Condición de Heaviside

Condición óptima para una línea de transmisión hipotética

Una línea de transmisión que cumple con la condición de Heaviside , llamada así por Oliver Heaviside (1850-1925), y ciertas otras condiciones puede transmitir señales sin dispersión y sin distorsión. La importancia de la condición de Heaviside es que mostró la posibilidad de transmisión sin dispersión de señales telegráficas. ^{[1] : 131} En algunos casos, el rendimiento de una línea de transmisión se puede mejorar agregando carga inductiva al cable.

La condición

Modelo de Heaviside de una línea de transmisión.

Una línea de transmisión se puede representar como un modelo de elementos distribuidos de sus constantes de línea primarias , como se muestra en la figura. Las constantes primarias son las propiedades eléctricas del cable por unidad de longitud y son: capacitancia C (en faradios por metro), inductancia L (en henrios por metro), resistencia en serie R (en ohmios por metro) y conductancia en derivación G (en siemens por metro).

La condición de Heaviside se satisface cuando: ${\displaystyle {\frac {G}{C}}={\frac {R}{L}}.}$

La resistencia en serie y la conductividad en derivación provocan pérdidas en la línea; para una línea de transmisión ideal, . Una línea ideal cumple trivialmente la condición de Heaviside. ${\displaystyle \scriptstyle R=G=0}$

Fondo

Una señal en una línea de transmisión puede distorsionarse incluso si las constantes de la línea y la función de transmisión resultante son perfectamente lineales. Existen dos mecanismos: en primer lugar, la atenuación de la línea puede variar con la frecuencia, lo que da como resultado un cambio en la forma de un pulso transmitido por la línea. En segundo lugar, y generalmente de manera más problemática, la distorsión es causada por una dependencia de la frecuencia con respecto a la velocidad de fase de los componentes de frecuencia de la señal transmitida. Si diferentes componentes de frecuencia de la señal se transmiten a diferentes velocidades, la señal se "difumina" en el espacio y el tiempo, una forma de distorsión llamada dispersión .

Una línea de transmisión no tiene dispersión si la velocidad de las señales es independiente de la frecuencia. Matemáticamente . ${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}v=0}$

Una línea de transmisión no tiene distorsión si no tiene dispersión y el coeficiente de atenuación es independiente de la frecuencia. Matemáticamente . ${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}\alpha =0}$

Este fue un problema importante en el primer cable telegráfico transatlántico y condujo a la teoría de las causas de la dispersión que fue investigada primero por Lord Kelvin y luego por Heaviside, quien descubrió en 1876 cómo podía contrarrestarse. La dispersión de los pulsos telegráficos , si es lo suficientemente grave, hará que se superpongan con pulsos adyacentes, causando lo que ahora se llama interferencia entre símbolos . Para evitar la interferencia entre símbolos, fue necesario reducir la velocidad de transmisión del cable telegráfico transatlántico al equivalente de 1 ⁄ 15 baudios . Esta es una velocidad de transmisión de datos excepcionalmente lenta, incluso para operadores humanos que tenían grandes dificultades para operar una clave morse tan lentamente.

En los circuitos de voz (teléfono), la distorsión de la respuesta de frecuencia suele ser más importante que la dispersión, mientras que las señales digitales son muy susceptibles a la distorsión por dispersión. Para cualquier tipo de transmisión de imágenes analógicas, como vídeo o fax, es necesario mitigar ambos tipos de distorsión.

