Grupo de clases de mapeo de una superficie.

Concepto en matemáticas

En matemáticas, y más precisamente en topología , el grupo de clases de mapeo de una superficie , a veces llamado grupo modular o grupo modular de Teichmüller , es el grupo de homeomorfismos de la superficie vistos hasta la deformación continua (en la topología compacta-abierta ). Es de fundamental importancia para el estudio de 3 variedades a través de sus superficies incrustadas y también se estudia en geometría algebraica en relación con problemas de módulos para curvas.

El grupo de clases de mapeo se puede definir para variedades arbitrarias (de hecho, para espacios topológicos arbitrarios), pero el entorno bidimensional es el más estudiado en teoría de grupos .

El grupo de superficies de clase de mapeo está relacionado con varios otros grupos, en particular grupos trenzados y grupos de automorfismos externos .

Historia

El grupo de clases de cartografía apareció en la primera mitad del siglo XX. Su origen se encuentra en el estudio de la topología de superficies hiperbólicas, y especialmente en el estudio de las intersecciones de curvas cerradas sobre dichas superficies. Los primeros contribuyentes fueron Max Dehn y Jakob Nielsen : Dehn demostró la generación finita del grupo, ^[1] y Nielsen dio una clasificación de clases de mapeo y demostró que todos los automorfismos del grupo fundamental de una superficie pueden representarse mediante homeomorfismos (el Dehn– Teorema de Nielsen-Baer).

La teoría de Dehn-Nielsen fue reinterpretada a mediados de los años setenta por Thurston , quien le dio al tema un tono más geométrico ^[2] y utilizó este trabajo con gran efecto en su programa para el estudio de las tres variedades.

Más recientemente, la clase de mapeo grupal ha sido en sí misma un tema central en la teoría de grupos geométricos , donde proporciona un campo de prueba para diversas conjeturas y técnicas.

Definición y ejemplos

Grupo de clases de mapeo de superficies orientables.

Sea una superficie conectada , cerrada y orientable y el grupo de homeomorfismos positivos o que conservan la orientación de . Este grupo tiene una topología natural, la topología abierta compacta. Puede definirse fácilmente mediante una función de distancia: si nos dan una métrica para inducir su topología, entonces la función definida por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \delta (f,g)=\sup _{x\in S}\left(d(f(x),g(x))\right)}$

es una distancia que induce la topología compacta-abierta en . Se denota el componente conectado de la identidad para esta topología . Por definición, es igual a cuyos homeomorfismos son isotópicos de la identidad. Es un subgrupo normal del grupo de homeomorfismos positivos, y el grupo de clases de mapeo es el grupo ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S)}$.

Este es un grupo contable .

Si modificamos la definición para incluir todos los homeomorfismos obtenemos el grupo de clases de mapeo extendido , que contiene el grupo de clases de mapeo como un subgrupo del índice 2. ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$

Esta definición también se puede hacer en la categoría diferenciable: si reemplazamos todos los casos de "homeomorfismo" anteriores con " diffeomorfismo ", obtenemos el mismo grupo, es decir, la inclusión induce un isomorfismo entre los cocientes por sus respectivos componentes de identidad. ${\displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(S)\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$

Los grupos de clases de mapeo de la esfera y el toroide.

Supongamos que esa es la esfera unitaria en . Entonces cualquier homeomorfismo de es isotópico de la identidad o de la restricción de la simetría en el plano . Este último no conserva la orientación y vemos que el grupo de clases de mapeo de la esfera es trivial, y su grupo de clases de mapeo extendido es el grupo cíclico de orden 2. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

El grupo de clases de mapeo del toroide se identifica naturalmente con el grupo modular . Es fácil construir un morfismo : cada induce un difeomorfismo de vía . La acción de los difeomorfismos sobre el primer grupo de homología de da un inverso por la izquierda al morfismo (probando en particular que es inyectivo) y se puede comprobar que es inyectivo, de modo que hay isomorfismos inversos entre y . ^[3] De la misma manera, el grupo de clases de mapeo extendido de es . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Phi :\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$ ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle x+\mathbb {Z} ^{2}\mapsto Ax+\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi ,\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Mapeo de grupos de clases de superficies con límites y perforaciones.

