brecha de energía para las excitaciones de los agujeros de partículas y por una compresibilidad cero . El superfluido se caracteriza por una coherencia de fase de largo alcance, una ruptura espontánea de la simetría continua del hamiltoniano, una compresibilidad distinta de cero y una susceptibilidad superfluida. A temperaturas distintas de cero, en ciertos regímenes de parámetros aparece una fase fluida regular que no rompe la simetría y no muestra coherencia de fases. Ambas fases se han observado experimentalmente en gases atómicos ultrafríos. ^[9] ${\displaystyle t/U}$ ${\displaystyle t/U}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

En presencia de desorden, existe una tercera fase, la de "vidrio Bose". ^[4] El vidrio Bose es una fase de Griffiths y puede considerarse como un aislante Mott que contiene raros "charcos" de superfluido. Estas piscinas de superfluido no están interconectadas, por lo que el sistema sigue siendo aislante, pero su presencia cambia significativamente la termodinámica del modelo. La fase de vidrio de Bose se caracteriza por una compresibilidad finita, la ausencia de un espacio y una susceptibilidad infinita a los superfluidos . ^[4] Es aislante a pesar de la ausencia de un espacio, ya que un túnel bajo evita la generación de excitaciones que, aunque cercanas en energía, están espacialmente separadas. El vidrio Bose tiene un parámetro de orden Edwards-Anderson distinto de cero ^{[10] [11]} y se ha sugerido (pero no probado) que muestre una réplica de ruptura de simetría . ^[12]

Teoría del campo medio

Las fases del modelo limpio de Bose-Hubbard se pueden describir utilizando un hamiltoniano de campo medio : ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\textrm {MF}}&=\sum _{i}\left[-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })+zt\psi ^{*}\psi \right]\end{aligned}}}$$

número de coordinaciónparámetro de orden superfluidosupersólidosla teoría de perturbaciones ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\rightarrow \psi +\delta {\hat {b}}}$ ${\displaystyle \psi =\langle {\hat {b}}_{i}\rangle }$ ${\displaystyle \delta {\hat {b}}_{i}}$ ${\displaystyle \delta {\hat {b}}_{i}\rightarrow {\hat {b}}_{i}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \neq 0}$

$${\displaystyle H_{\textrm {MF}}=\sum _{i}\left[h_{i}^{(0)}-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })\right]\quad {\textrm {with}}\quad h_{i}^{(0)}=-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)+zt\psi ^{*}\psi }$$

transición de fasebase de Fock ${\displaystyle \psi ^{*}{\hat {b}}_{i}}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle E_{m}^{(0)}=-\mu m+{\frac {U}{2}}m(m-1)+zt|\psi |^{2}}$$

${\displaystyle m}$

$${\displaystyle E_{m}^{(2)}=zt|\psi |^{2}\sum _{n\neq m}{\frac {|\langle m|({\hat {b}}_{i}^{\dagger }+{\hat {b}}_{i})|n\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}=-(zt)^{2}|\psi |^{2}\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right).}$$

formalismo de Landau

$${\displaystyle E={\text{constant}}+R|\psi |^{2}+W|\psi |^{4}+...}$$

$${\displaystyle r={\frac {R}{zt}}=1+zt\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right)=0}$$

^[4] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m^{th}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle m}$

Implementación en celosías ópticas.

Los átomos ultrafríos en redes ópticas se consideran una realización estándar del modelo de Bose-Hubbard. La capacidad de ajustar los parámetros del modelo utilizando técnicas experimentales simples y la falta de la dinámica reticular que están presentes en los sistemas electrónicos de estado sólido significan que los átomos ultrafríos ofrecen una realización limpia y controlable del modelo de Bose-Hubbard. ^{[14] [5]} El mayor inconveniente de la tecnología de red óptica es la vida útil de la trampa, ya que los átomos normalmente quedan atrapados durante sólo unas pocas decenas de segundos.

