Constantes de línea primaria

Parámetros de las líneas de transmisión

Cable telefónico que contiene múltiples líneas de par trenzado

Las constantes de línea primarias son parámetros que describen las características de las líneas de transmisión conductoras , como pares de cables de cobre , en términos de las propiedades eléctricas físicas de la línea. Las constantes de línea primarias solo son relevantes para las líneas de transmisión y deben contrastarse con las constantes de línea secundarias , que pueden derivarse de ellas y son de aplicación más general. Las constantes de línea secundarias se pueden utilizar, por ejemplo, para comparar las características de una guía de ondas con una línea de cobre, mientras que las constantes primarias no tienen significado para una guía de ondas.

Las constantes son la resistencia y la inductancia del conductor, y la capacitancia y la conductancia del aislante, que por convención reciben los símbolos R , L , C y G respectivamente. Las constantes se enumeran en términos de longitud por unidad. La representación del circuito de estos elementos requiere un modelo de elementos distribuidos y, en consecuencia, se debe utilizar el cálculo para analizar el circuito. El análisis produce un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales lineales simultáneas de primer orden que se pueden combinar para derivar las constantes secundarias de impedancia característica y constante de propagación .

Una serie de casos especiales tienen soluciones particularmente simples y aplicaciones prácticas importantes. El cable de baja pérdida requiere que solo se incluyan L y C en el análisis, lo que resulta útil para longitudes de cable cortas. Las aplicaciones de baja frecuencia, como las líneas telefónicas de par trenzado , están dominadas solo por R y C. Las aplicaciones de alta frecuencia, como el cable coaxial de RF , están dominadas por L y C. Las líneas cargadas para evitar la distorsión necesitan los cuatro elementos en el análisis, pero tienen una solución simple y elegante.

Las constantes

Hay cuatro constantes de línea primarias, pero en algunas circunstancias algunas de ellas son lo suficientemente pequeñas como para ignorarlas y simplificar el análisis. Estas cuatro constantes, junto con sus símbolos y unidades, son las siguientes:

R y L son elementos en serie con la línea (porque son propiedades del conductor) y C y G son elementos que derivan la línea (porque son propiedades del material dieléctrico entre los conductores). G representa la corriente de fuga a través del dieléctrico y en la mayoría de los cables es muy pequeña. La palabra bucle se utiliza para enfatizar que se deben tener en cuenta la resistencia y la inductancia de ambos conductores. Por ejemplo, si una línea consta de dos cables idénticos que tienen una resistencia de 25 mΩ/m cada uno, la resistencia de bucle es el doble, 50 mΩ/m. Debido a que los valores de las constantes son bastante pequeños, es común que los fabricantes los indiquen por kilómetro en lugar de por metro; en el mundo anglosajón también se puede utilizar "por milla". ^{[1] [2]}

La palabra "constante" puede ser engañosa. Significa que son constantes materiales; pero pueden variar con la frecuencia. En particular, R está fuertemente influenciada por el efecto pelicular . Además, mientras que G prácticamente no tiene efecto en la frecuencia de audio , puede causar pérdidas notables en alta frecuencia con muchos de los materiales dieléctricos utilizados en cables debido a una alta tangente de pérdida . Evitar las pérdidas causadas por G es la razón por la que muchos cables diseñados para su uso en UHF están aislados con aire o con espuma (lo que los hace prácticamente aislados con aire). ^[3] El significado real de constante en este contexto es que el parámetro es constante con la distancia . Es decir, se supone que la línea es homogénea en su longitud. Esta condición es cierta para la gran mayoría de las líneas de transmisión que se utilizan hoy en día. ^[4]

Valores típicos para algunos cables comunes

† Los fabricantes suelen omitir el valor de inductancia en sus hojas de datos. Algunos de estos valores se calculan a partir de las cifras de capacitancia e impedancia característica mediante . ${\displaystyle \scriptstyle {Z_{0}}^{2}=L/C}$

Representación de circuitos

Fig. 1. Representación de circuito equivalente de una línea de transmisión utilizando elementos distribuidos . δ L , δR , δC y δG deben leerse como, L δ x , R δ x , C δ x y G δ x respectivamente

