Matrices de conmutación

Concepto matemático en álgebra.

En álgebra lineal , se dice que dos matrices y conmutan si , o equivalentemente, si su conmutador es cero. Se dice que un conjunto de matrices conmutan si lo hacen por pares, lo que significa que cada par de matrices del conjunto conmutan entre sí. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

Caracterizaciones y propiedades

• Las matrices de conmutación preservan los espacios propios de cada una . ^[1] Como consecuencia, las matrices conmutadoras sobre un campo algebraicamente cerrado son simultáneamente triangularizables ; es decir, hay bases sobre las cuales ambas son triangulares superiores . En otras palabras, si se conmuta, existe una matriz de similitud tal que es triangular superior para todos . Lo contrario no es necesariamente cierto, como muestra el siguiente contraejemplo: ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-1}A_{i}P}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&5\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}.}$

Sin embargo, si el cuadrado del conmutador de dos matrices es cero, es decir, entonces ocurre lo contrario. ^[2] ${\displaystyle [A,B]^{2}=0}$

• Dos matrices diagonalizables y conmutan ( ) si son simultáneamente diagonalizables (es decir, existe una matriz invertible tal que ambas y son diagonales ). ^{[3] : pág. 64} Lo contrario también es cierto; es decir, si dos matrices diagonalizables conmutan, son simultáneamente diagonalizables. ^[4] Pero si se toman dos matrices cualesquiera que conmutan (y no se supone que son dos matrices diagonalizables), ya son diagonalizables simultáneamente si una de las matrices no tiene valores propios múltiples. ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-1}AP}$ ${\displaystyle P^{-1}BP}$
• Si y conmutan, tienen un vector propio común. Si tiene valores propios distintos y conmuta , entonces los vectores propios de son vectores propios. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Si una de las matrices tiene la propiedad de que su polinomio mínimo coincide con su polinomio característico (es decir, tiene el grado máximo), lo que ocurre en particular cuando el polinomio característico tiene sólo raíces simples , entonces la otra matriz se puede escribir como polinomio en el primero.
• Como consecuencia directa de la triangulizabilidad simultánea, los valores propios de dos matrices complejas conmutantes A , B con sus multiplicidades algebraicas (los multiconjuntos de raíces de sus polinomios característicos) se pueden hacer coincidir de tal manera que el multiconjunto de valores propios de cualquier polinomio en las dos matrices es el conjunto múltiple de los valores . Este teorema se debe a Frobenius . ^[6] ${\displaystyle \alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}}$ ${\displaystyle P(A,B)}$ ${\displaystyle P(\alpha _{i},\beta _{i})}$
• Dos matrices hermitianas conmutan si sus espacios propios coinciden. En particular, dos matrices hermitianas sin múltiples valores propios conmutan si comparten el mismo conjunto de vectores propios. Esto se sigue considerando las descomposiciones de valores propios de ambas matrices. Sean y dos matrices hermitianas. y tienen espacios propios comunes cuando se pueden escribir como y . Luego se deduce que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=U\Lambda _{1}U^{\dagger }}$ ${\displaystyle B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }}$

  ${\displaystyle AB=U\Lambda _{1}U^{\dagger }U\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{1}\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}\Lambda _{1}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}U^{\dagger }U\Lambda _{1}U^{\dagger }=BA.}$

• La propiedad de dos matrices conmutadas no es transitiva : una matriz puede conmutar con y , y aún así , y no conmutan entre sí. Como ejemplo, la matriz identidad conmuta con todas las matrices, pero no todas conmutan entre ellas. Si el conjunto de matrices considerado se restringe a matrices hermitianas sin múltiples valores propios, entonces la conmutatividad es transitiva, como consecuencia de la caracterización en términos de vectores propios. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$
• El teorema de Lie , que muestra que cualquier representación de un álgebra de Lie resoluble es simultáneamente triangularizable superior, puede verse como una generalización.
• Una matriz n  ×  n conmuta con cualquier otra matriz n  ×  n si y solo si es una matriz escalar, es decir, una matriz de la forma , donde es la matriz identidad n  ×  n y es un escalar. En otras palabras, el centro del grupo de matrices n  ×  n bajo multiplicación es el subgrupo de matrices escalares. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$
• Fije un campo finito , denotemos el número de pares ordenados de matrices conmutantes , W. Feit y NJ Fine ^[7] mostraron la ecuación ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$
  $${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {P(n)}{(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{n-1})}}z^{n}=\prod _{i=1}^{\infty }\prod _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{1-j}z^{i}}}.}$$

Ejemplos

• La matriz identidad conmuta con todas las matrices.
• Los bloques Jordan conmutan con matrices triangulares superiores que tienen el mismo valor a lo largo de las bandas.
• Si el producto de dos matrices simétricas es simétrico, entonces deben conmutar. Eso también significa que cada matriz diagonal conmuta con todas las demás matrices diagonales. ^{[8] [9]}
• Las matrices circulantes conmutan. Forman un anillo conmutativo ya que la suma de dos matrices circulantes es circulante.

Historia

Cayley introdujo la noción de matrices conmutantes en sus memorias sobre la teoría de matrices, que también proporcionó la primera axiomatización de las matrices. Los primeros resultados significativos sobre matrices de conmutación fueron demostrados por Frobenius en 1878. ^[10]

Referencias

1. Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 70.ISBN​ 9780521839402.
2. Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 127.ISBN​ 9780521839402.
3. Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial, segunda edición . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521839402.
4. Sin pérdida de generalidad , se puede suponer que la primera matriz es diagonal. En este caso, la conmutatividad implica que si una entrada de la segunda matriz es distinta de cero, entonces, después de una permutación de filas y columnas, las dos matrices se convierten simultáneamente en diagonales de bloque . En cada bloque, la primera matriz es el producto de una matriz identidad y la segunda es una matriz diagonalizable. Entonces, diagonalizar los bloques de la segunda matriz cambia la primera matriz y permite una diagonalización simultánea. ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ ${\displaystyle b_{i,j}}$ ${\displaystyle a_{i,i}=a_{j,j}.}$
5. "Conjunto de tareas de prueba 10 MATH 217 - INVIERNO DE 2011" (PDF) . Consultado el 10 de julio de 2022 .
6. Frobenius, G. (1877). "Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 84 : 1–63.
7. Feit, Walter; Bien, Nueva Jersey (1 de marzo de 1960). "Pares de matrices conmutadoras sobre un campo finito". Revista de Matemáticas de Duke . 27 (1). doi :10.1215/s0012-7094-60-02709-5. ISSN  0012-7094.
8. "¿Las matrices diagonales siempre conmutan?". Intercambio de pila. 15 de marzo de 2016 . Consultado el 4 de agosto de 2018 .
9. "Notas web de álgebra lineal, parte 2". math.vanderbilt.edu . Consultado el 10 de julio de 2022 .
10. Drazin, M. (1951), "Algunas generalizaciones de la conmutatividad matricial", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 3, 1 (1): 222–231, doi :10.1112/plms/s3-1.1.222