Matriz cero

Matriz cuyas entradas son todas 0

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz cero o matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos cero . También sirve como identidad aditiva del grupo aditivo de matrices, y se denota con el símbolo o seguido de subíndices correspondientes a la dimensión de la matriz según lo considere adecuado el contexto. ^{[1] [2] [3]} Algunos ejemplos de matrices cero son ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\ }$

Propiedades

El conjunto de matrices con entradas en un anillo K forma un anillo . La matriz cero en es la matriz con todas las entradas iguales a , donde es la identidad aditiva en K. ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle K_{m,n}}$ ${\displaystyle 0_{K_{m,n}}\,}$ ${\displaystyle K_{m,n}\,}$ ${\displaystyle 0_{K}\,}$ ${\displaystyle 0_{K}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

La matriz cero es la identidad aditiva en . ^[4] Es decir, para todo lo que satisface la ecuación ${\displaystyle K_{m,n}\,}$ ${\displaystyle A\in K_{m,n}\,}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}$

Existe exactamente una matriz cero de cualquier dimensión dada m × n (con entradas de un anillo dado), por lo que, cuando el contexto es claro, a menudo se hace referencia a la matriz cero. En general, el elemento cero de un anillo es único y se denota típicamente por 0 sin ningún subíndice que indique el anillo padre. Por lo tanto, los ejemplos anteriores representan matrices cero sobre cualquier anillo.

La matriz cero también representa la transformación lineal que envía todos los vectores al vector cero . ^[5] Es idempotente , lo que significa que cuando se multiplica por sí misma, el resultado es ella misma.

La matriz cero es la única matriz cuyo rango es 0.

Ocurrencias

En la regresión de mínimos cuadrados ordinarios , si hay un ajuste perfecto a los datos, la matriz aniquiladora es la matriz cero.

Véase también

• Matriz identidad , la identidad multiplicativa para matrices
• Matriz de unos , una matriz donde todos los elementos son uno
• Matriz nilpotente
• Matriz de entrada única , una matriz donde todos los elementos menos uno son cero

Referencias

1. Lang, Serge (1987), Álgebra lineal, Textos de pregrado en matemáticas , Springer, pág. 25, ISBN 9780387964126, Tenemos una matriz cero en la que a _ij  = 0 para todo i ,  j . ... La escribiremos  O .
2. "Introducción a las matrices cero (artículo) | Matrices". Khan Academy . Consultado el 13 de agosto de 2020 .
3. Weisstein, Eric W. "Matriz cero". mathworld.wolfram.com . Consultado el 13 de agosto de 2020 .
4. Warner, Seth (1990), Álgebra moderna, Courier Dover Publications, pág. 291, ISBN 9780486663418El elemento neutro para la suma se llama matriz cero, ya que todas sus entradas son cero .
5. Bronson, Richard; Costa, Gabriel B. (2007), Álgebra lineal: una introducción, Academic Press, pág. 377, ISBN 9780120887842, La matriz cero representa la transformación cero 0 , que tiene la propiedad 0 ( v ) =  0 para cada vector v  ∈  V .