medida exterior

función matemática

En el campo matemático de la teoría de la medida , una medida exterior o medida exterior es una función definida en todos los subconjuntos de un conjunto dado con valores en los números reales extendidos que satisfacen algunas condiciones técnicas adicionales. La teoría de las medidas exteriores fue introducida por primera vez por Constantin Carathéodory para proporcionar una base abstracta para la teoría de conjuntos mensurables y medidas contablemente aditivas . ^{[1] [2]} El trabajo de Carathéodory sobre medidas externas encontró muchas aplicaciones en la teoría de conjuntos de la teoría de medidas (las medidas externas se utilizan, por ejemplo, en la prueba del teorema de extensión fundamental de Carathéodory ), y Hausdorff lo utilizó de manera esencial para definir una Invariante métrico similar a una dimensión ahora llamado dimensión de Hausdorff . Las medidas exteriores se utilizan comúnmente en el campo de la teoría de medidas geométricas .

Las medidas son generalizaciones de longitud, área y volumen, pero son útiles para conjuntos mucho más abstractos e irregulares que los intervalos en o las bolas en . Se podría esperar definir una función de medición generalizada que cumpla los siguientes requisitos: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

1. Cualquier intervalo de reales tiene medida. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle b-a}$
2. La función de medición es una función de valor real extendida no negativa definida para todos los subconjuntos de . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. Invariancia de traducción: Para cualquier conjunto y cualquier real , los conjuntos y tienen la misma medida ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}}$
4. Aditividad contable : para cualquier secuencia de subconjuntos disjuntos por pares de ${\displaystyle (A_{j})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).}$

Resulta que estos requisitos son condiciones incompatibles; ver conjunto no mensurable . El propósito de construir una medida externa en todos los subconjuntos de es seleccionar una clase de subconjuntos (que se llamará medible ) de tal manera que satisfaga la propiedad de aditividad contable. ${\displaystyle X}$

Medidas exteriores

Dado un conjunto, denotemos la colección de todos los subconjuntos , incluido el conjunto vacío. Una medida exterior es una función de conjunto. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$$

• conjunto vacío nulo : ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• subaditivo contable : para subconjuntos arbitrarios de ${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$
  $${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

Tenga en cuenta que no hay ninguna sutileza acerca de la suma infinita en esta definición. Dado que se supone que todos los sumandos son no negativos, la secuencia de sumas parciales sólo podría divergir si aumenta sin límite. Por lo tanto, la suma infinita que aparece en la definición siempre será un elemento bien definido de Si, en cambio, se permitiera que una medida externa tomara valores negativos, su definición tendría que modificarse para tener en cuenta la posibilidad de sumas infinitas no convergentes. . ${\displaystyle [0,\infty ].}$

Una definición alternativa y equivalente. ^[3] Algunos libros de texto, como Halmos (1950), definen en cambio una medida exterior como una función tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$

• conjunto vacío nulo : ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• monótono : si y son subconjuntos de con entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$
• para subconjuntos arbitrarios de ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$
  $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

Mensurabilidad de conjuntos en relación con una medida exterior

Sea un conjunto con una medida exterior. Se dice que un subconjunto de es -medible (a veces llamado Carathéodory-medible en relación con , en honor al matemático Carathéodory ) si y sólo si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Informalmente, esto dice que un subconjunto mensurable es aquel que puede usarse como bloque de construcción, rompiendo cualquier otro subconjunto en pedazos (es decir, la pieza que está dentro del conjunto mensurable junto con la pieza que está fuera del conjunto mensurable). ). En términos de la motivación para la teoría de la medida, uno esperaría que el área , por ejemplo, fuera una medida exterior en el plano. Entonces se podría esperar que cada subconjunto del avión se considerara "mensurable", siguiendo el principio esperado de que ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)}$$

axioma de elección ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

El espacio de medida asociado a una medida exterior.

Es sencillo utilizar la definición anterior de mensurabilidad para ver que ${\displaystyle \mu }$

• si es -mensurable entonces su complemento también es -mensurable. ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$

La siguiente condición se conoce como " aditividad contable de subconjuntos mensurables". ${\displaystyle \mu }$

• si son subconjuntos mensurables separados por pares ( para ) de , entonces se tiene ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).}$$

Una prueba similar muestra que:

• si son subconjuntos medibles de entonces la unión y la intersección también son medibles. ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

Las propiedades dadas aquí se pueden resumir en la siguiente terminología:

Dada cualquier medida exterior en un conjunto, la colección de subconjuntos todos mensurables es una σ-álgebra . La restricción de a esta -álgebra es una medida. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Por tanto, se tiene una estructura de espacio de medidas que surge naturalmente de la especificación de una medida exterior. Este espacio de medidas tiene la propiedad adicional de completitud , que está contenida en la siguiente afirmación: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

• Todo subconjunto tal que sea mensurable. ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$

Esto es fácil de demostrar utilizando la segunda propiedad de la "definición alternativa" de medida exterior.

Restricción y avance de una medida exterior

Sea una medida exterior del conjunto . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Empujar hacia adelante

Dado otro conjunto y un mapa definido por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu :2^{Y}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle {\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.}$

Se puede verificar directamente a partir de las definiciones que es una medida exterior . ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle Y}$

Restricción

Sea B un subconjunto de X . Definir μ _B  : 2 ^X →[0,∞] por

${\displaystyle \mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).}$

Se puede comprobar directamente a partir de las definiciones que μ _B es otra medida exterior en X.