Para ver por qué los átomos ultrafríos ofrecen una realización tan conveniente de la física de Bose-Hubbard, se puede derivar el hamiltoniano de Bose-Hubbard a partir del segundo hamiltoniano cuantificado que describe un gas de átomos ultrafríos en el potencial de la red óptica. Este hamiltoniano viene dado por:

${\displaystyle H=\int {\rm {d}}^{3}r\!\left[{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\rm {latt.}}({\vec {r}})\right){\hat {\psi }}({\vec {r}})+{\frac {g}{2}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})-\mu {\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})\right]}$,

donde es el potencial de la red óptica, es la amplitud de interacción (de contacto) y es el potencial químico. La aproximación de enlace estrecho da como resultado la sustitución , lo que lleva al hamiltoniano de Bose-Hubbard, la física está restringida a la banda más baja ( ) y las interacciones son locales en el nivel del modo discreto. Matemáticamente, esto se puede expresar como el requisito de que excepto en el caso . Aquí, hay una función de Wannier para una partícula en un potencial de red óptica localizado alrededor del sitio de la red y para la banda de Bloch . ^[15] ${\displaystyle V_{latt}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle {\hat {\psi }}({\vec {r}})=\sum \limits _{i}w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})b_{i}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\textstyle \int w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})w_{j}^{\beta }({\vec {r}})w_{k}^{\gamma }(r)w_{l}^{\delta }({\vec {r}})\,{\rm {d}}^{3}r=0}$ ${\displaystyle i=j=k=l\wedge \alpha =\beta =\gamma =\delta =0}$ ${\displaystyle w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \alpha }$

Sutilezas y aproximaciones

La aproximación estricta simplifica significativamente el segundo hamiltoniano cuantificado, aunque introduce varias limitaciones al mismo tiempo:

• Para estados de un solo sitio con varias partículas en un solo estado, las interacciones pueden acoplarse a bandas de Bloch más altas, lo que contradice los supuestos básicos. Aún así, un modelo de banda única es capaz de abordar la física de baja energía de tal configuración, pero con los parámetros U y J dependientes de la densidad. En lugar de un parámetro U, la energía de interacción de n partículas puede describirse como cercana, pero no igual, a U. ^[15] ${\displaystyle U_{n}}$
• Al considerar la dinámica de red (rápida), se agregan términos adicionales al hamiltoniano para que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se obedezca en la base de la función de Wannier (dependiente del tiempo). Los términos provienen de la dependencia temporal de las funciones de Wannier. ^{[16] [17]} De lo contrario, la dinámica de la red puede incorporarse haciendo que los parámetros clave del modelo dependan del tiempo, variando con el valor instantáneo del potencial óptico.

Resultados experimentales

^{Greiner et al. [9]} observaron experimentalmente las transiciones de fase cuántica en el modelo de Bose-Hubbard y el grupo de Immanuel Bloch observó los parámetros de interacción dependientes de la densidad . ^[18] La obtención de imágenes con resolución de un solo átomo del modelo de Bose-Hubbard ha sido posible desde 2009 utilizando microscopios cuánticos de gases. ^{[19] [20] [21]} ${\displaystyle U_{n}}$

Otras aplicaciones

El modelo de Bose-Hubbard es de interés en el campo de la computación cuántica y la información cuántica. Utilizando este modelo se puede estudiar el entrelazamiento de átomos ultrafríos. ^[22]

Simulación numérica

En el cálculo de estados de baja energía, el término proporcional a significa que es improbable una gran ocupación de un solo sitio, lo que permite truncar el espacio de Hilbert local a estados que contengan como máximo partículas. Entonces la dimensión local del espacio de Hilbert es La dimensión del espacio de Hilbert completo crece exponencialmente con el número de sitios de la red, lo que limita las simulaciones por computadora exactas de todo el espacio de Hilbert a sistemas de 15 a 20 partículas en 15 a 20 sitios de la red. ^{[ cita necesaria ]} Los sistemas experimentales contienen varios millones de sitios, con un llenado promedio superior a la unidad. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle n^{2}U}$ ${\displaystyle d<\infty }$ ${\displaystyle d+1.}$

Las redes unidimensionales se pueden estudiar utilizando el grupo de renormalización de matriz de densidad (DMRG) y técnicas relacionadas, como la diezmación de bloques en evolución temporal (TEBD). Esto incluye calcular el estado fundamental del hamiltoniano para sistemas de miles de partículas en miles de sitios de red y simular su dinámica regida por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo . Recientemente, ^{[ ¿ cuándo? ]} Se han estudiado redes bidimensionales utilizando estados de pares entrelazados proyectados , una generalización de estados de productos matriciales en dimensiones superiores, tanto para el estado fundamental ^[23] como para la temperatura finita. ^[24]

Las dimensiones más altas son significativamente más difíciles debido al rápido crecimiento del entrelazamiento . ^[25]

Todas las dimensiones pueden tratarse mediante algoritmos cuánticos de Monte Carlo , ^{[ cita necesaria ]} que proporcionan una forma de estudiar las propiedades de los estados térmicos del hamiltoniano y, en particular, el estado fundamental.