En el caso de que sea una superficie compacta con un límite no vacío , la definición del grupo de clases de mapeo debe ser más precisa. El grupo de homeomorfismos relativos al límite es cuyo subgrupo se restringe a la identidad en el límite, y el subgrupo es el componente conexo de la identidad. El grupo de clases de mapeo se define entonces como ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$.

Una superficie con pinchazos es una superficie compacta a la que se le han eliminado un número finito de puntos ("pinchazos"). El grupo de clases de mapeo de dicha superficie se define como arriba (tenga en cuenta que las clases de mapeo pueden permutar las perforaciones, pero no los componentes de los límites).

Grupo de clases de mapeo de un anillo

Cualquier anillo es homeomorfo al subconjunto de . Se puede definir un difeomorfismo mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle A_{0}=\{1\leq |z|\leq 2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle \tau _{0}(z)=e^{2i\pi |z|}z}$

que es la identidad en ambos componentes de la frontera . El grupo de clases de mapeo de es generado por la clase de . ${\displaystyle \{|z|=1\},\{|z|=2\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

Grupos de trenzas y grupos de clases de mapeo.

Los grupos de trenzas se pueden definir como los grupos de clases de mapeo de un disco con pinchazos. Más precisamente, el grupo trenzado en n hebras es naturalmente isomorfo al grupo de clases de mapeo de un disco con n perforaciones. ^[4]

El teorema de Dehn-Nielsen-Baer

Si es cerrado y es un homeomorfismo de entonces podemos definir un automorfismo del grupo fundamental de la siguiente manera: fijar un camino entre y y para un bucle basado en representar un elemento definido como el elemento del grupo fundamental asociado al bucle . Este automorfismo depende de la elección de , pero sólo hasta la conjugación. De esta forma obtenemos un mapa bien definido desde el grupo de automorfismo externo . Este mapa es un morfismo y su núcleo es exactamente el subgrupo . El teorema de Dehn-Nielsen-Baer establece que además es sobreyectivo. ^[5] En particular, implica que: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S,x_{0})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in \pi _{1}(S,x_{0})}$ ${\displaystyle f_{*}([\alpha ])}$ ${\displaystyle {\bar {\gamma }}*f(\alpha )*\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S,x_{0}))}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$

El grupo de clases de mapeo extendido es isomorfo al grupo de automorfismo externo . ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S))}$

La imagen del grupo de clases de mapeo es un subgrupo de índice 2 del grupo de automorfismo externo, que puede caracterizarse por su acción sobre la homología.

La conclusión del teorema no se cumple cuando tiene un límite no vacío (excepto en un número finito de casos). En este caso, el grupo fundamental es un grupo libre y el grupo de automorfismo externo Out(Fn) es estrictamente más grande que la imagen del grupo de clases de mapeo mediante el morfismo definido en el párrafo anterior. La imagen son exactamente esos automorfismos externos que preservan cada clase de conjugación en el grupo fundamental correspondiente a un componente de frontera. ${\displaystyle S}$

La secuencia exacta de Birmania

Esta es una secuencia exacta que relaciona el grupo de superficies de clase cartográfica con el mismo género y límite pero con un número diferente de perforaciones. Es una herramienta fundamental que permite utilizar argumentos recursivos en el estudio del mapeo de grupos de clases. Fue probado por Joan Birman en 1969. ^[6] La afirmación exacta es la siguiente. ^[7]

Sea una superficie compacta y . Hay una secuencia exacta ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in S}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(S,x)\to \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})\to \operatorname {Mod} (S)\to 1}$.

En el caso de que tenga perforaciones, el grupo de clases de mapeo debe ser reemplazado por el subgrupo de índice finito de clases de mapeo fix . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})}$ ${\displaystyle x}$

Elementos del grupo de clases de mapeo.

giros de Dehn

Si se trata de una curva cerrada simple orientada y se elige una vecindad tubular cerrada, entonces hay un homeomorfismo desde el anillo canónico definido anteriormente, enviando a un círculo con orientación en sentido antihorario . Esto se utiliza para definir un homeomorfismo de la siguiente manera: en él está la identidad y en él es igual a . La clase de en el grupo de clases de mapeo no depende de la elección de hecha anteriormente, y el elemento resultante se llama giro de Dehn . Si no es homotópica nula, esta clase de mapeo no es trivial y, de manera más general, los giros de Dehn definidos por dos curvas no homotópicas son elementos distintos en el grupo de clases de mapeo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\setminus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f^{-1}\circ \tau _{0}\circ f}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

En el grupo de clases de mapeo de los toros identificados con los giros de Dehn corresponden a matrices unipotentes. Por ejemplo, la matriz ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

Corresponde al giro de Dehn alrededor de una curva horizontal en el toroide.

