Todos los caballos son del mismo color es una paradoja falsa que surge de un uso defectuoso de la inducción matemática para demostrar la afirmación Todos los caballos son del mismo color . [1] No hay ninguna contradicción real, ya que estos argumentos tienen un defecto crucial que los hace incorrectos. Este ejemplo fue planteado originalmente por George Pólya en un libro de 1954 en términos diferentes: "¿Son iguales n números?" o " N niñas tienen los ojos del mismo color", como un ejercicio de inducción matemática. [2] También se ha reformulado como "Todas las vacas tienen el mismo color". [3]
La versión de la paradoja de los "caballos" fue presentada en 1961 en un artículo satírico de Joel E. Cohen . Fue formulada como un lema que, en particular, permitía al autor "probar" que Alejandro Magno no existió y que tenía un número infinito de miembros. [4]
El argumento es una prueba por inducción . Primero, establecemos un caso base para un caballo ( ). Luego demostramos que si los caballos tienen el mismo color, entonces los caballos también deben tener el mismo color.
El caso de un solo caballo es trivial. Si en el "grupo" hay un solo caballo, entonces está claro que todos los caballos de ese grupo tienen el mismo color.
Supongamos que los caballos siempre son del mismo color. Consideremos un grupo formado por caballos.
En primer lugar, se excluye un caballo y se observan sólo los demás caballos; todos ellos son del mismo color, ya que los caballos siempre son del mismo color. Asimismo, se excluye algún otro caballo (que no sea idéntico al primero que se eliminó) y se observan sólo los demás caballos. Por el mismo razonamiento, estos también deben ser del mismo color. Por lo tanto, el primer caballo que se excluyó es del mismo color que los caballos no excluidos, quienes a su vez son del mismo color que el otro caballo excluido. Por lo tanto, el primer caballo excluido, los caballos no excluidos y el último caballo excluido son todos del mismo color, y hemos demostrado que:
Ya vimos en el caso base que la regla ("todos los caballos tienen el mismo color") era válida para . El paso inductivo demostrado aquí implica que, dado que la regla es válida para , también debe ser válida para , lo que a su vez implica que la regla es válida para y así sucesivamente.
Por lo tanto, en cualquier grupo de caballos, todos los caballos deben ser del mismo color. [2] [5]
El argumento anterior supone implícitamente que el conjunto de caballos tiene un tamaño de al menos 3, [3] de modo que los dos subconjuntos propios de caballos a los que se aplica el supuesto de inducción necesariamente compartirían un elemento común. Esto no es cierto en el primer paso de la inducción, es decir, cuando .
Sean los dos caballos el caballo A y el caballo B. Cuando se elimina el caballo A, es cierto que los caballos restantes en el conjunto son del mismo color (solo queda el caballo B). Lo mismo es cierto cuando se elimina el caballo B. Sin embargo, la afirmación "el primer caballo que fue excluido es del mismo color que los caballos no excluidos, quienes a su vez son del mismo color que el otro caballo excluido" no tiene sentido, porque no hay "caballos no excluidos" (elementos comunes (caballos) en los dos conjuntos, ya que cada caballo es excluido una vez). Por lo tanto, la prueba anterior tiene un vínculo lógico roto. La prueba forma una paradoja falsídica ; parece mostrar mediante un razonamiento válido algo que es manifiestamente falso, pero de hecho el razonamiento es defectuoso.
