Función Wannier

Funciones de Wannier de dímeros de nitrógeno con enlaces triples y simples en nitruro de paladio.

Las funciones de Wannier son un conjunto completo de funciones ortogonales utilizadas en física del estado sólido . Fueron introducidas por Gregory Wannier en 1937. ^{[1] [2]} Las funciones de Wannier son los orbitales moleculares localizados de los sistemas cristalinos.

Las funciones de Wannier para diferentes sitios de la red en un cristal son ortogonales, lo que permite una base conveniente para la expansión de los estados de los electrones en ciertos regímenes. Las funciones de Wannier han encontrado un uso generalizado, por ejemplo, en el análisis de las fuerzas de enlace que actúan sobre los electrones.

Definición

Ejemplo de una función Wannier localizada de titanio en titanato de bario (BaTiO3)

Aunque, al igual que los orbitales moleculares localizados , las funciones de Wannier se pueden elegir de muchas maneras diferentes, ^[3] la definición original, ^[1] más simple y más común en la física del estado sólido es la siguiente. Elija una sola banda en un cristal perfecto y denote sus estados de Bloch por

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

donde u _k ( r ) tiene la misma periodicidad que el cristal. Entonces las funciones de Wannier se definen por

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$,

dónde

• R es cualquier vector reticular (es decir, hay una función de Wannier para cada vector reticular de Bravais );
• N es el número de células primitivas en el cristal;
• La suma de k incluye todos los valores de k en la zona de Brillouin (o cualquier otra celda primitiva de la red recíproca ) que sean consistentes con las condiciones de contorno periódicas en el cristal. Esto incluye N valores diferentes de k , distribuidos uniformemente a través de la zona de Brillouin. Como N suele ser muy grande, la suma se puede escribir como una integral de acuerdo con la regla de reemplazo:

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\longrightarrow {\frac {N}{\Omega }}\int _{\text{BZ}}d^{3}\mathbf {k} }$

donde "BZ" denota la zona de Brillouin , que tiene volumen Ω.

Propiedades

Sobre la base de esta definición, se puede demostrar que se cumplen las siguientes propiedades: ^[4]

• Para cualquier vector reticular R' ,

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=\phi _{\mathbf {R} +\mathbf {R} '}(\mathbf {r} +\mathbf {R} ')}$

En otras palabras, una función de Wannier depende únicamente de la cantidad ( r − R ). Por ello, estas funciones suelen escribirse en la notación alternativa

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} -\mathbf {R} ):=\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}$

• Las funciones de Bloch se pueden escribir en términos de funciones de Wannier de la siguiente manera:

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}$,

donde la suma es sobre cada vector reticular R en el cristal.

• El conjunto de funciones de onda es una base ortonormal para la banda en cuestión. ${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\text{crystal}}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )^{*}\phi _{\mathbf {R'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} &={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }\int _{\text{crystal}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )^{*}e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\psi _{\mathbf {k'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\delta _{\mathbf {k,k'} }\\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {(R-R')} }\\&=\delta _{\mathbf {R,R'} }\end{aligned}}}$

Las funciones de Wannier también se han extendido a potenciales casi periódicos. ^[5]

Localización

Los estados de Bloch ψ _k ( r ) se definen como las funciones propias de un hamiltoniano particular y, por lo tanto, se definen solo hasta una fase general. Al aplicar una transformación de fase e ^{iθ ( k )} a las funciones ψ _k ( r ), para cualquier función (real) θ ( k ), se llega a una elección igualmente válida. Si bien el cambio no tiene consecuencias para las propiedades de los estados de Bloch, las funciones de Wannier correspondientes se modifican significativamente por esta transformación.

Por lo tanto, se utiliza la libertad de elegir las fases de los estados de Bloch para dar el conjunto más conveniente de funciones de Wannier. En la práctica, este suele ser el conjunto de localización máxima, en el que la función de Wannier ϕ _R está localizada alrededor del punto R y tiende rápidamente a cero alejándose de R . Para el caso unidimensional, Kohn ^[6] ha demostrado que siempre hay una elección única que da estas propiedades (sujeta a ciertas simetrías). Esto se aplica en consecuencia a cualquier potencial separable en dimensiones superiores; las condiciones generales no están establecidas y son objeto de investigación en curso. ^[7]

Recientemente también se ha propuesto un esquema de localización de estilo Pipek-Mezey para obtener funciones de Wannier. ^[8] A diferencia de las funciones de Wannier localizadas al máximo (que son una aplicación del esquema de Foster-Boys a los sistemas cristalinos), las funciones de Wannier de Pipek-Mezey no mezclan orbitales σ y π.

