Falacia matemática

Cierto tipo de prueba errónea

En matemáticas , ciertos tipos de pruebas erróneas se exhiben a menudo, y a veces se recopilan, como ilustraciones de un concepto llamado falacia matemática . Existe una distinción entre un simple error y una falacia matemática en una prueba, en el sentido de que un error en una prueba conduce a una prueba inválida, mientras que en los ejemplos más conocidos de falacias matemáticas hay algún elemento de ocultación o engaño en la presentación de la prueba.

Por ejemplo, la razón por la que la validez falla puede atribuirse a una división por cero que está oculta por la notación algebraica. Existe una cierta cualidad de la falacia matemática: tal como se presenta típicamente, no sólo conduce a un resultado absurdo, sino que lo hace de una manera astuta o inteligente. ^[1] Por lo tanto, estas falacias, por razones pedagógicas, suelen adoptar la forma de pruebas espurias de contradicciones obvias . Aunque las pruebas son defectuosas, los errores, por lo general por diseño, son comparativamente sutiles o están diseñados para mostrar que ciertos pasos son condicionales y no son aplicables en los casos que son excepciones a las reglas.

La forma tradicional de presentar una falacia matemática es dar un paso de deducción inválido mezclado con pasos válidos, de modo que el significado de falacia aquí es ligeramente diferente de la falacia lógica . Esta última generalmente se aplica a una forma de argumento que no cumple con las reglas de inferencia válidas de la lógica, mientras que el paso matemático problemático es típicamente una regla correcta aplicada con una suposición tácitamente incorrecta. Más allá de la pedagogía, la resolución de una falacia puede conducir a conocimientos más profundos sobre un tema (por ejemplo, la introducción del axioma de Pasch de la geometría euclidiana ^[2] , el teorema de los cinco colores de la teoría de grafos ). Pseudaria , un antiguo libro perdido de pruebas falsas, se atribuye a Euclides ^[3] .

Existen falacias matemáticas en muchas ramas de las matemáticas. En álgebra elemental , los ejemplos típicos pueden incluir un paso en el que se realiza una división por cero , en el que se extrae incorrectamente una raíz o, de manera más general, en el que se igualan diferentes valores de una función de valores múltiples . También existen falacias bien conocidas en la geometría euclidiana elemental y el cálculo . ^{[4] [5]}

Aulladores

${\displaystyle {\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}}$

Cancelación anómala en el cálculo

Existen ejemplos de resultados matemáticamente correctos derivados de líneas de razonamiento incorrectas. Este tipo de argumento, por muy verdadera que parezca la conclusión, es matemáticamente inválido y se lo conoce comúnmente como un error . El siguiente es un ejemplo de un error que implica una cancelación anómala : $${\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}}.}$$

Aquí, aunque la conclusión ⁠16/64⁠ = ⁠1/4⁠ es correcto, hay una cancelación falaz e inválida en el paso intermedio. ^{[nota 1]} Otro ejemplo clásico de un error garrafal es probar el teorema de Cayley-Hamilton simplemente sustituyendo las variables escalares del polinomio característico por la matriz.

Edwin Maxwell denominó "errores" a las pruebas, cálculos o derivaciones falsas construidas para producir un resultado correcto a pesar de una lógica o unas operaciones incorrectas . ^[2] Fuera del ámbito de las matemáticas, el término error tiene varios significados, generalmente menos específicos.

División por cero

La falacia de la división por cero tiene muchas variantes. El siguiente ejemplo utiliza una división por cero disfrazada para "probar" que 2 = 1, pero se puede modificar para probar que cualquier número es igual a cualquier otro número.

1. Sean a y b cantidades iguales y distintas de cero.

   ${\displaystyle a=b}$

2. Multiplicar por a

   ${\displaystyle a^{2}=ab}$

3. Restar b ²

   ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}}$

4. Factoriza ambos lados: el izquierdo se factoriza como una diferencia de cuadrados , el derecho se factoriza extrayendo b de ambos términos

   ${\displaystyle (a-b)(a+b)=b(a-b)}$

5. Dividir ( a − b )

   ${\displaystyle a+b=b}$

6. Utilice el hecho de que a = b

   ${\displaystyle b+b=b}$

7. Combine los términos iguales a la izquierda

   ${\displaystyle 2b=b}$

8. Dividir por el número b distinto de cero

   ${\displaystyle 2=1}$

QED ^[6]

La falacia está en la línea 5: la progresión de la línea 4 a la línea 5 implica una división por a  −  b , que es cero ya que a  =  b . Como la división por cero no está definida, el argumento no es válido.