Generalizaciones

Los hamiltonianos similares a Bose-Hubbard pueden derivarse para diferentes sistemas físicos que contienen gas atómico ultrafrío en el potencial periódico. Incluyen:

• sistemas con interacciones densidad-densidad de mayor alcance de la forma , que pueden estabilizar una fase supersólida para ciertos valores de parámetros ${\displaystyle Vn_{i}n_{j}}$
• imanes dimerizados, donde los electrones de espín 1/2 están unidos en pares llamados dímeros que tienen estadísticas de excitación bosónica y se describen mediante un modelo de Bose-Hubbard
• interacción dipolar de largo alcance ^[26]
• sistemas con términos de tunelización inducida por interacción ^[27] ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }(n_{i}+n_{j})a_{j}}$
• estructura de espín interna de los átomos, por ejemplo debido a la captura de una variedad degenerada completa de estados de espín hiperfinos (para F=1 conduce al modelo de espín-1 de Bose-Hubbard) ^{[28] [ aclaración necesaria ]}
• situaciones en las que el gas experimenta un potencial adicional, por ejemplo, en sistemas desordenados. ^[29] El desorden podría realizarse mediante un patrón de manchas o utilizando una segunda red óptica desproporcionada y más débil. En este último caso, la inclusión del trastorno equivale a incluir un término adicional de la forma: . ${\displaystyle H_{I}=V_{d}\sum \limits _{i}\cos(ki+\varphi ){\hat {n}}_{i}}$