Las constantes de línea no pueden representarse simplemente como elementos agrupados en un circuito; deben describirse como elementos distribuidos . Por ejemplo, los "fragmentos" de la capacitancia se encuentran entre los "fragmentos" de la resistencia. Sin importar en cuántos fragmentos se dividan R y C , siempre se puede argumentar que deben dividirse aún más para representar correctamente el circuito, y después de cada división se aumenta el número de mallas en el circuito. Esto se muestra esquemáticamente en la figura 1. Para dar una representación verdadera del circuito, los elementos deben hacerse infinitesimalmente pequeños para que cada elemento esté distribuido a lo largo de la línea. Los elementos infinitesimales en una distancia infinitesimal están dados por; ^[14] ${\displaystyle \scriptstyle dx}$

${\displaystyle dL=\lim _{\delta x\to 0}(L\delta x)=Ldx}$ 

${\displaystyle dR=\lim _{\delta x\to 0}(R\delta x)=Rdx}$ 

${\displaystyle dC=\lim _{\delta x\to 0}(C\delta x)=Cdx}$ 

${\displaystyle dG=\lim _{\delta x\to 0}(G\delta x)=Gdx}$ 

Fig. 2. Representación de una línea de transmisión utilizando elementos de impedancia y admitancia distribuidos generalizados.

Es conveniente para fines de análisis agrupar estos elementos en elementos generales de impedancia en serie , Z , y admitancia en derivación , Y, tales que;

${\displaystyle dZ=(R+i\omega L)dx=Zdx\,,}$  y,

${\displaystyle dY=(G+i\omega C)dx=Ydx\,.}$

El análisis de esta red (figura 2) producirá las constantes de línea secundarias: la constante de propagación , , (cuyas partes real e imaginaria son la constante de atenuación , , y la constante de cambio de fase , , respectivamente) y la impedancia característica , , que también, en general, tendrá partes reales, , e imaginarias, , , lo que hace un total de cuatro constantes secundarias que se derivarán de las cuatro constantes primarias. El término constante es aún más engañoso para las constantes secundarias, ya que generalmente varían bastante con la frecuencia, incluso en una situación ideal donde las constantes primarias no lo hacen. Esto se debe a que las reactancias en el circuito ( y ) introducen una dependencia de . Es posible elegir valores específicos de las constantes primarias que resulten en y siendo independientes de (la condición de Heaviside ) pero incluso en este caso, todavía hay que es directamente proporcional a . Al igual que con las constantes primarias, el significado de "constante" es que las constantes secundarias no varían con la distancia a lo largo de la línea, no que sean independientes de la frecuencia. ^{[14] [15] [16]} ${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$ ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle X_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \omega L}$ ${\displaystyle \scriptstyle 1/(\omega C)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \omega }$ ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

Impedancia característica

Fig. 3. Circuito equivalente de una línea de transmisión para el cálculo de Z ₀ a partir de las constantes de la línea primaria

La impedancia característica de una línea de transmisión, , se define como la impedancia que se observa en una línea infinitamente larga. Una línea de este tipo nunca devolverá una reflexión ya que la onda incidente nunca llegará al extremo para ser reflejada. Al considerar una longitud finita de la línea, el resto de la línea puede reemplazarse por como su circuito equivalente. Esto es así porque el resto de la línea sigue siendo infinitamente largo y, por lo tanto, equivalente a la línea original. Si el segmento finito es muy corto, entonces en el circuito equivalente se modelará mediante una red L que consta de un elemento de y uno de ; el resto está dado por . Esto da como resultado la red que se muestra en la figura 3, que puede analizarse para usar los teoremas de análisis de redes habituales , ^{[17] [18]} ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle dZ}$ ${\displaystyle \scriptstyle dY}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{0}=\delta Z+{\frac {Z_{0}}{1+Z_{0}\delta Y}}}$

que reorganiza a,

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z={\frac {\delta Z}{\delta Y}}}$

