Matriz de Gram

Matriz de productos internos de un conjunto de vectores

En álgebra lineal , la matriz de Gram (o matriz gramiana , gramiana ) de un conjunto de vectores en un espacio de producto interno es la matriz hermítica de productos internos , cuyas entradas están dadas por el producto interno . ^[1] Si los vectores son las columnas de la matriz , entonces la matriz de Gram es en el caso general de que las coordenadas del vector sean números complejos, lo que se simplifica a para el caso de que las coordenadas del vector sean números reales. ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle G_{ij}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\dagger }X}$ ${\displaystyle X^{\top }X}$

Una aplicación importante es calcular la independencia lineal : un conjunto de vectores son linealmente independientes si y solo si el determinante de Gram (el determinante de la matriz de Gram) es distinto de cero.

Lleva el nombre de Jørgen Pedersen Gram .

Ejemplos

Para vectores reales de dimensión finita en con el producto escalar euclidiano habitual , la matriz de Gram es , donde es una matriz cuyas columnas son los vectores y es su transpuesta cuyas filas son los vectores . Para vectores complejos en , , donde es la transpuesta conjugada de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G=V^{\top }V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle V^{\top }}$ ${\displaystyle v_{k}^{\top }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G=V^{\dagger }V}$ ${\displaystyle V^{\dagger }}$ ${\displaystyle V}$

Dadas funciones integrables al cuadrado en el intervalo , la matriz de Gram es: ${\displaystyle \{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \left[t_{0},t_{f}\right]}$ ${\displaystyle G=\left[G_{ij}\right]}$

${\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}^{*}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .}$

¿Dónde está el conjugado complejo de ? ${\displaystyle \ell _{i}^{*}(\tau )}$ ${\displaystyle \ell _{i}(\tau )}$

Para cualquier forma bilineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre cualquier cuerpo podemos definir una matriz de Gram unida a un conjunto de vectores por . La matriz será simétrica si la forma bilineal es simétrica. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle G_{ij}=B\left(v_{i},v_{j}\right)}$ ${\displaystyle B}$

Aplicaciones

• En la geometría de Riemann , dada una variedad de Riemann de dimensión incrustada y una parametrización para , la forma del volumen en inducida por la incrustación se puede calcular utilizando el gramático de los vectores tangentes de coordenadas: Esto generaliza la integral de superficie clásica de una superficie parametrizada para : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :U\to M}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{k})\in U\subset \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det G}}\ dx_{1}\cdots dx_{k},\quad G=\left[\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right].}$$ ${\displaystyle \phi :U\to S\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y)\in U\subset \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \int _{S}f\ dA=\iint _{U}f(\phi (x,y))\,\left|{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\,{\times }\,{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right|\,dx\,dy.}$$
• Si los vectores son variables aleatorias centradas , el gramático es aproximadamente proporcional a la matriz de covarianza , y la escala está determinada por el número de elementos del vector.
• En química cuántica , la matriz de Gram de un conjunto de vectores base es la matriz de superposición .
• En la teoría de control (o más generalmente en la teoría de sistemas ), el gramático de controlabilidad y el gramático de observabilidad determinan las propiedades de un sistema lineal.
• Las matrices Gramianas surgen en el ajuste del modelo de estructura de covarianza (véase, por ejemplo, Jamshidian y Bentler, 1993, Applied Psychological Measurement, Volumen 18, págs. 79-94).
• En el método de elementos finitos , la matriz de Gram surge de la aproximación de una función de un espacio de dimensión finita; las entradas de la matriz de Gram son entonces los productos internos de las funciones base del subespacio de dimensión finita.
• En el aprendizaje automático , las funciones del núcleo se representan a menudo como matrices de Gram. ^[2] (Véase también PCA del núcleo ).
• Como la matriz de Gram sobre los números reales es una matriz simétrica , es diagonalizable y sus valores propios no son negativos. La diagonalización de la matriz de Gram es la descomposición en valores singulares .

Propiedades

Semidefinición positiva

La matriz de Gram es simétrica en el caso en que el producto interno tenga un valor real; es hermítica en el caso general y complejo por definición de un producto interno .