Análisis

El análisis matemático como estudio matemático del cambio y los límites puede conducir a falacias matemáticas si se ignoran las propiedades de las integrales y diferenciales . Por ejemplo, un uso ingenuo de la integración por partes puede utilizarse para dar una prueba falsa de que 0 = 1. ^[7] Si u  =  ⁠1/registro x⁠ y dv  =  ⁠Dx/incógnita⁠ , podemos escribir:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx}$

después de lo cual las antiderivadas pueden cancelarse obteniendo 0 = 1. El problema es que las antiderivadas solo se definen hasta una constante y se permite desplazarlas en 1 o cualquier número. El error realmente sale a la luz cuando introducimos límites de integración arbitrarios a y b .

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=0+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx}$

Como la diferencia entre dos valores de una función constante se desvanece, la misma integral definida aparece en ambos lados de la ecuación.

Funciones multivalor

Muchas funciones no tienen una única inversa . Por ejemplo, si bien elevar un número al cuadrado da un valor único, hay dos posibles raíces cuadradas de un número positivo. La raíz cuadrada es multivaluada . Se puede elegir un valor por convención como el valor principal ; en el caso de la raíz cuadrada, el valor no negativo es el valor principal, pero no hay garantía de que la raíz cuadrada dada como el valor principal del cuadrado de un número sea igual al número original (por ejemplo, la raíz cuadrada principal del cuadrado de −2 es 2). Esto sigue siendo cierto para las raíces n-ésimas .

Raíces positivas y negativas

Se debe tener cuidado al sacar la raíz cuadrada de ambos lados de una igualdad . Si no se hace esto, se obtiene una "prueba" de ^[8] 5 = 4.

Prueba:

Empezar desde

${\displaystyle -20=-20}$

Escribe esto como

${\displaystyle 25-45=16-36}$

Reescribir como

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}$

Agregar​81/4⁠ en ambos lados:

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}$

Estos son cuadrados perfectos:

${\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}}$

Tome la raíz cuadrada de ambos lados:

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}}$

Agregar​9/2⁠ en ambos lados:

${\displaystyle 5=4}$

QED

La falacia está en la penúltima línea, donde se toma la raíz cuadrada de ambos lados: a ²  =  b ² solo implica a  =  b si a y b tienen el mismo signo, lo que no es el caso aquí. En este caso, implica que a  = – b , por lo que la ecuación debería leerse

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=-\left(4-{\frac {9}{2}}\right)}$

que , añadiendo9/2⁠ en ambos lados, se reduce correctamente a 5 = 5.

Otro ejemplo que ilustra el peligro de tomar la raíz cuadrada de ambos lados de una ecuación involucra la siguiente identidad fundamental ^[9]

${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}$

lo cual se cumple como consecuencia del teorema de Pitágoras . Entonces, sacando una raíz cuadrada,

${\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$

Evaluando esto cuando x  =  π , obtenemos que

${\displaystyle -1={\sqrt {1-0}}}$

o

${\displaystyle -1=1}$

lo cual es incorrecto.

El error en cada uno de estos ejemplos radica fundamentalmente en el hecho de que cualquier ecuación de la forma

${\displaystyle x^{2}=a^{2}}$

donde , tiene dos soluciones: ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle x=\pm a}$

y es esencial comprobar cuál de estas soluciones es relevante para el problema en cuestión. ^[10] En la falacia anterior, la raíz cuadrada que permitió deducir la segunda ecuación de la primera es válida solo cuando cos  x es positivo. En particular, cuando x se establece en π , la segunda ecuación se vuelve inválida.

Raíces cuadradas de números negativos

Las pruebas no válidas que utilizan potencias y raíces suelen ser del siguiente tipo:

${\displaystyle 1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1.}$

La falacia es que la regla generalmente es válida solo si al menos uno de y es no negativo (cuando se trata de números reales), lo que no es el caso aquí. ^[11] ${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Alternativamente, las raíces imaginarias se ocultan en lo siguiente:

${\displaystyle i={\sqrt {-1}}=\left(-1\right)^{\frac {2}{4}}=\left(\left(-1\right)^{2}\right)^{\frac {1}{4}}=1^{\frac {1}{4}}=1}$

El error aquí radica en el uso incorrecto de funciones de múltiples valores. tiene dos valores y sin una elección previa de rama, mientras que solo denota el valor principal . ^[12] De manera similar, tiene cuatro valores diferentes , , , y , de los cuales solo es igual al lado izquierdo de la primera igualdad. ${\displaystyle (-1)^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1^{\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle i}$

Exponentes complejos

Cuando un número se eleva a una potencia compleja, el resultado no está definido de forma única (véase Exponenciación § Falla de identidades de potencias y logaritmos ). Si no se reconoce esta propiedad, pueden producirse errores como los siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{2\pi i}&=1\\\left(e^{2\pi i}\right)^{i}&=1^{i}\\e^{-2\pi }&=1\\\end{aligned}}}$