Resultados rigurosos

La existencia de funciones Wannier localizadas exponencialmente en aislantes fue demostrada matemáticamente en 2006. ^[7]

Teoría moderna de la polarización

Las funciones de Wannier han encontrado recientemente aplicación para describir la polarización en cristales, por ejemplo, ferroeléctricos . La teoría moderna de la polarización fue iniciada por Raffaele Resta y David Vanderbilt. Véase, por ejemplo, Berghold, ^[9] y Nakhmanson, ^[10] y una introducción en PowerPoint de Vanderbilt. ^[11] La polarización por celda unitaria en un sólido se puede definir como el momento dipolar de la densidad de carga de Wannier:

${\displaystyle \mathbf {p_{c}} =-e\sum _{n}\int \ d^{3}r\,\,\mathbf {r} |W_{n}(\mathbf {r} )|^{2}\ ,}$

donde la suma se realiza sobre las bandas ocupadas, y W _n es la función de Wannier localizada en la celda para la banda n . El cambio en la polarización durante un proceso físico continuo es la derivada temporal de la polarización y también se puede formular en términos de la fase de Berry de los estados de Bloch ocupados. ^{[4] [12]}

Interpolación de Wannier

Las funciones de Wannier se utilizan a menudo para interpolar estructuras de bandas calculadas ab initio en una cuadrícula gruesa de k puntos a cualquier punto k arbitrario . Esto es particularmente útil para la evaluación de integrales de zona de Brillouin en cuadrículas densas y la búsqueda de puntos de Weyl, y también para tomar derivadas en el espacio k . Este enfoque es similar en espíritu a la aproximación de enlace fuerte , pero en contraste permite una descripción exacta de bandas en un cierto rango de energía. Se han derivado esquemas de interpolación de Wannier para propiedades espectrales, ^[13] conductividad Hall anómala , ^[14] magnetización orbital , ^[15] propiedades de transporte termoeléctrico y electrónico, ^[16] efectos girotrópicos , ^[17] corriente de desplazamiento , ^[18] conductividad Hall de espín ^{[19] [20]} y otros efectos.