No se puede derivar una condición de Heaviside análoga para la propagación sin dispersión en metamateriales de líneas de transmisión zurdas , ya que ninguna combinación de elementos reactivos y resistivos produciría una velocidad de grupo constante. ^[2]

Derivación

La función de transmisión de una línea de transmisión se define en términos de sus voltajes de entrada y salida cuando están correctamente terminados (es decir, sin reflexiones) como

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {out} }}{V_{\mathrm {in} }}}=e^{-\gamma x}}$

donde representa la distancia desde el transmisor en metros y ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta ={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}}$. ^{[3] : 385}

son las constantes de línea secundarias , siendo α la constante de atenuación en neperios por metro y β la constante de fase en radianes por metro. Para que no haya distorsión, se requiere que α sea independiente de la frecuencia angular ω , mientras que β debe ser proporcional a ω . Este requisito de proporcionalidad a la frecuencia se debe a la relación entre la velocidad, v , y la constante de fase , siendo β dada por,

${\displaystyle v={\frac {\omega }{\beta }}}$

y el requisito de que la velocidad de fase, v , sea constante en todas las frecuencias.

La relación entre las constantes de línea primaria y secundaria está dada por

${\displaystyle \gamma ^{2}=(\alpha +j\beta )^{2}=(R+j\omega L)(G+j\omega C)=\omega ^{2}LC(j+{\frac {R}{\omega L}})(j+{\frac {G}{\omega C}})}$

Si se cumple la condición de Heaviside, entonces la función raíz cuadrada se puede realizar explícitamente como:

${\displaystyle \gamma =\omega {\sqrt {LC}}({\frac {R}{\omega L}}+j)={\frac {R}{Z_{0}}}+j\omega {\sqrt {LC}}}$

dónde

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$.

Por eso

${\displaystyle \alpha ={\frac {R}{Z_{0}}}=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}=R{\sqrt {\frac {LG/R}{L}}}={\sqrt {RG}}}$.

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$.

${\displaystyle v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$.

La velocidad es independiente de la frecuencia si el producto es independiente de la frecuencia. La atenuación es independiente de la frecuencia si el producto es independiente de la frecuencia. ${\displaystyle LC}$ ${\displaystyle RG}$

Impedancia característica

La impedancia característica de una línea de transmisión con pérdidas viene dada por

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}}$

En general, no es posible hacer coincidir la impedancia de esta línea de transmisión en todas las frecuencias con cualquier red finita de elementos discretos porque dichas redes son funciones racionales de jω, pero en general la expresión para la impedancia característica es compleja debido al término de raíz cuadrada. ^[4] Sin embargo, para una línea que cumple la condición de Heaviside, hay un factor común en la fracción que cancela los términos dependientes de la frecuencia dejando,

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}},}$

que es un número real e independiente de la frecuencia si L/C es independiente de la frecuencia. Por lo tanto, la línea puede adaptarse en impedancia con solo una resistencia en cada extremo. Esta expresión para es la misma que para una línea sin pérdidas ( ) con los mismos L y C , aunque la atenuación (debida a R y G ) sigue estando presente, por supuesto. ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}={\sqrt {L/C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle R=0,\ G=0}$

Uso práctico

Un ejemplo de cable cargado

Una línea real tendrá una G muy baja y, por lo general, no se acercará a cumplir la condición de Heaviside. La situación normal es que

${\displaystyle {\frac {G}{C}}\ll {\frac {R}{L}}}$por varios órdenes de magnitud.

Para que una línea cumpla la condición de Heaviside, es necesario ajustar una de las cuatro constantes primarias y la pregunta es cuál de ellas. G se puede aumentar, pero esto es altamente indeseable ya que el aumento de G aumentará la pérdida. Disminuir R es enviar la pérdida en la dirección correcta, pero esto sigue sin ser una solución satisfactoria. R debe reducirse en un número grande y para ello las secciones transversales del conductor deben aumentarse drásticamente. Esto no solo hace que el cable sea mucho más voluminoso, sino que también aumenta significativamente la cantidad de cobre (u otro metal) que se utiliza y, por lo tanto, el costo y el peso. Disminuir la capacitancia es difícil porque requiere el uso de un dieléctrico diferente con una permitividad menor. El aislamiento de gutapercha utilizado en los primeros cables transatlánticos tiene una constante dieléctrica de aproximadamente 3, por lo tanto, C se puede reducir en un factor máximo o no más de 3. Esto deja el aumento de L, que es la solución habitual adoptada.