Tomando límites de ambos lados

${\displaystyle \lim _{\delta x\to 0}({Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z)={Z_{0}}^{2}={\frac {dZ}{dY}}}$

y como se supuso que la línea era homogénea en su longitud,

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

Constante de propagación

La relación entre el voltaje de entrada de la línea y el voltaje que se encuentra a una distancia más abajo de la línea (es decir, después de una sección del circuito equivalente) se obtiene mediante un cálculo de divisor de voltaje estándar . El resto de la línea a la derecha, como en el cálculo de impedancia característica, se reemplaza por , ^{[19] [20]} ${\displaystyle \scriptstyle \delta x}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x1}}}={\frac {\delta Z+{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}=1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y}$

Cada sección infinitesimal multiplicará la caída de tensión por el mismo factor. Después de las secciones, la relación de tensión será: ${\displaystyle \scriptstyle n}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{n}}$

A una distancia a lo largo de la línea, el número de secciones es tal que, ${\displaystyle \scriptstyle x}$ ${\displaystyle \scriptstyle x/\delta x}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

En el límite como , ${\displaystyle \scriptstyle \delta x\to 0}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

El término de segundo orden desaparecerá en el límite, por lo que podemos escribir sin pérdida de precisión, ${\displaystyle \scriptstyle \delta Z\delta Y}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

y comparando con la identidad matemática,

${\displaystyle e^{x}\equiv \lim _{p\to \infty }(1+1/p)^{px}}$

rendimientos,

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{{\frac {Z}{Z_{0}}}x}}$

De la definición de constante de propagación ,

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{\gamma x}\,\!}$

Por eso,

${\displaystyle \gamma ={\frac {Z}{Z_{0}}}={\sqrt {ZY}}}$

Casos especiales

Línea de transmisión ideal

Una línea de transmisión ideal no tendrá pérdidas, lo que implica que los elementos resistivos son cero. También da como resultado una impedancia característica (resistiva) puramente real. La línea ideal no se puede realizar en la práctica, pero es una aproximación útil en muchas circunstancias. Esto es especialmente cierto, por ejemplo, cuando se utilizan tramos cortos de línea como componentes del circuito, como stubs . Una línea corta tiene muy poca pérdida y, por lo tanto, se puede ignorar y tratar como una línea ideal. Las constantes secundarias en estas circunstancias son: ^[21]

${\displaystyle \gamma =i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha =0\,}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

Par trenzado

Por lo general, los cables de par trenzado que se utilizan para frecuencias de audio o velocidades de datos bajas tienen constantes de línea dominadas por R y C. La pérdida dieléctrica suele ser despreciable en estas frecuencias y G es cercana a cero. También sucede que, a una frecuencia suficientemente baja, lo que significa que L también se puede ignorar. En esas circunstancias, las constantes secundarias se convierten en ^[22] ${\displaystyle \scriptstyle R\gg \omega L}$

${\displaystyle \gamma \approx {\sqrt {i\omega CR}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle \beta \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {R}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}-i{\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}}$

La atenuación de este tipo de cable aumenta con la frecuencia, lo que provoca distorsión de las formas de onda. No tan obviamente, la variación de con la frecuencia también provoca una distorsión de un tipo llamado dispersión . Para evitar la dispersión, el requisito es que sea directamente proporcional a . Sin embargo, en realidad es proporcional a y la dispersión da como resultado. también varía con la frecuencia y también es parcialmente reactiva; ambas características serán la causa de reflexiones desde una terminación de línea resistiva. Este es otro efecto indeseable. La impedancia nominal citada para este tipo de cable es, en este caso, muy nominal, siendo válida solo en una frecuencia puntual, generalmente citada a 800 Hz o 1 kHz. ^{[23] [24]} ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \omega }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\omega }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

Cable coaxial

Un cable que funcione a una frecuencia suficientemente alta ( radiofrecuencia de onda media o altas velocidades de datos) cumplirá las condiciones y . Esto debe suceder eventualmente a medida que se aumenta la frecuencia para cualquier cable. En esas condiciones, tanto R como G pueden ignorarse (excepto para el propósito de calcular la pérdida del cable) y las constantes secundarias se convierten en; ^[25] ${\displaystyle \scriptstyle R\ll \omega L}$ ${\displaystyle \scriptstyle G\ll \omega C}$