La clasificación de Nielsen-Thurston

Existe una clasificación de las clases cartográficas sobre una superficie, originalmente debida a Nielsen y redescubierta por Thurston, que se puede enunciar de la siguiente manera. Un elemento es: ${\displaystyle g\in \operatorname {Mod} (S)}$

• de orden finito (es decir, existe algo que es la identidad), ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle g^{n}}$
• reducible: existe un conjunto de curvas cerradas disjuntas sobre las cuales se conserva por la acción de ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$
• o pseudo-Anosov.

El contenido principal del teorema es que una clase de mapeo que no es de orden finito ni reducible debe ser pseudo-Anosov, que puede definirse explícitamente mediante propiedades dinámicas. ^[8]

Difeomorfismos de pseudo-Anosov

El estudio de los difeomorfismos pseudo-Anosov de una superficie es fundamental. Son los difeomorfismos más interesantes, ya que las clases de mapeo de orden finito son isotópicas de las isometrías y, por lo tanto, se entienden bien, y el estudio de las clases reducibles se reduce esencialmente al estudio de clases de mapeo en superficies más pequeñas que pueden ser de orden finito o pseudo-. Anósov.

Las clases de mapeo pseudo-Anosov son "genéricas" en el grupo de clases de mapeo de varias maneras. Por ejemplo, un paseo aleatorio por un grupo de clases de mapeo terminará en un elemento pseudo-Anosov con una probabilidad que tiende a 1 a medida que crece el número de pasos.

Acciones del grupo de clases de mapeo.

Acción en el espacio de Teichmüller

Dada una superficie perforada (generalmente sin límite), el espacio de Teichmüller es el espacio de estructuras marcadas complejas (equivalentemente, conformes o hiperbólicas completas) en . Estos están representados por pares donde hay una superficie de Riemann y un homeomorfismo, módulo una relación de equivalencia adecuada. Hay una acción obvia del grupo sobre tales pares, que desciende a una acción de sobre el espacio de Teichmüller. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Esta acción tiene muchas propiedades interesantes; por ejemplo, es propiamente discontinuo (aunque no gratuito ). Es compatible con diversas estructuras geométricas (métricas o complejas) con las que se le puede dotar. En particular, la métrica de Teichmüller se puede utilizar para establecer algunas propiedades a gran escala del grupo de clases de mapeo, por ejemplo, que los pisos máximos incrustados cuasi isométricamente son de dimensión . ^[9] ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle 3g-3+k}$

La acción se extiende hasta el límite de Thurston del espacio de Teichmüller, y la clasificación de clases de mapeo de Nielsen-Thurston se puede ver en las propiedades dinámicas de la acción en el espacio de Teichmüller junto con su límite de Thurston. A saber: ^[10]

• Los elementos de orden finito fijan un punto dentro del espacio de Teichmüller (más concretamente, esto significa que cualquier clase de mapeo de orden finito puede realizarse como una isometría para alguna métrica hiperbólica en ); ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle S}$
• Las clases Pseudo-Anosov fijan los dos puntos en el límite correspondiente a su foliación estable e inestable y la acción es mínima (tiene una órbita densa) en el límite;
• Las clases reducibles no actúan mínimamente sobre el límite.

Acción sobre el complejo de curvas.

La curva compleja de una superficie es un complejo cuyos vértices son clases de isotopías de curvas cerradas simples . La acción de los grupos de clases de mapeo en los vértices se traslada al complejo completo. La acción no es propiamente discontinua (el estabilizador de una curva cerrada simple es un grupo infinito). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Esta acción, junto con las propiedades combinatorias y geométricas del complejo de curvas, se puede utilizar para probar varias propiedades del grupo de clases de mapeo. ^[11] En particular, explica algunas de las propiedades hiperbólicas del grupo de clases de mapeo: si bien, como se mencionó en la sección anterior, el grupo de clases de mapeo no es un grupo hiperbólico, tiene algunas propiedades que los recuerdan.

Otros complejos con acción grupal de clase de mapeo.