Véase también

• Magnetización orbital

Referencias

1. Wannier Gregory H (1937). "La estructura de los niveles de excitación electrónica en cristales aislantes". Physical Review . 52 (3): 191–197. Bibcode :1937PhRv...52..191W. doi :10.1103/PhysRev.52.191.
2. Wannier, Gregory H. (1 de septiembre de 1962). "Dinámica de los electrones de banda en campos eléctricos y magnéticos". Reseñas de física moderna . 34 (4). American Physical Society (APS): 645–655. Bibcode :1962RvMP...34..645W. doi :10.1103/revmodphys.34.645. ISSN  0034-6861.
3. Marzari et al.: Introducción a las funciones de Wannier de localización máxima
4. A Bohm, A Mostafazadeh, H Koizumi, Q Niu y J Zqanziger (2003). La fase geométrica en sistemas cuánticos. Springer. pp. §12.5, p. 292 y siguientes. doi :10.1007/978-3-662-10333-3. ISBN . 978-3-540-00031-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. MP Geller y W Kohn Teoría de funciones de Wannier generalizadas para potenciales casi periódicos Physical Review B 48, 1993
6. W. Kohn (1959). "Propiedades analíticas de las ondas de Bloch y las funciones de Wannier". Physical Review . 115 (4): 809–821. Código Bibliográfico :1959PhRv..115..809K. doi :10.1103/PhysRev.115.809.
7. Brouder, Christian; Panati, Gianluca; Calandra, Matteo; Mourougane, Christophe; Marzari, Nicola (25 de enero de 2007). "Localización exponencial de funciones de Wannier en aislantes". Physical Review Letters . 98 (4). American Physical Society (APS): 046402. arXiv : cond-mat/0606726 . Bibcode :2007PhRvL..98d6402B. doi :10.1103/physrevlett.98.046402. ISSN  0031-9007. PMID  17358792. S2CID  32812449.
8. Jónsson Elvar Ö., Lehtola Susi, Puska Martti, Jónsson Hannes (2017). "Teoría y aplicaciones de funciones generalizadas de Pipek–Mezey Wannier". Revista de teoría y computación química . 13 (2): 460–474. arXiv : 1608.06396 . doi :10.1021/acs.jctc.6b00809. PMID  28099002. S2CID  206612913.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Berghold, Gerd; Mundy, Christopher J.; Romero, Aldo H.; Hutter, Jürg; Parrinello, Michele (15 de abril de 2000). "Algoritmos generales y eficientes para obtener funciones de Wannier localizadas al máximo". Physical Review B . 61 (15). American Physical Society (APS): 10040–10048. Bibcode :2000PhRvB..6110040B. doi :10.1103/physrevb.61.10040. ISSN  0163-1829.
10. Nakhmanson, SM; Calzolari, A.; Meunier, V.; Bernholc, J.; Buongiorno Nardelli, M. (10 de junio de 2003). "Polarización espontánea y piezoelectricidad en nanotubos de nitruro de boro". Physical Review B . 67 (23): 235406. arXiv : cond-mat/0305329v1 . Código Bibliográfico :2003PhRvB..67w5406N. doi :10.1103/physrevb.67.235406. ISSN  0163-1829. S2CID  119345964.
11. Fases y curvaturas de Vanderbilt Berry en la teoría de la estructura electrónica .
12. C. Pisani (1994). Cálculo ab-initio mecánico-cuántico de las propiedades de los materiales cristalinos (Actas de la IV Escuela de Química Computacional de la Sociedad Química Italiana ed.). Springer. p. 282. ISBN 978-3-540-61645-0.
13. Yates, Jonathan R.; Wang, Xinjie; Vanderbilt, David; Souza, Ivo (21 de mayo de 2007). "Propiedades espectrales y de superficie de Fermi a partir de la interpolación de Wannier". Physical Review B . 75 (19). American Physical Society (APS): 195121. arXiv : cond-mat/0702554 . Bibcode :2007PhRvB..75s5121Y. doi :10.1103/physrevb.75.195121. ISSN  1098-0121. S2CID  31224663.
14. Wang, Xinjie; Yates, Jonathan R.; Souza, Ivo; Vanderbilt, David (21 de noviembre de 2006). "Cálculo ab initio de la conductividad Hall anómala mediante interpolación de Wannier". Physical Review B . 74 (19): 195118. arXiv : cond-mat/0608257 . Código Bibliográfico :2006PhRvB..74s5118W. doi :10.1103/physrevb.74.195118. ISSN  1098-0121. S2CID  30427871.
15. Lopez, MG; Vanderbilt, David; Thonhauser, T.; Souza, Ivo (31 de enero de 2012). "Cálculo basado en Wannier de la magnetización orbital en cristales". Physical Review B . 85 (1): 014435. arXiv : 1112.1938 . Bibcode :2012PhRvB..85a4435L. doi :10.1103/physrevb.85.014435. ISSN  1098-0121. S2CID  44056938.
16. Pizzi, Giovanni; Volja, Dmitri; Kozinsky, Boris; Fornari, Marco; Marzari, Nicola (1 de enero de 2014). "BoltzWann: Un código para la evaluación de propiedades de transporte termoeléctrico y electrónico con una base de funciones de Wannier localizadas al máximo". Computer Physics Communications . 185 (1): 422–429. arXiv : 1305.1587 . Bibcode :2014CoPhC.185..422P. doi :10.1016/j.cpc.2013.09.015. ISSN  0010-4655. S2CID  6140858 . Consultado el 13 de julio de 2020 .
17. Tsirkin, Stepan S.; Puente, Pablo Aguado; Souza, Ivo (2018-01-29). "Efectos girotrópicos en telurio trigonal estudiados a partir de los primeros principios". Physical Review B . 97 (3): 035158. arXiv : 1710.03204 . Bibcode :2018PhRvB..97c5158T. doi :10.1103/physrevb.97.035158. ISSN  2469-9950. S2CID  55517213.
18. Ibañez-Azpiroz, Julen; Tsirkin, Stepan S.; Souza, Ivo (2018-06-26). "Cálculo ab initio de la fotocorriente de desplazamiento por interpolación de Wannier". Physical Review B . 97 (24): 245143. arXiv : 1804.04030 . Bibcode :2018PhRvB..97x5143I. doi :10.1103/physrevb.97.245143. ISSN  2469-9950. S2CID  67751414.
19. Qiao, Junfeng; Zhou, Jiaqi; Yuan, Zhe; Zhao, Weisheng (3 de diciembre de 2018). "Cálculo de la conductividad Hall de espín intrínseca mediante interpolación de Wannier". Physical Review B . 98 (21): 214402. arXiv : 1810.07637 . Bibcode :2018PhRvB..98u4402Q. doi :10.1103/physrevb.98.214402. ISSN  2469-9950. S2CID  119223848.
20. Ryoo, Ji Hoon; Park, Cheol-Hwan; Souza, Ivo (7 de junio de 2019). "Cálculo de conductividades Hall de espín intrínsecas a partir de primeros principios utilizando funciones de Wannier localizadas al máximo". Physical Review B . 99 (23): 235113. arXiv : 1906.07139 . Código Bibliográfico :2019PhRvB..99w5113R. doi :10.1103/physrevb.99.235113. ISSN  2469-9950. S2CID  189928182.

Lectura adicional

• Karin M Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Física de los ferroeléctricos: una perspectiva moderna. Springer. p. 2. ISBN 978-3-540-34590-9.

Enlaces externos

• Wannier Gregory H (1937). "La estructura de los niveles de excitación electrónica en cristales aislantes". Physical Review . 52 (3): 191–197. Bibcode :1937PhRv...52..191W. doi :10.1103/PhysRev.52.191.
• Código informático Wannier90 que calcula funciones Wannier localizadas al máximo
• Código de transporte de Wannier que calcula funciones de Wannier localizadas al máximo aptas para aplicaciones de transporte cuántico
• WannierTools: un paquete de software de código abierto para nuevos materiales topológicos
• WannierBerri: un código de Python para la interpolación de Wannier y cálculos de enlace estrecho

Véase también

• Teorema de Bloch
• Angulo de Hannay
• Fase geométrica