Mensurabilidad de conjuntos en relación con un avance o restricción

Si un subconjunto A de X es μ -medible , entonces también es μ _B -medible para cualquier subconjunto B de X.

Dado un mapa f  : X → Y y un subconjunto A de Y , si f ⁻¹ ( A ) es μ -medible entonces A es f _# μ -medible. De manera más general, f ⁻¹ ( A ) es μ -medible si y solo si A es f _# ( μ _B ) -medible para cada subconjunto B de X .

Medidas exteriores regulares

Definición de medida exterior regular

Dado un conjunto X , se dice que una medida exterior μ en X es regular si cualquier subconjunto puede aproximarse "desde el exterior" mediante μ -conjuntos mensurables. Formalmente, esto requiere cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (B)\mid A\subseteq B,B{\text{ is μ-measurable}}\}}$
• Existe un subconjunto B de X mensurable μ que contiene A y tal que . ${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$

Es automático que la segunda condición implique la primera; el primero implica el segundo al tomar la intersección contable de con ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle \mu (B_{i})\to \mu (A)}$

La medida exterior regular asociada a una medida exterior

Dada una medida exterior μ en un conjunto X , defina ν  : 2 ^X →[0,∞] por

${\displaystyle \nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-measurable subsets }}B\subset X{\text{ with }}B\supset A{\Big \}}.}$

Entonces ν es una medida exterior regular en X que asigna la misma medida que μ a todos los μ -subconjuntos mensurables de X. Cada μ -subconjunto mensurable también es ν -mensurable, y cada ν -subconjunto mensurable de ν -medida finita también es μ -mensurable.

Entonces, el espacio de medidas asociado a ν puede tener un álgebra σ mayor que el espacio de medidas asociado a μ . Las restricciones de ν y μ al σ-álgebra más pequeña son idénticas. Los elementos del σ-álgebra más grande que no están contenidos en el σ-álgebra más pequeño tienen una medida ν infinita y una medida μ finita .

Desde esta perspectiva, ν puede considerarse como una extensión de μ .

Medida exterior y topología.

Supongamos que ( X, d) es un espacio métrico y φ una medida exterior en X. Si φ tiene la propiedad de que

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$

cuando sea

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

entonces φ se llama medida exterior métrica .

Teorema . Si φ es una medida exterior métrica en X , entonces cada subconjunto Borel de X es φ -medible. (Los conjuntos de Borel de X son los elementos de la σ -álgebra más pequeña generada por los conjuntos abiertos).

Construcción de medidas exteriores.

Existen varios procedimientos para construir medidas exteriores en un conjunto. La referencia clásica de Munroe a continuación describe dos particularmente útiles que se denominan Método I y Método II .

Método I

Sea X un conjunto, C una familia de subconjuntos de X que contiene el conjunto vacío y p una función de valor real extendida no negativa en C que desaparece en el conjunto vacío.

Teorema . Supongamos que la familia C y la función p son como arriba y definen

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.}$

Es decir, el mínimo se extiende sobre todas las secuencias {A _i } de elementos de C que cubren E , con la convención de que el mínimo es infinito si no existe tal secuencia. Entonces φ es una medida exterior en X .

Método II

La segunda técnica es más adecuada para construir medidas exteriores en espacios métricos, ya que produce medidas exteriores métricas. Supongamos que (X, d) es un espacio métrico. Como arriba, C es una familia de subconjuntos de X que contiene el conjunto vacío yp una función de valor real extendida no negativa en C que desaparece en el conjunto vacío. Para cada δ > 0 , sea

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}$

y

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$

Obviamente, φ _δ ≥ φ _δ' cuando δ ≤ δ' ya que el mínimo se toma sobre una clase más pequeña a medida que δ disminuye. De este modo

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}$

existe (posiblemente infinito).

Teorema . φ ₀ es una medida exterior métrica en X .

Ésta es la construcción utilizada en la definición de medidas de Hausdorff para un espacio métrico.

Ver también

• medida interior

Notas

1. Carathéodory 1968
2. Aliprantis y Border 2006, págs. S379
3. La definición original dada anteriormente sigue los textos ampliamente citados de Federer y de Evans y Gariepy. Tenga en cuenta que ambos libros utilizan terminología no estándar para definir una "medida" como lo que aquí se llama una "medida exterior".

Referencias

• Aliprantis, CD; Frontera, KC (2006). Análisis dimensional infinito (3ª ed.). Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag . ISBN 3-540-29586-0.
• Carathéodory, C. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (en alemán) (3ª ed.). Publicaciones de Chelsea . ISBN 978-0828400381.
• Evans, Lorenzo C.; Gariepy, Ronald F. (2015). Teoría de medidas y propiedades finas de funciones. Edición revisada . Prensa CRC, Boca Ratón, FL. págs. xiv+299. ISBN 978-1-4822-4238-6. {{cite book}}: |work=ignorado ( ayuda )
• Federer, H. (1996) [1969]. Teoría de la medida geométrica . Clásicos de las Matemáticas (1ª ed., reimpresión). Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag . ISBN 978-3540606567.
• Halmos, P. (1978) [1950]. Teoría de la medida. Textos de Posgrado en Matemáticas (2ª ed.). Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.
• Munroe, ME (1953). Introducción a la medida y la integración (1ª ed.). Addison Wesley . ISBN 978-1124042978.
• Kolmogorov, AN ; Fomín, SV (1970). Análisis real introductorio. Richard A. Silverman traducción. Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-61226-0.

enlaces externos

• Medida exterior en la Enciclopedia de Matemáticas
• Medida caratheodory en la Enciclopedia de Matemáticas