Complejo de pantalones

El complejo de pantalones de una superficie compacta es un complejo cuyos vértices son las descomposiciones de pantalones de (clases de isotopías de sistemas máximos de curvas cerradas simples disjuntas). La acción de se extiende a una acción sobre este complejo. Este complejo es cuasi isométrico al espacio de Teichmüller dotado de la métrica de Weil-Petersson . ^[12] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Complejo de marcas

Los estabilizadores de acción del grupo de clases de mapeo en los complejos de curvas y pantalones son bastante grandes. El complejo de marcas es un complejo cuyos vértices son marcas de , sobre las cuales actúa y tienen estabilizadores triviales en el grupo de clases de mapeo . Es (en oposición a la curva o complejo de pantalones) un complejo localmente finito que es casi isométrico para el grupo de clases de mapeo. ^[13] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Una marca ^[a] está determinada por una descomposición de pantalones y un conjunto de curvas transversales tales que cada una de las interseca como máximo a una de las , y esto "mínimamente" (esta es una condición técnica que se puede enunciar de la siguiente manera: si son contenidos en un subsuelo homeomorfo a un toro, entonces se cruzan una vez, y si la superficie es una esfera de cuatro agujeros, se cruzan dos veces). Dos marcas distintas se unen mediante un borde si difieren por un "movimiento elemental", y el complejo completo se obtiene sumando todos los posibles simples de dimensiones superiores. ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{\xi }}$ ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{\xi }}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{i}}$

Generadores y relaciones para mapear grupos de clases.

El teorema de Dehn-Lickorish

El grupo de clases de mapeo es generado por el subconjunto de giros de Dehn sobre todas las curvas cerradas simples en la superficie. El teorema de Dehn-Lickorish establece que es suficiente seleccionar un número finito de ellos para generar el grupo de clases de mapeo. ^[14] Esto generaliza el hecho de que es generado por las matrices. ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$.

En particular, el grupo de clases de mapeo de una superficie es un grupo generado de manera finita .

El menor número de giros de Dehn que pueden generar el grupo de clases de mapeo de una superficie cerrada de género es ; esto lo demostró más tarde Humphries. ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle 2g+1}$

Presentabilidad finita

Es posible demostrar que todas las relaciones entre los giros de Dehn en un conjunto generador para el grupo de clases de mapeo pueden escribirse como combinaciones de un número finito entre ellos. Esto significa que el grupo de clases cartográficas de una superficie es un grupo presentado de forma finita .

Una forma de probar este teorema es deducirlo de las propiedades de la acción del grupo de clases de mapeo sobre el complejo de pantalones: se ve que el estabilizador de un vértice está presentado de manera finita y la acción es cofinita. Dado que el complejo está conexo y simplemente conexo, se deduce que el grupo de clases de mapeo debe generarse de forma finita. Hay otras formas de obtener presentaciones finitas, pero en la práctica la única que produce relaciones explícitas para todos los genios es la que se describe en este párrafo con un complejo ligeramente diferente en lugar del complejo de curvas, llamado complejo de sistema de corte . ^[15]

Un ejemplo de una relación entre los giros de Dehn que ocurren en esta presentación es la relación de la linterna .

Otros sistemas de generadores.

Además de los giros de Dehn, existen otros sistemas interesantes de generadores para el grupo de clases de mapeo. Por ejemplo, puede ser generado por dos elementos ^[16] o por involuciones. ^[17] ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Cohomología del grupo de clases de mapeo.

Si es una superficie de género con componentes límite y punciones entonces la dimensión cohomológica virtual de es igual a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle 4g-4+b+k}$

La primera homología del grupo de clases de mapeo es finita ^[18] y se deduce que el primer grupo de cohomología también es finito.

Subgrupos de los grupos de clases de mapeo.