Ver también

• Modelo Jaynes-Cummings-Hubbard

Referencias

1. Gersch, H.; Knollman, G. (1963). "Modelo de célula cuántica para bosones". Revisión física . 129 (2): 959. Código bibliográfico : 1963PhRv..129..959G. doi : 10.1103/PhysRev.129.959.
2. Mamá, M.; Halperin, BI; Lee, Pensilvania (1 de septiembre de 1986). "Superfluidos fuertemente desordenados: fluctuaciones cuánticas y comportamiento crítico". Revisión física B. 34 (5): 3136–3143. Código bibliográfico : 1986PhRvB..34.3136M. doi : 10.1103/PhysRevB.34.3136. PMID  9940047.
3. Giamarchi, T.; Schulz, HJ (1 de enero de 1988). "Localización de Anderson e interacciones en metales unidimensionales". Revisión física B. 37 (1): 325–340. Código Bib : 1988PhRvB..37..325G. doi :10.1103/PhysRevB.37.325. PMID  9943580.
4. Fisher, Matthew PA; Grinstein, G.; Pescador, Daniel S. (1989). "Localización de bosones y la transición superfluido-aislante" (PDF) . Revisión física B. 40 (1): 546–70. Código bibliográfico : 1989PhRvB..40..546F. doi : 10.1103/PhysRevB.40.546. PMID  9990946.,
5. Jaksch, D.; Zoller, P. (2005). "La caja de herramientas de Hubbard del átomo frío". Anales de Física . 315 (1): 52. arXiv : cond-mat/0410614 . Código Bib : 2005AnPhy.315...52J. CiteSeerX 10.1.1.305.9031 . doi :10.1016/j.aop.2004.09.010. S2CID  12352119. 
6. Giamarchi, Thierry; Rüegg, Christian; Tchernyshyov, Oleg (2008). "Condensación de Bose-Einstein en aisladores magnéticos". Física de la Naturaleza . 4 (3): 198–204. arXiv : 0712.2250 . Código bibliográfico : 2008NatPh...4..198G. doi : 10.1038/nphys893. S2CID  118661914.
7. Zapf, Vivien; Jaime, Marcelo; Batista, CD (15 de mayo de 2014). "Condensación de Bose-Einstein en imanes cuánticos". Reseñas de Física Moderna . 86 (2): 563–614. Código Bib : 2014RvMP...86..563Z. doi : 10.1103/RevModPhys.86.563.
8. Kühner, T.; Monien, H. (1998). "Fases del modelo unidimensional de Bose-Hubbard". Revisión física B. 58 (22): R14741. arXiv : cond-mat/9712307 . Código bibliográfico : 1998PhRvB..5814741K. doi :10.1103/PhysRevB.58.R14741. S2CID  118911555.
9. Greiner, Markus; Mandel, Olaf; Esslinger, Tilman; Hänsch, Theodor W.; Bloch, Immanuel (2002). "Transición de fase cuántica de un superfluido a un aislante de Mott en un gas de átomos ultrafríos". Naturaleza . 415 (6867): 39–44. Código Bib :2002Natur.415...39G. doi :10.1038/415039a. PMID  11780110. S2CID  4411344.
10. Morrison, S.; Kantiano, A.; Daley, AJ; Katzgraber, HG; Lewenstein, M.; Büchler, HP; Zoller, P. (2008). "Réplicas físicas y el cristal Bose en gases atómicos fríos". Nueva Revista de Física . 10 (7): 073032. arXiv : 0805.0488 . Código Bib : 2008NJPh...10g3032M. doi :10.1088/1367-2630/10/7/073032. ISSN  1367-2630. S2CID  2822103.
11. Thomson, SJ; Walker, LS; Harte, TL; Bruce, GD (3 de noviembre de 2016). "Medición del parámetro de orden Edwards-Anderson del vidrio Bose: un enfoque de microscopio de gas cuántico". Revisión física A. 94 (5): 051601. arXiv : 1607.05254 . Código Bib : 2016PhRvA..94e1601T. doi :10.1103/PhysRevA.94.051601. S2CID  56027819.
12. Thomson, SJ; Krüger, F. (2014). "Réplica de simetría rompiéndose en el cristal de Bose". EPL . 108 (3): 30002. arXiv : 1312.0515 . Código Bib : 2014EL....10830002T. doi :10.1209/0295-5075/108/30002. S2CID  56307253.
13. Sachdev, Subir (2011). Transiciones de fase cuántica. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521514682. OCLC  693207153.
14. Jaksch, D.; Bruder, C.; Cirac, J.; Gardiner, C.; Zoller, P. (1998). "Átomos bosónicos fríos en redes ópticas". Cartas de revisión física . 81 (15): 3108. arXiv : cond-mat/9805329 . Código bibliográfico : 1998PhRvL..81.3108J. doi : 10.1103/PhysRevLett.81.3108. S2CID  55578669.
15. Lühmann, DSR; Jürgensen, O.; Sengstock, K. (2012). "Túnel de bosones multiorbitales e inducido por densidad en redes ópticas". Nueva Revista de Física . 14 (3): 033021. arXiv : 1108.3013 . Código Bib : 2012NJPh...14c3021L. doi :10.1088/1367-2630/14/3/033021. S2CID  119216031.
16. Sakmann, K.; Streltsov, AI; Alón, OE; Cederbaum, LS (2011). "Modelos de red óptimos dependientes del tiempo para dinámicas de desequilibrio". Nueva Revista de Física . 13 (4): 043003. arXiv : 1006.3530 . Código bibliográfico : 2011NJPh...13d3003S. doi :10.1088/1367-2630/13/4/043003. S2CID  118591567.