La matriz de Gram es semidefinida positiva y toda matriz semidefinida positiva es la matriz de Gram para algún conjunto de vectores. El hecho de que la matriz de Gram sea semidefinida positiva se puede ver a partir de la siguiente derivación simple:

${\displaystyle x^{\dagger }\mathbf {G} x=\sum _{i,j}x_{i}^{*}x_{j}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{i}x_{i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}{\biggr \rangle }={\biggl \|}\sum _{i}x_{i}v_{i}{\biggr \|}^{2}\geq 0.}$

La primera igualdad se desprende de la definición de multiplicación de matrices, la segunda y la tercera de la bilinealidad del producto interno y la última de la definitividad positiva del producto interno. Nótese que esto también demuestra que la matriz de Gram es definida positiva si y solo si los vectores son linealmente independientes (es decir, para todos los ). ^[1] ${\displaystyle v_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle x}$

Encontrar una realización vectorial

Dada cualquier matriz semidefinida positiva , se puede descomponer como: ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=B^{\dagger }B}$,

donde es la transpuesta conjugada de (o en el caso real). ${\displaystyle B^{\dagger }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M=B^{\textsf {T}}B}$

Aquí hay una matriz, donde es el rango de . Varias formas de obtener dicha descomposición incluyen calcular la descomposición de Cholesky o tomar la raíz cuadrada no negativa de . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Las columnas de pueden verse como n vectores en (o espacio euclidiano k -dimensional , en el caso real). Entonces ${\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle M_{ij}=b^{(i)}\cdot b^{(j)}}$

donde el producto escalar es el producto interno habitual en . ${\textstyle a\cdot b=\sum _{\ell =1}^{k}a_{\ell }^{*}b_{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$

Por lo tanto, una matriz hermítica es semidefinida positiva si y solo si es la matriz de Gram de algunos vectores . Dichos vectores se denominan realización vectorial de . El análogo de dimensión infinita de esta afirmación es el teorema de Mercer . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}$ ${\displaystyle M}$

Unicidad de las realizaciones vectoriales

Si es la matriz de Gram de los vectores en entonces al aplicar cualquier rotación o reflexión de (cualquier transformación ortogonal , es decir, cualquier isometría euclidiana que preserve 0) a la secuencia de vectores se obtiene la misma matriz de Gram. Es decir, para cualquier matriz ortogonal , la matriz de Gram de también es . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Qv_{1},\dots ,Qv_{n}}$ ${\displaystyle M}$

Esta es la única forma en que dos realizaciones vectoriales reales de pueden diferir: los vectores son únicos hasta que se produzcan transformaciones ortogonales . En otras palabras, los productos escalares y son iguales si y solo si alguna transformación rígida de transforma los vectores en y 0 en 0. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}}$ ${\displaystyle w_{i}\cdot w_{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$

Lo mismo ocurre en el caso complejo, con transformaciones unitarias en lugar de ortogonales. Es decir, si la matriz de Gram de vectores es igual a la matriz de Gram de vectores en entonces existe una matriz unitaria (es decir ) tal que para . ^[3] ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$ ${\displaystyle v_{i}=Uw_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

Otras propiedades

• Porque , es necesariamente el caso que y conmutan. Es decir, una matriz de Gram real o compleja es también una matriz normal . ${\displaystyle G=G^{\dagger }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\dagger }}$ ${\displaystyle G}$
• La matriz de Gram de cualquier base ortonormal es la matriz identidad. De manera equivalente, la matriz de Gram de las filas o las columnas de una matriz de rotación real es la matriz identidad. Asimismo, la matriz de Gram de las filas o las columnas de una matriz unitaria es la matriz identidad.
• El rango de la matriz de Gram de vectores es igual a la dimensión del espacio abarcado por estos vectores. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$

