Media de Bochner-Riesz

La media de Bochner-Riesz es un método de sumabilidad que se utiliza a menudo en el análisis armónico cuando se considera la convergencia de las series de Fourier y las integrales de Fourier . Fue introducida por Salomon Bochner como una modificación de la media de Riesz .

Definición

Definir

${\displaystyle (\xi )_{+}={\begin{cases}\xi ,&{\mbox{if }}\xi >0\\0,&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

Sea una función periódica, considerada como si estuviera en el n-toro , , y que tiene coeficientes de Fourier para . Entonces, las medias de Bochner-Riesz de orden complejo , de (donde y ) se definen como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}(k)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle B_{R}^{\delta }f}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}$

${\displaystyle B_{R}^{\delta }f(\theta )={\underset {|k|\leq R}{\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}}}\left(1-{\frac {|k|^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(k)e^{2\pi ik\cdot \theta }.}$

De manera análoga, para una función con transformada de Fourier , las medias de Bochner-Riesz de orden complejo , (donde y ) se definen como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle S_{R}^{\delta }f}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}$

${\displaystyle S_{R}^{\delta }f(x)=\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi .}$

Aplicación a los operadores de convolución

Para y , y pueden escribirse como operadores de convolución , donde el núcleo de convolución es una identidad aproximada . Por lo tanto, en estos casos, considerar la convergencia casi universal de las medias de Bochner–Riesz para funciones en espacios es mucho más simple que el problema de la convergencia "regular" casi universal de las series/integrales de Fourier (que corresponden a ). ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}$ ${\displaystyle B_{R}^{\delta }}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \delta =0}$

En dimensiones superiores, los núcleos de convolución se comportan peor: específicamente, para

${\displaystyle \delta \leq {\tfrac {n-1}{2}}}$

El núcleo ya no es integrable, por lo que establecer una convergencia casi en todas partes se hace correspondientemente más difícil.

Conjetura de Bochner-Riesz

Otra cuestión es la de para qué y para qué las medias de Bochner–Riesz de una función convergen en la norma. Esta cuestión es de importancia fundamental para , ya que la convergencia de la norma esférica regular (que también corresponde a ) falla en cuando . Esto fue demostrado en un artículo de 1971 por Charles Fefferman . ^[1] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \delta =0}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$

Por un resultado de transferencia, los problemas y son equivalentes entre sí, y como tal, por un argumento que utiliza el principio de acotación uniforme , para cualquier particular , la convergencia de normas se sigue en ambos casos exactamente para aquellos donde es el símbolo de un operador multiplicador de Fourier acotado . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (1-|\xi |^{2})_{+}^{\delta }}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Para , esa cuestión ha sido resuelta completamente, pero para , sólo ha sido respondida parcialmente. El caso de no es interesante aquí ya que la convergencia se sigue para en el caso más difícil como consecuencia de la acotación de la transformada de Hilbert y un argumento de Marcel Riesz . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ ${\displaystyle \delta =0}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Defina el "índice crítico" como ${\displaystyle \delta (p)}$

${\displaystyle \max(n|1/p-1/2|-1/2,0)}$.

Entonces la conjetura de Bochner-Riesz establece que

${\displaystyle \delta >\delta (p)}$

es la condición necesaria y suficiente para un operador multiplicador de Fourier acotado. Se sabe que la condición es necesaria. ^[2] ${\displaystyle L^{p}}$

Referencias

1. Fefferman, Charles (1971). "El problema del multiplicador para la pelota". Anales de Matemáticas . 94 (2): 330–336. doi :10.2307/1970864. JSTOR  1970864.
2. Ciatti, Paolo (2008). Temas de análisis matemático. World Scientific. pág. 347. ISBN 9789812811066.

Lectura adicional

• Lu, Shanzhen (2013). Medias de Bochner-Riesz en espacios euclidianos (Primera edición). World Scientific. ISBN 978-981-4458-76-4.
• Grafakos, Loukas (2008). Análisis clásico de Fourier (segunda edición). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-09431-1.
• Grafakos, Loukás (2009). Análisis de Fourier moderno (Segunda ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-09433-5.
• Stein, Elias M. y Murphy, Timothy S. (1993). Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-03216-5.