Parámetros de admitancia

Propiedades de una red eléctrica en términos de una matriz de relaciones de corrientes a voltajes.

Los parámetros de admitancia o parámetros Y (los elementos de una matriz de admitancia o matriz Y ) son propiedades utilizadas en muchas áreas de la ingeniería eléctrica , como la potencia , la electrónica y las telecomunicaciones . Estos parámetros se utilizan para describir el comportamiento eléctrico de redes eléctricas lineales . También se utilizan para describir la respuesta de señal pequeña ( linealizada ) de redes no lineales. Los parámetros Y también se conocen como parámetros de admitancia en cortocircuito. Son miembros de una familia de parámetros similares utilizados en ingeniería electrónica, siendo otros ejemplos: parámetros S , ^[1] parámetros Z , ^[2] parámetros H , parámetros T o parámetros ABCD . ^{[3] [4]}

La matriz de parámetros Y

Una matriz de parámetros Y describe el comportamiento de cualquier red eléctrica lineal que pueda considerarse como una caja negra con varios puertos . Un puerto en este contexto es un par de terminales eléctricos que transportan corrientes iguales y opuestas dentro y fuera de la red, y que tienen un voltaje particular entre ellos. La matriz Y no proporciona información sobre el comportamiento de la red cuando las corrientes en algún puerto no están equilibradas de esta forma (si esto fuera posible), ni proporciona información sobre el voltaje entre terminales que no pertenecen al mismo puerto. Normalmente se pretende que cada conexión externa a la red sea entre los terminales de un solo puerto, para que estas limitaciones sean las adecuadas.

Para una definición genérica de red multipuerto, se supone que a cada uno de los puertos se le asigna un número entero n que va de 1 a N , donde N es el número total de puertos. Para el puerto n , _la definición del parámetro Y asociado está en términos de voltaje y corriente del puerto, V _n e In respectivamente.

Para todos los puertos, las corrientes se pueden definir en términos de la matriz de parámetros Y y los voltajes mediante la siguiente ecuación matricial:

${\displaystyle I=YV\,}$

donde Y es una matriz N × N cuyos elementos pueden indexarse ​​utilizando notación matricial convencional . En general, los elementos de la matriz de parámetros Y son números complejos y funciones de frecuencia. Para una red de un solo puerto, la matriz Y se reduce a un solo elemento, midiendo la admitancia ordinaria entre los dos terminales.

Redes de dos puertos

Circuito equivalente para una matriz de admitancia arbitraria de dos puertos. El circuito utiliza fuentes Norton con fuentes de corriente controladas por voltaje.

Circuito equivalente en Y para una red recíproca de dos puertos.

La matriz de parámetros Y para la red de dos puertos es probablemente la más común. En este caso, la relación entre los voltajes del puerto, las corrientes del puerto y la matriz de parámetros Y viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}}$.

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\\[8pt]Y_{21}&={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\end{aligned}}}$

Para el caso general de una red de n puertos,

${\displaystyle Y_{nm}={I_{n} \over V_{m}}{\bigg |}_{V_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}$

Relaciones de admisión

La admitancia de entrada de una red de dos puertos viene dada por:

${\displaystyle Y_{in}=Y_{11}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{22}+Y_{L}}}}$

donde Y _L es la admitancia de la carga conectada al puerto dos.

De manera similar, la admitancia de salida viene dada por:

${\displaystyle Y_{out}=Y_{22}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{11}+Y_{S}}}}$

donde Y _S es la admitancia de la fuente conectada al puerto uno.

Relación con los parámetros S

Los parámetros Y de una red están relacionados con sus parámetros S por ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}Y&={\sqrt {y}}(I_{N}-S)(I_{N}+S)^{-1}{\sqrt {y}}\\&={\sqrt {y}}(I_{N}+S)^{-1}(I_{N}-S){\sqrt {y}}\\\end{aligned}}}$

y ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}\\&=(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})\\\end{aligned}}}$

donde I _N es la matriz identidad , es una matriz diagonal que tiene la raíz cuadrada de la admitancia característica (el recíproco de la impedancia característica ) en cada puerto como sus elementos distintos de cero, ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$

