En geometría diferencial , la noción de tensor métrico se puede extender a un haz de vectores arbitrario y a algunos haces de fibras principales . Esta métrica a menudo se denomina métrica de paquete o métrica de fibra .
Si M es una variedad topológica y π : E → M un paquete vectorial en M , entonces una métrica en E es un mapa de paquetes k : E × M E → M × R desde el producto de fibra de E consigo mismo hasta el paquete trivial con fibra R tal que la restricción de k a cada fibra sobre M es un mapa bilineal no degenerado de espacios vectoriales . [1] En términos generales, k da una especie de producto escalar (no necesariamente simétrico o definido positivo) en el espacio vectorial sobre cada punto de M , y estos productos varían suavemente sobre M.
Cada paquete de vectores con espacio base paracompacto puede equiparse con una métrica de paquete. [1] Para un paquete vectorial de rango n , esto se desprende de los gráficos de paquetes : la métrica del paquete se puede tomar como el retroceso del producto interno de una métrica en ; por ejemplo, las cartas ortonormales del espacio euclidiano. El grupo estructural de dicha métrica es el grupo ortogonal O ( n ).
Si M es una variedad de Riemann y E es su paquete tangente TM , entonces la métrica de Riemann da una métrica de paquete, y viceversa. [1]
Si el haz π : P → M es un haz de fibras principal con grupo G , y G es un grupo de Lie compacto , entonces existe un producto interno k Ad( G )-invariante en las fibras, tomado del producto interno en las fibras correspondientes. Álgebra de mentira compacta . Más precisamente, hay un tensor métrico k definido en el paquete vertical E = V P tal que k es invariante bajo multiplicación por la izquierda:
para los vectores verticales X , Y y L g es la multiplicación hacia la izquierda por g a lo largo de la fibra, y L g* es el empuje hacia adelante . Es decir, E es el fibrado vectorial que consta del subespacio vertical de la tangente del fibrado principal.
De manera más general, siempre que uno tenga un grupo compacto con medida de Haar μ y un producto interno arbitrario h(X,Y) definido en el espacio tangente de algún punto en G , se puede definir una métrica invariante simplemente promediando todo el grupo, es decir, definiendo
como el promedio.
La noción anterior se puede extender al paquete asociado donde V es un espacio vectorial que se transforma covariantemente bajo alguna representación de G.
Si el espacio base M también es un espacio métrico , con métrica g , y el paquete principal está dotado de una forma de conexión ω, entonces π * g+kω es una métrica definida en todo el paquete tangente E = T P. [2]
Más precisamente, se escribe π * g( X , Y ) = g ( π * X , π * Y ) donde π * es el avance de la proyección π y g es el tensor métrico en el espacio base M. La expresión kω debe entenderse como ( kω )( X , Y ) = k ( ω ( X ), ω ( Y )), siendo k el tensor métrico de cada fibra. Aquí, X e Y son elementos del espacio tangente TP .
Observe que la sustentación π * g desaparece en el subespacio vertical T V (ya que π * desaparece en los vectores verticales), mientras que kω desaparece en el subespacio horizontal T H (ya que el subespacio horizontal se define como la parte del espacio tangente T P en donde la conexión ω desaparece). Dado que el espacio tangente total del paquete es una suma directa de los subespacios vertical y horizontal (es decir, T P = T V ⊕ T H ), esta métrica está bien definida en todo el paquete.
Esta métrica del paquete sustenta la forma generalizada de la teoría de Kaluza-Klein debido a varias propiedades interesantes que posee. La curvatura escalar derivada de esta métrica es constante en cada fibra, [2] esto se deduce de la invariancia Ad( G ) de la métrica de fibra k . La curvatura escalar del paquete se puede descomponer en tres partes distintas:
donde R E es la curvatura escalar del paquete en su conjunto (obtenida de la métrica π * g+kω anterior), y R M ( g ) es la curvatura escalar de la variedad base M (la densidad lagrangiana de la ecuación de Einstein-Hilbert). acción ), y L ( g , ω) es la densidad lagrangiana para la acción de Yang-Mills , y R G ( k ) es la curvatura escalar en cada fibra (obtenida de la métrica de fibra k , y constante, debido a la Ad( G )-invariancia de la métrica k ). Los argumentos denotan que R M ( g ) solo depende de la métrica g en la variedad base, pero no de ω o k , y de la misma manera, que R G ( k ) solo depende de k , y no de g o ω, y entonces- en.