17. Łącki, M.; Zakrzewski, J. (2013). "Dinámica rápida de átomos en redes ópticas". Cartas de revisión física . 110 (6): 065301. arXiv : 1210.7957 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.110f5301L. doi :10.1103/PhysRevLett.110.065301. PMID  23432268. S2CID  29095052.
18. Voluntad, S.; Mejor, T.; Schneider, U.; Hackermüller, L.; Lühmann, DSR; Bloch, I. (2010). "Observación resuelta en el tiempo de interacciones coherentes de varios cuerpos en avivamientos de fase cuántica". Naturaleza . 465 (7295): 197–201. Código Bib :2010Natur.465..197W. doi : 10.1038/naturaleza09036. PMID  20463733. S2CID  4382706.
19. Bakr, Waseem S.; Gillen, Jonathon I.; Peng, Amy; Fölling, Simon; Greiner, Markus (2009). "Un microscopio cuántico de gases para detectar átomos individuales en una red óptica del régimen de Hubbard". Naturaleza . 462 (7269): 74–77. arXiv : 0908.0174 . Código Bib :2009Natur.462...74B. doi : 10.1038/naturaleza08482. PMID  19890326. S2CID  4419426.
20. Bakr, WS; Peng, A.; Tai, YO; Mar.; Simón, J.; Gillen, JI; Fölling, S.; Pollet, L.; Greiner, M. (30 de julio de 2010). "Sondeo de la transición del aislante de superfluido a Mott a nivel de un solo átomo". Ciencia . 329 (5991): 547–550. arXiv : 1006.0754 . Código Bib : 2010 Ciencia... 329.. 547B. doi : 10.1126/ciencia.1192368. ISSN  0036-8075. PMID  20558666. S2CID  3778258.
21. Weitenberg, Christof; Endres, Manuel; Sherson, Jacob F.; Cheneau, Marc; Schauß, Peter; Fukuhara, Takeshi; Bloch, Emmanuel; Kuhr, Stefan (2011). "Direccionamiento de un solo giro en un aislante atómico Mott". Naturaleza . 471 (7338): 319–324. arXiv : 1101.2076 . Código Bib :2011Natur.471..319W. doi : 10.1038/naturaleza09827. PMID  21412333. S2CID  4352129.
22. Romero-Isart, O; Eckert, K; Rodó, C; Sanpera, A (2007). "Generación de transporte y entrelazamiento en el modelo Bose-Hubbard". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 40 (28): 8019–31. arXiv : quant-ph/0703177 . Código Bib : 2007JPhA...40.8019R. doi :10.1088/1751-8113/40/28/S11. S2CID  11673450.
23. Jordania, J; Orús, R; Vidal, G (2009). "Estudio numérico del modelo incondicional de Bose-Hubbard en una red cuadrada infinita". Física. Rev. B. 79 (17): 174515. arXiv : 0901.0420 . Código Bib : 2009PhRvB..79q4515J. doi : 10.1103/PhysRevB.79.174515. S2CID  119073171.
24. Kshetrimayum, A.; Rizzi, M.; Eisert, J.; Orús, R. (2019). "Algoritmo de recocido de redes tensoriales para estados térmicos bidimensionales". Física. Rev. Lett . 122 (7): 070502. arXiv : 1809.08258 . Código Bib : 2019PhRvL.122g0502K. doi : 10.1103/PhysRevLett.122.070502. PMID  30848636. S2CID  53125536.
25. Eisert, J.; Cramer, M.; Plenio, MB (2010). "Coloquio: Leyes de área para la entropía del entrelazamiento". Reseñas de Física Moderna . 82 (1): 277. arXiv : 0808.3773 . Código Bib : 2010RvMP...82..277E. doi : 10.1103/RevModPhys.82.277.
26. Góral, K.; Santos, L.; Lewenstein, M. (2002). "Fases cuánticas de bosones dipolares en redes ópticas". Cartas de revisión física . 88 (17): 170406. arXiv : cond-mat/0112363 . Código Bib : 2002PhRvL..88q0406G. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.170406. PMID  12005738. S2CID  41827359.
27. Sowiński, T.; Dutta, O.; Hauke, P.; Tagliacozzo, L.; Lewenstein, M. (2012). "Moléculas dipolares en redes ópticas". Cartas de revisión física . 108 (11): 115301. arXiv : 1109.4782 . Código Bib : 2012PhRvL.108k5301S. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.115301. PMID  22540482. S2CID  5438190.
28. Tsuchiya, S.; Kurihara, S.; Kimura, T. (2004). "Transición superfluido-aislante Mott de bosones spin-1 en una red óptica". Revisión física A. 70 (4): 043628. arXiv : cond-mat/0209676 . Código Bib : 2004PhRvA..70d3628T. doi : 10.1103/PhysRevA.70.043628. S2CID  118566913.
29. Gurarie, V.; Pollet, L.; Prokof'Ev, NV; Svistunov, BV; Troyer, M. (2009). "Diagrama de fases del modelo desordenado de Bose-Hubbard". Revisión física B. 80 (21): 214519. arXiv : 0909.4593 . Código Bib : 2009PhRvB..80u4519G. doi : 10.1103/PhysRevB.80.214519. S2CID  54075502.