${\displaystyle {\sqrt {y}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {y_{01}}}&\\&{\sqrt {y_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {y_{0N}}}\end{pmatrix}}}$

y es la matriz diagonal correspondiente de raíces cuadradas de impedancias características . En estas expresiones, las matrices representadas por los factores entre corchetes se conmutan y, por lo tanto, como se muestra arriba, pueden escribirse en cualquier orden. ^{[5] [nota 1]} ${\displaystyle {\sqrt {z}}=({\sqrt {y}})^{-1}}$

Dos puertos

En el caso especial de una red de dos puertos, con la misma admitancia característica real en cada puerto, las expresiones anteriores se reducen a ^[6] ${\displaystyle y_{01}=y_{02}=Y_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\Y_{12}&={-2S_{12} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{21}&={-2S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{22}&={(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \Delta _{S}=(1+S_{11})(1+S_{22})-S_{12}S_{21}.}$

Las expresiones anteriores generalmente utilizarán números complejos para y . Tenga en cuenta que el valor de puede llegar a ser 0 para valores específicos de, por lo que la división entre en los cálculos de puede llevar a una división entre 0. ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle Y_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle Y_{ij}}$

Los parámetros S de dos puertos también se pueden obtener a partir de los parámetros Y de dos puertos equivalentes mediante las siguientes expresiones. ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{11}&={(1-Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\\S_{12}&={-2Z_{0}Y_{12} \over \Delta }\\[4pt]S_{21}&={-2Z_{0}Y_{21} \over \Delta }\\[4pt]S_{22}&={(1+Z_{0}Y_{11})(1-Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \Delta =(1+Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})-Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21}\,}$

y es la impedancia característica en cada puerto (se supone la misma para los dos puertos). ${\displaystyle Z_{0}}$

Relación con los parámetros Z

La conversión de parámetros Z a parámetros Y es mucho más sencilla, ya que la matriz de parámetros Y es justo la inversa de la matriz de parámetros Z. Las siguientes expresiones muestran las relaciones aplicables:

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={Z_{22} \over |Z|}\\[4pt]Y_{12}&={-Z_{12} \over |Z|}\\[4pt]Y_{21}&={-Z_{21} \over |Z|}\\[4pt]Y_{22}&={Z_{11} \over |Z|}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle |Z|=Z_{11}Z_{22}-Z_{12}Z_{21}\,}$

En este caso es el determinante de la matriz de parámetros Z. ${\displaystyle |Z|}$

Viceversa, los parámetros Y se pueden usar para determinar los parámetros Z, esencialmente usando las mismas expresiones ya que

${\displaystyle Y=Z^{-1}\,}$

y

${\displaystyle Z=Y^{-1}.}$

Ver también

• Matriz de admitancia nodal
• Parámetros de dispersión
• Parámetros de impedancia
• Red de dos puertos
• Modelo híbrido-pi
• ganancia de potencia

Notas

1. Cualquier matriz cuadrada conmuta consigo misma y con la matriz identidad, y si dos matrices A y B conmutan, también lo hacen A y B ⁻¹ (ya que AB ⁻¹  =  B ⁻¹ BAB ⁻¹  =  B ⁻¹ ABB ⁻¹  =  segundo ⁻¹ A )

Referencias

1. Pozar, David M. (2005); Ingeniería de microondas, tercera edición (Ed. Internacional); John Wiley e hijos; págs. 170-174. ISBN  0-471-44878-8 .
2. Pozar, David M. (2005) (op. cit); págs. 170-174.
3. Pozar, David M. (2005) (op. cit); págs. 183-186.
4. Morton, AH (1985); Ingeniería Eléctrica Avanzada ; Pitman Publishing Ltd.; págs. 33-72. ISBN 0-273-40172-6 
5. Russer, Peter (2003). Electromagnética, diseño de circuitos de microondas y antenas para ingeniería de comunicaciones . Casa Artech. ISBN 978-1-58053-532-8.
6. Frickey, DA (febrero de 1994). "Conversiones entre los parámetros S, Z, Y, H, ABCD y T que son válidas para impedancias de carga y fuente complejas". Transacciones IEEE sobre teoría y técnicas de microondas . 42 (2): 205–211. Código Bib : 1994ITMTT..42..205F. doi : 10.1109/22.275248. ISSN  0018-9480.
7. Simon Ramo, John R. Whinnery, Theodore Van Duzer, "Campos y ondas en la electrónica de la comunicación", tercera edición, John Wiley & Sons Inc.; 1993, págs. 537-541, ISBN 0-471-58551-3 .