Matriz de Hadamard compleja

Una matriz de Hadamard compleja es cualquier matriz compleja que satisface dos condiciones: ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle H}$

• unimodularidad (el módulo de cada entrada es la unidad): ${\displaystyle |H_{jk}|=1{\text{ for }}j,k=1,2,\dots ,N}$
• ortogonalidad : , ${\displaystyle HH^{\dagger }=NI}$

donde denota la transpuesta hermítica de y es la matriz identidad . El concepto es una generalización de las matrices de Hadamard . Nótese que cualquier matriz de Hadamard compleja puede convertirse en una matriz unitaria multiplicándola por ; a la inversa , cualquier matriz unitaria cuyas entradas tengan todas módulo se convierte en una matriz de Hadamard compleja al multiplicarla por ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}.}$

Las matrices de Hadamard complejas surgen en el estudio de las álgebras de operadores y la teoría de la computación cuántica . Las matrices de Hadamard reales y las matrices de Hadamard de tipo Butson forman casos particulares de matrices de Hadamard complejas.

Existen matrices de Hadamard complejas para cualquier número natural (compárese con el caso real, en el que no existen matrices de Hadamard para todos y no se conoce la existencia de cada número permisible ). Por ejemplo, las matrices de Fourier (el conjugado complejo de las matrices DFT sin el factor normalizador), ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N}$

Pertenecen a esta clase.

Equivalencia

Dos matrices de Hadamard complejas se denominan equivalentes , escritas , si existen matrices unitarias diagonales y matrices de permutación tales que ${\displaystyle H_{1}\simeq H_{2}}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

${\displaystyle H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.}$

Cualquier matriz de Hadamard compleja es equivalente a una matriz de Hadamard desfasada , en la que todos los elementos de la primera fila y la primera columna son iguales a la unidad.

Porque y todas las matrices complejas de Hadamard son equivalentes a la matriz de Fourier . Porque existe una familia continua, de un parámetro, de matrices complejas de Hadamard no equivalentes, ${\displaystyle N=2,3}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle F_{N}}$ ${\displaystyle N=4}$

${\displaystyle F_{4}^{(1)}(a):={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}\\1&-1&1&-1\\1&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}\end{bmatrix}}{\quad {\rm {with\quad }}}a\in [0,\pi ).}$

Se conocen las siguientes familias de matrices complejas de Hadamard: ${\displaystyle N=6}$

• una única familia de dos parámetros que incluye , ${\displaystyle F_{6}}$
• una única familia de un parámetro , ${\displaystyle D_{6}(t)}$
• una órbita de un parámetro , incluida la matriz circulante de Hadamard , ${\displaystyle B_{6}(\theta )}$ ${\displaystyle C_{6}}$
• una órbita de dos parámetros que incluye los dos ejemplos anteriores , ${\displaystyle X_{6}(\alpha )}$
• una órbita de un parámetro de matrices simétricas , ${\displaystyle M_{6}(x)}$
• una órbita de dos parámetros que incluye el ejemplo anterior , ${\displaystyle K_{6}(x,y)}$
• una órbita de tres parámetros que incluye todos los ejemplos anteriores , ${\displaystyle K_{6}(x,y,z)}$
• una construcción adicional con cuatro grados de libertad, , que produce otros ejemplos además de , ${\displaystyle G_{6}}$ ${\displaystyle K_{6}(x,y,z)}$
• un solo punto - una de las matrices de Hadamard de tipo Butson, . ${\displaystyle S_{6}\in H(3,6)}$

Sin embargo, no se sabe si esta lista está completa, pero se conjetura que es una lista exhaustiva (aunque no necesariamente irredundante) de todas las matrices complejas de Hadamard de orden 6. ${\displaystyle K_{6}(x,y,z),G_{6},S_{6}}$

Referencias

• Haagerup, U. (1997). "Subálgebras abelianas máximas ortogonales de las matrices n×n y raíces cíclicas n". Álgebras de operadores y teoría cuántica de campos (Roma), 1996. Cambridge, MA: International Press. págs. 296–322. ISBN. 1-57146-047-0.OCLC 1409082233  .
• Dita, P. (2004). "Algunos resultados sobre la parametrización de matrices de Hadamard complejas". J. Phys. A: Math. Gen . 37 (20): 5355–74. doi :10.1088/0305-4470/37/20/008.
• Szöllősi, F. (2010). "Una familia de dos parámetros de matrices Hadamard complejas de orden 6 inducidas por hipocicloides". Actas de la American Mathematical Society . 138 (3): 921–8. arXiv : 0811.3930v2 . JSTOR  40590684.
• Tadej, W.; Życzkowski, K. (2006). "Una guía concisa para matrices de Hadamard complejas". Open Systems & Infor. Dyn . 13 (2): 133–177. arXiv : quant-ph/0512154 . doi :10.1007/s11080-006-8220-2.

Enlaces externos

• Para obtener una lista explícita de matrices de Hadamard complejas conocidas y varios ejemplos de matrices de Hadamard de tamaño 7-16, consulte el Catálogo de matrices de Hadamard complejas. ${\displaystyle N=6}$