El error aquí es que la regla de multiplicar exponentes como cuando se pasa a la tercera línea no se aplica sin modificaciones con exponentes complejos, incluso si al poner ambos lados a la potencia i solo se elige el valor principal. Cuando se tratan como funciones multivaluadas , ambos lados producen el mismo conjunto de valores, siendo ${\displaystyle \{e^{2\pi n}|n\in \mathbb {Z} \}.}$

Geometría

Muchas falacias matemáticas en geometría surgen de la utilización de una igualdad aditiva que implica cantidades orientadas (como la suma de vectores a lo largo de una línea dada o la suma de ángulos orientados en el plano) para una identidad válida, pero que fija sólo el valor absoluto de (una de) estas cantidades. Esta cantidad se incorpora entonces a la ecuación con la orientación incorrecta, de modo que se produce una conclusión absurda. Esta orientación incorrecta suele sugerirse de manera implícita al proporcionar un diagrama impreciso de la situación, donde las posiciones relativas de puntos o líneas se eligen de una manera que es realmente imposible según las hipótesis del argumento, pero que no es obvia.

En general, es fácil exponer una falacia de este tipo dibujando una imagen precisa de la situación, en la que algunas posiciones relativas serán diferentes de las que aparecen en el diagrama proporcionado. Para evitar este tipo de falacias, un argumento geométrico correcto que utilice la suma o resta de distancias o ángulos siempre debería demostrar que las cantidades se incorporan con su orientación correcta.

Falacia del triángulo isósceles

La falacia del triángulo isósceles, de (Maxwell 1959, Capítulo II, § 1), pretende demostrar que todo triángulo es isósceles , lo que significa que dos lados del triángulo son congruentes . Esta falacia era conocida por Lewis Carroll y es posible que la descubriera él mismo. Fue publicada en 1899. ^{[13] [14]}

Dado un triángulo △ABC, demuestre que AB = AC:

1. Dibuje una línea que bisectriz ∠A.
2. Dibuje la bisectriz perpendicular del segmento BC, que biseca a BC en un punto D.
3. Sea que estas dos rectas se encuentran en un punto O.
4. Dibuje la línea OR perpendicular a AB, la línea OQ perpendicular a AC.
5. Dibuje las líneas OB y ​​OC.
6. Por AAS , △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (lado común)).
7. Por RHS , ^{[nota 2]} △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (hipotenusa); RO = OQ (cateto)).
8. Por lo tanto, AR = AQ, RB = QC y AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

QED

Como corolario, se puede demostrar que todos los triángulos son equiláteros, demostrando que AB = BC y AC = BC de la misma manera.

El error de la prueba es la suposición en el diagrama de que el punto O está dentro del triángulo. De hecho, O siempre se encuentra en la circunferencia circunscrita al △ABC (excepto en los triángulos isósceles y equiláteros donde AO y OD coinciden). Además, se puede demostrar que, si AB es más largo que AC, entonces R estará dentro de AB, mientras que Q estará fuera de AC, y viceversa (de hecho, cualquier diagrama dibujado con instrumentos suficientemente precisos verificará los dos hechos anteriores). Debido a esto, AB sigue siendo AR + RB, pero AC es en realidad AQ − QC; y por lo tanto, las longitudes no son necesariamente las mismas.

Prueba por inducción

Existen varias pruebas falaces por inducción en las que uno de los componentes, caso base o paso inductivo, es incorrecto. Intuitivamente, las pruebas por inducción funcionan argumentando que si una afirmación es verdadera en un caso, lo es en el caso siguiente y, por lo tanto, al aplicar esto repetidamente, se puede demostrar que es verdadera para todos los casos. La siguiente "prueba" muestra que todos los caballos son del mismo color . ^{[15] [nota 3]}

1. Digamos que cualquier grupo de N caballos son todos del mismo color.
2. Si eliminamos un caballo del grupo, tenemos un grupo de N  − 1 caballos del mismo color. Si añadimos otro caballo, tenemos otro grupo de N caballos. Según nuestra suposición anterior, todos los caballos son del mismo color en este nuevo grupo, ya que es un grupo de N caballos.
3. De esta manera, hemos construido dos grupos de N caballos, todos del mismo color, con N  − 1 caballos en común. Como estos dos grupos tienen algunos caballos en común, los dos grupos deben ser del mismo color entre sí.
4. Por lo tanto, combinando todos los caballos utilizados, tenemos un grupo de N  + 1 caballos del mismo color.
5. Por lo tanto, si N caballos son todos del mismo color, N  + 1 caballos son del mismo color.
6. Esto es claramente cierto para N  = 1 (es decir, un caballo es un grupo donde todos los caballos son del mismo color). Por lo tanto, por inducción, N caballos son del mismo color para cualquier entero positivo N , y por lo tanto todos los caballos son del mismo color.

