En matemáticas , más específicamente en geometría diferencial y topología , se estudian varios tipos de funciones entre variedades , tanto como objetos en sí mismos como por la luz que arrojan.
Así como existen varios tipos de variedades, existen varios tipos de mapas de variedades.
En topología geométrica , los tipos básicos de funciones corresponden a varias categorías de variedades: DIFF para funciones suaves entre variedades diferenciables , PL para funciones lineales por partes entre variedades lineales por partes y TOP para funciones continuas entre variedades topológicas . Se trata de estructuras progresivamente más débiles, correctamente conectadas a través de PDIFF , la categoría de funciones suaves por partes entre variedades suaves por partes.
Además de estas categorías generales de mapas, hay mapas con propiedades especiales; estas pueden o no formar categorías y pueden o no ser discutidas categóricamente en general.
En topología geométrica, un tipo básico son las incrustaciones , de las que la teoría de nudos es un ejemplo central, y las generalizaciones como inmersiones , sumersiones , espacios de cobertura y espacios de cobertura ramificados . Los resultados básicos incluyen el teorema de incrustación de Whitney y el teorema de inmersión de Whitney .
En geometría compleja, los espacios de cobertura ramificados se utilizan para modelar superficies de Riemann y para analizar mapas entre superficies, como por ejemplo mediante la fórmula de Riemann-Hurwitz .
En geometría de Riemann, se pueden pedir mapas que preserven la métrica de Riemann, lo que conduce a nociones de incrustaciones isométricas , inmersiones isométricas y sumersiones de Riemann ; un resultado básico es el teorema de incrustación de Nash .
Un ejemplo básico de aplicaciones entre variedades son las funciones escalares sobre una variedad, también llamadas funciones regulares o funcionales , por analogía con la geometría algebraica o el álgebra lineal. Estas son de interés tanto por sí mismas como para estudiar la variedad subyacente.
En topología geométrica, las funciones de Morse que se estudian con mayor frecuencia son las que producen descomposiciones de cuerpos de manijas , que se generalizan a funciones de Morse-Bott y se pueden usar, por ejemplo, para comprender grupos clásicos, como en la periodicidad de Bott .
En el análisis matemático , a menudo se estudia la solución de ecuaciones diferenciales parciales , un ejemplo importante de lo cual es el análisis armónico , donde se estudian funciones armónicas : el núcleo del operador de Laplace . Esto conduce a funciones como los armónicos esféricos y a métodos de núcleo de calor para estudiar variedades, como escuchar la forma de un tambor y algunas demostraciones del teorema del índice de Atiyah-Singer .
La monodromía alrededor de una singularidad o punto de ramificación es una parte importante del análisis de dichas funciones.
Las funciones duales a escalares (aplicaciones ) son aplicaciones que corresponden a curvas o trayectorias en una variedad. También se pueden definir cuando el dominio es un intervalo, especialmente el intervalo unitario , o cuando el dominio es un círculo (equivalentemente, una trayectoria periódica) S 1 , que produce un bucle. Se utilizan para definir el grupo fundamental , las cadenas en la teoría de homología , las curvas geodésicas y la geometría sistólica .
Los caminos y bucles incrustados conducen a la teoría de nudos y estructuras relacionadas, como enlaces , trenzas y enredos .
Las variedades de Riemann son casos especiales de espacios métricos , y por lo tanto se tiene una noción de continuidad de Lipschitz , condición de Hölder , junto con una estructura gruesa , que conduce a nociones tales como mapas gruesos y conexiones con la teoría de grupos geométricos .
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