Determinante de Gram

El determinante de Gram o Gramiano es el determinante de la matriz de Gram: $${\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\begin{vmatrix}\langle v_{1},v_{1}\rangle &\langle v_{1},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{1},v_{n}\rangle \\\langle v_{2},v_{1}\rangle &\langle v_{2},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{2},v_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle v_{n},v_{1}\rangle &\langle v_{n},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{n},v_{n}\rangle \end{vmatrix}}.}$$

Si son vectores en entonces es el cuadrado del volumen n -dimensional del paralelotopo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y solo si el paralelotopo tiene un volumen n -dimensional distinto de cero, si y solo si el determinante de Gram es distinto de cero, si y solo si la matriz de Gram es no singular . Cuando n > m el determinante y el volumen son cero. Cuando n = m , esto se reduce al teorema estándar de que el valor absoluto del determinante de n vectores n -dimensionales es el volumen n -dimensional. El determinante de Gram también es útil para calcular el volumen del símplex formado por los vectores; su volumen es Volumen(paralelotopo) / n ! . ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

El determinante de Gram también se puede expresar en términos del producto exterior de vectores por

${\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}=\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\|^{2}.}$

Cuando los vectores se definen a partir de las posiciones de los puntos relativos a algún punto de referencia , ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle p_{n+1}}$

$${\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=(p_{1}-p_{n+1},p_{2}-p_{n+1},\ldots ,p_{n}-p_{n+1})\,,}$$

entonces el determinante de Gram se puede escribir como la diferencia de dos determinantes de Gram,

$${\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\bigl |}G((p_{1},1),\dots ,(p_{n+1},1)){\bigr |}-{\bigl |}G(p_{1},\dots ,p_{n+1}){\bigr |}\,,}$$

donde cada uno es el punto correspondiente suplementado con el valor de la coordenada 1 para una dimensión -st. ^{[ cita requerida ]} Nótese que en el caso común de que n = m , el segundo término en el lado derecho será cero. ${\displaystyle (p_{j},1)}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle (m+1)}$

Construyendo una base ortonormal

Dado un conjunto de vectores linealmente independientes con matriz de Gram definida por , se puede construir una base ortonormal ${\displaystyle \{v_{i}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{ij}:=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$

${\displaystyle u_{i}:=\sum _{j}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ji}v_{j}.}$

En notación matricial, , donde tiene vectores base ortonormales y la matriz está compuesta por los vectores columna dados . ${\displaystyle U=VG^{-1/2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}}$

Se garantiza que la matriz existe. De hecho, es hermítica y, por lo tanto, se puede descomponer como una matriz unitaria y una matriz diagonal real. Además, son linealmente independientes si y solo si es definida positiva, lo que implica que las entradas diagonales de son positivas. por lo tanto, está definida de manera única por . Se puede comprobar que estos nuevos vectores son ortonormales: ${\displaystyle G^{-1/2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=UDU^{\dagger }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G^{-1/2}}$ ${\displaystyle G^{-1/2}:=UD^{-1/2}U^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},u_{j}\rangle &=\sum _{i'}\sum _{j'}{\Bigl \langle }{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{i'i}v_{i'},{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}v_{j'}{\Bigr \rangle }\\[10mu]&=\sum _{i'}\sum _{j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ii'}G_{i'j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}\\[8mu]&={\bigl (}G^{-1/2}GG^{-1/2}{\bigr )}_{ij}=\delta _{ij}\end{aligned}}}$

donde usamos . ${\displaystyle {\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}^{\dagger }=G^{-1/2}}$

Véase también

• Controlabilidad Gramian
• Observabilidad Gramiana

Referencias

1. Horn & Johnson 2013, pág. 441, pág. 441, Teorema 7.2.10
2. Lanckriet, GRG; Cristianini, N.; Bartlett, P.; Ghaoui, LE; Jordan, MI (2004). "Aprendizaje de la matriz del núcleo con programación semidefinida". Journal of Machine Learning Research . 5 : 27–72 [p. 29].
3. Horn y Johnson (2013), pág. 452, Teorema 7.3.11

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis de matrices (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-54823-6.

Enlaces externos

• "Matriz de gramo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Volúmenes de paralelogramos de Frank Jones