El subgrupo Torelli

Como la homología singular es funtorial, el grupo de clases de mapeo actúa mediante automorfismos sobre el primer grupo de homología . Este es un grupo abeliano libre de rango si es de género cerrado . Esta acción da así una representación lineal . ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$ ${\displaystyle 2g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {GL} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Este mapa es de hecho una sobreyección con imagen igual a los puntos enteros del grupo simpléctico . Esto se debe al hecho de que el número de intersección de curvas cerradas induce una forma simpléctica en la primera homología, que se conserva mediante la acción del grupo de clases de mapeo. La sobreyectividad se demuestra demostrando que las imágenes de Dehn generan giros . ^[19] ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

El núcleo del morfismo se llama grupo de Torelli . Es un subgrupo finitamente generado, libre de torsión ^[20] y su estudio es de fundamental importancia por su relación con la estructura del grupo de clases de mapeo en sí (dado que el grupo aritmético se comprende comparativamente muy bien, se conocen muchos datos sobre el punto de ebullición) . hasta una declaración sobre su subgrupo Torelli) y aplicaciones a la topología tridimensional y la geometría algebraica. ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Finitud residual y subgrupos de índice finito

Un ejemplo de aplicación del subgrupo Torelli es el siguiente resultado:

El grupo de clases de mapeo es residualmente finito .

La prueba procede primero utilizando la finitud residual del grupo lineal y luego, para cualquier elemento no trivial del grupo de Torelli, construyendo por medios geométricos subgrupos de índice finito que no lo contienen. ^[21] ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Una clase interesante de subgrupos de índice finito viene dada por los núcleos de los morfismos:

${\displaystyle \Phi _{n}:\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

El núcleo de suele denominarse subgrupo de congruencia de . Es un grupo libre de torsión para todos (esto se desprende fácilmente de un resultado clásico de Minkowski sobre grupos lineales y del hecho de que el grupo de Torelli está libre de torsión). ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Subgrupos finitos

El grupo de clases de mapeo tiene solo un número finito de clases de grupos finitos, como se desprende del hecho de que el subgrupo de índice finito está libre de torsión, como se analizó en el párrafo anterior. Además, esto también implica que cualquier subgrupo finito de es un subgrupo del grupo finito . ${\displaystyle \ker(\Phi _{3})}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)/\ker(\Phi _{3})\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /3)}$

También se puede obtener un límite en el orden de subgrupos finitos mediante medios geométricos. La solución al problema de realización de Nielsen implica que cualquier grupo de este tipo se realiza como el grupo de isometrías de una superficie hiperbólica de género . La cota de Hurwitz implica entonces que el orden máximo es igual a . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 84(g-1)}$

Datos generales sobre subgrupos.

Los grupos de clases de mapeo satisfacen la alternativa de Tit : es decir, cualquier subgrupo contiene un subgrupo libre no abeliano o es virtualmente solucionable (de hecho, abeliano). ^[22]

Cualquier subgrupo que no sea reducible (es decir, que no conserve un conjunto de clases de isotopías de curvas cerradas simples disjuntas) debe contener un elemento pseudo-Anosov. ^[23]

Representaciones lineales

Es una cuestión abierta si el grupo de clases de mapeo es un grupo lineal o no. Además de la representación simpléctica sobre homología explicada anteriormente, existen otras representaciones lineales de dimensión finita interesantes que surgen de la teoría topológica cuántica de campos . Las imágenes de estas representaciones están contenidas en grupos aritméticos que no son simplécticos, y esto permite construir muchos más cocientes finitos de . ^[24] ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

En la otra dirección hay un límite inferior para la dimensión de una representación fiel (putativa), que tiene que ser al menos . ^[25] ${\displaystyle 2{\sqrt {g-1}}}$

Notas

1. Describimos aquí sólo marcas "limpias, completas" (en la terminología de Masur y Minsky (2000)).

Citas

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2. Toro. América. Matemáticas. Soc. 1988, págs. 417–431.
3. Farb y Margalit 2012, Teorema 2.5.
4. Birmano 1974.
5. Farb y Margalit 2012, Teorema 8.1.
6. Birmania 1969, págs. 213-238.
7. Farb y Margalit 2012, Teorema 4.6.
8. Fathi, Laudenbach y Poénaru 2012, Capítulo 9.
9. Eskin, Masur y Rafi 2017.
10. Fathi, Laudenbach y Poénaru 2012.
11. Inventar. Matemáticas. 1999, págs. 103-149.
12. Brock 2002.
13. Masur y Minsky 2000.
14. Farb y Margalit 2012, Teorema 4.1.
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19. Farb y Margalit 2012, Teorema 6.4.
20. Farb & Margalit 2012, Teorema 6.15 y Teorema 6.12.
21. Farb y Margalit 2012, Teorema 6.11.
22. Ivanov 1992, Teorema 4.
23. Ivanov 1992, Teorema 1.
24. Geom. Tópol. 2012, págs. 1393-1411.
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Fuentes

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