${\displaystyle \gamma \approx i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {LG+RC}{2{\sqrt {LC}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{0}G+{\frac {R}{Z_{0}}}\right)\approx {\frac {R}{2Z_{0}}}}$

${\displaystyle \beta \approx \omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

Línea cargada

Las líneas cargadas son líneas diseñadas con una inductancia aumentada deliberadamente. Esto se hace agregando hierro u otro metal magnético al cable o agregando bobinas. El propósito es asegurar que la línea cumpla con la condición de Heaviside , que elimina la distorsión causada por la atenuación y dispersión dependientes de la frecuencia, y asegura que sea constante y resistiva. Las constantes secundarias están aquí relacionadas con las constantes primarias por; ^[26] ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {RG}}+i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\sqrt {\frac {R}{G}}}}$

Velocidad

La velocidad de propagación viene dada por,

${\displaystyle v=\lambda f.}$

Desde,

${\displaystyle \omega =2\pi f}$y ${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

entonces,

${\displaystyle v={\frac {\omega }{\beta }}.}$

En los casos en que β puede tomarse como,

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

La velocidad de propagación viene dada por,

${\displaystyle v={1 \over {\sqrt {LC}}}.}$

Cuanto menor sea la capacitancia, mayor será la velocidad. Con un cable dieléctrico de aire, que se aproxima a un cable de baja pérdida, la velocidad de propagación es muy cercana a c , la velocidad de la luz en el vacío . ^[27]

Notas

1. Connor, pág. 8.
2. Pájaro, págs. 604–605.
3. Porges, págs. 223-224.
4. Pájaro, págs. 502–503, 519.
5. "Cable a granel - Categoría 5 UTP 4 pares PVC", hoja de datos de Molex, 1999, archivado el 7 de agosto de 2013.
6. "1583E CAT5E UTP PVC", hoja de datos de Belden 46077, 21 de julio de 1999, archivado el 7 de agosto de 2013.
7. "Cable de telecomunicaciones interno CW1308" Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , hojas de datos de Eland Cables, archivado el 8 de agosto de 2013.
8. "8281 Coax - Double Braided RG-59/U Type", hoja de datos de Belden, 14 de mayo de 2007, archivada el 7 de agosto de 2013.
9. "Cable de vídeo digital en serie", hoja de datos de Belden 1865A, archivada el 7 de agosto de 2013.
10. "Cable coaxial Suhner", hoja de datos de Huber & Suhner, 24 de septiembre de 2007, archivado el 7 de agosto de 2013.
11. "RG58/U" Archivado el 7 de octubre de 2009 en Wayback Machine , hoja de datos de General Cable, págs. 74–76.
12. "Cable coaxial dieléctrico de espuma de baja pérdida Cellflex Lite 7/8", hoja de datos RFS LCF78-50JFNL, 24 de octubre de 2006, archivado el 7 de agosto de 2013.
13. "Cables troncales, aislados con papel y con funda de aluminio" Archivado el 30 de noviembre de 2013 en Wayback Machine ., Hoja de datos de Nexus, archivada el 7 de agosto de 2013.
14. Connor, págs. 8–10.
15. Hickman, pág. 113.
16. Porges, pág. 217.
17. Porges, págs. 216-217.
18. Connor, págs. 10-11.
19. Connor, págs. 9-10.
20. Pájaro, págs. 609–611.
21. Connor, pág. 17.
22. Connor, págs. 18-19.
23. Pájaro, págs. 612–613.
24. Porges, pág. 219.
25. Connor, pág. 19.
26. Connor, págs. 19-21.
27. Connor, págs. 10, 19-20.

Referencias

• FR Connor, Transmisión de ondas , Edward Arnold Ltd., 1972 ISBN  0-7131-3278-7 .
• John Bird, Teoría y tecnología de circuitos eléctricos , Newnes, 2007 ISBN 0-7506-8139-X . 
• Ian Hickman, Electrónica analógica , Newnes, 1999 ISBN 0-7506-4416-8 . 
• Fred Porges, El diseño de servicios eléctricos para edificios , Taylor & Francis, 1989 ISBN 0-419-14590-7 .