La falacia de esta demostración surge en la línea 3. Para N  = 1, los dos grupos de caballos tienen N  − 1 = 0 caballos en común y, por lo tanto, no son necesariamente del mismo color entre sí, por lo que el grupo de N  + 1 = 2 caballos no es necesariamente del mismo color. La implicación "cada N caballos son del mismo color, entonces N  + 1 caballos son del mismo color" funciona para cualquier N  > 1, pero no es cierta cuando N  = 1. El caso base es correcto, pero el paso de inducción tiene un defecto fundamental.

Véase también

• Cancelación anómala  – Tipo de error aritmético
• División por cero  – Clase de expresión matemática
• Lista de pruebas incompletas
• Coincidencia matemática  – Coincidencia en matemáticas
• Paradoja  – Afirmación que aparentemente se contradice a sí misma
• Prueba por intimidación  : marcar un argumento como obvio o trivial

Notas

1. La misma falacia también se aplica a lo siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {19}{95}}={\frac {19\!\!\!/}{9\!\!\!/5}}&={\frac {1}{5}}\\{\frac {26}{65}}={\frac {26\!\!\!/}{6\!\!\!/5}}&={\frac {2}{5}}\\{\frac {49}{98}}={\frac {49\!\!\!/}{9\!\!\!/8}}&={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$$
2. Congruencia hipotenusa-cateto
3. La "prueba" original de George Pólya fue que n chicas tienen el mismo color de ojos.

Referencias

1. Maxwell 1959, pág. 9
2. Maxwell 1959
3. Heath y Heiberg 1908, Capítulo II, §I
4. Barbeau, Ed (1991). "Falacias, defectos y engaños" (PDF) . The College Mathematics Journal . 22 (5). ISSN  0746-8342.
5. "pregunta fácil: ¿Las mejores pruebas falsas? (Una colección del Día de los Inocentes de M.SE)". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 24 de octubre de 2019 .
6. Heuser, Harro (1989). Lehrbuch der Analysis – Teil 1 (6ª ed.). Teubner. pag. 51.ISBN​ 978-3-8351-0131-9.
7. Barbeau, Ed (1990). "Falacias, defectos y engaños n.° 19: el teorema de Dolt". The College Mathematics Journal . 21 (3): 216–218. doi :10.1080/07468342.1990.11973308.
8. Frohlichstein, Jack (1967). Diversión, juegos y acertijos matemáticos (edición ilustrada). Courier Corporation. pág. 207. ISBN 0-486-20789-7.Extracto de la página 207
9. Maxwell 1959, Capítulo VI, §I.1
10. Maxwell 1959, Capítulo VI, §II
11. Nahin, Paul J. (2010). Un cuento imaginario: la historia de "i". Princeton University Press. pág. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9.Extracto de la página 12
12. Saff, EB; Snider, Arthur David (18 de julio de 2013). Fundamentos de análisis complejo Ingeniería, ciencia y matemáticas . Harlow, Essex, Inglaterra: Pearson. ISBN 978-1-292-02375-5.
13. Carroll, Lewis (1899). Collingwood, Stuard Dogson (ed.). El libro ilustrado de Lewis Carroll. TF Unwin. págs. 190–191.
14. Wilson, Robin J. (2008). Lewis Carroll en el país de los números: su fantástica vida lógica matemática: una agonía en ocho ataques (1.ª edición estadounidense). Nueva York: WW Norton. pp. 169-170. ISBN 978-0-393-06027-0.OCLC 227016411  .
15. Pólya, George (1954). Inducción y analogía en matemáticas . Matemáticas y razonamiento plausible. Vol. 1. Princeton. pág. 120.

• Barbeau, Edward J. (2000). Falacias, defectos y engaños matemáticos. MAA Spectrum. Asociación Matemática de Estados Unidos . ISBN 978-0-88385-529-4.Señor 1725831  .
• Bunch, Bryan (1997). Falacias y paradojas matemáticas. Nueva York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-29664-7.Señor 1461270  .
• Heath, Sir Thomas Little; Heiberg, Johan Ludvig (1908). Los trece libros de los Elementos de Euclides, Volumen 1 (PDF) . The University Press.
• Maxwell, EA (1959). Falacias en matemáticas. Cambridge University Press . ISBN 0-521-05700-0.Señor 0099907  .

Enlaces externos

• Pruebas no válidas en Cut-the-knot (incluidas referencias bibliográficas)
• Falacias clásicas con algo de discusión
• Más pruebas inválidas de AhaJokes.com
• Chistes matemáticos que incluyen una prueba no válida