L se incrementa cargando el cable con un metal con alta permeabilidad magnética . También es posible cargar un cable de construcción convencional agregando bobinas de carga discretas a intervalos regulares. Esto no es idéntico a una carga distribuida, la diferencia es que con las bobinas de carga hay transmisión sin distorsión hasta una frecuencia de corte definida más allá de la cual la atenuación aumenta rápidamente.

La colocación de cables ya no es una práctica habitual. En su lugar, ahora se colocan repetidores digitales espaciados regularmente en largas filas para mantener la forma y la duración deseadas de los pulsos para la transmisión a larga distancia.

Parámetros de línea dependientes de la frecuencia

Relaciones de parámetros de líneas de transmisión típicas

Cuando los parámetros de la línea dependen de la frecuencia, hay consideraciones adicionales. ^{[1] : 132} Lograr la condición de Heaviside es más difícil cuando algunos o todos los parámetros de la línea dependen de la frecuencia. Normalmente, R (debido al efecto pelicular) y G (debido a la pérdida dieléctrica) son funciones fuertes de la frecuencia. Si se agrega material magnético para aumentar L, entonces L también se vuelve dependiente de la frecuencia.

El gráfico de la izquierda muestra las relaciones de las líneas de transmisión típicas fabricadas con materiales no magnéticos. La condición de Heaviside se cumple cuando la curva azul toca o cruza una curva roja. ${\displaystyle {\tfrac {R_{\omega }}{\omega L_{\omega }}}({\color {blue}{\text{blue}}}){\text{ and }}{\tfrac {G_{\omega }}{\omega C_{\omega }}}({\color {red}{\text{red}}})}$

La rodilla de la curva azul se produce en la frecuencia donde . ${\displaystyle R_{\omega }=\omega L_{\omega }}$

Hay tres curvas rojas que indican dieléctricos típicos de baja, media y alta calidad. El aislamiento de pulpa (usado para líneas telefónicas a principios del siglo XX), la gutapercha y los plásticos espumados modernos son ejemplos de dieléctricos de baja, media y alta calidad. El punto de inflexión de cada curva se produce en la frecuencia donde . El recíproco de esta frecuencia se conoce como el tiempo de relajación dieléctrica del dieléctrico. Por encima de esta frecuencia, el valor de G/(ωC) es el mismo que la tangente de pérdida del material dieléctrico. La curva se representa como plana en la figura, pero la tangente de pérdida muestra cierta dependencia de la frecuencia. El valor de G/(ωC) en todas las frecuencias está determinado completamente por las propiedades del dieléctrico y es independiente de la sección transversal de la línea de transmisión. ${\displaystyle G_{\omega }=\omega C_{\omega }}$

Véase también

• Ecuaciones de Maxwell
• Ecuaciones del telegrafista

Referencias

1. Miano, Giovanni; Maffucci, Antonio (2001), Líneas de transmisión y circuitos agrupados , Academic Press, ISBN 0-12-189710-9
2. Caloz, C. ; Itoh, T. (mayo de 2004). "Enfoque de línea de transmisión de materiales zurdos (LH) e implementación de microbanda de una línea de transmisión LH artificial". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 52 (5): 1159–1166. doi :10.1109/TAP.2004.827249.
3. Hayt, William H. (1989), Ingeniería electromagnética (5.ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070274061
4. Schröder, pág. 226

Bibliografía

• Nahin, Paul J, Oliver Heaviside: La vida, el trabajo y la época de un genio eléctrico de la era victoriana , JHU Press, 2002 ISBN 0801869099. Véanse especialmente las páginas 231-232. 
• Schroeder, Manfred Robert, Fractales, Caos, Leyes de Potencia , Courier Corporation, 2012 ISBN 0486134784 .