Los métodos de diferencias finitas para la fijación de precios de opciones son métodos numéricos utilizados en finanzas matemáticas para la valoración de opciones . [1] Los métodos de diferencias finitas fueron aplicados por primera vez a la fijación de precios de opciones por Eduardo Schwartz en 1977. [2] [3] : 180
En general, los métodos de diferencias finitas se utilizan para fijar el precio de las opciones mediante la aproximación de la ecuación diferencial (de tiempo continuo) que describe cómo evoluciona el precio de una opción a lo largo del tiempo mediante un conjunto de ecuaciones de diferencias (de tiempo discreto) . Las ecuaciones de diferencias discretas pueden entonces resolverse iterativamente para calcular un precio para la opción. [4] El enfoque surge porque la evolución del valor de la opción puede modelarse mediante una ecuación diferencial parcial (EDP), como una función de (al menos) el tiempo y el precio del subyacente; véase por ejemplo la EDP de Black-Scholes . Una vez en esta forma, se puede derivar un modelo de diferencias finitas y obtener la valoración. [2]
Este enfoque se puede utilizar para resolver problemas de fijación de precios de derivados que tienen, en general, el mismo nivel de complejidad que aquellos problemas resueltos mediante enfoques de árbol . [1]
Método
Como se ha indicado anteriormente, la PDE se expresa en forma discretizada, utilizando diferencias finitas , y luego se modela la evolución del precio de la opción utilizando una red con dimensiones correspondientes : el tiempo va desde 0 hasta el vencimiento; y el precio va desde 0 hasta un valor "alto", de modo que la opción está muy dentro o fuera del dinero . Luego, la opción se valora de la siguiente manera: [5]
- Los valores de vencimiento son simplemente la diferencia entre el precio de ejercicio de la opción y el valor del activo subyacente en cada punto (para una opción de compra, por ejemplo, ).
- Los valores en los límites (es decir, en cada momento anterior en el que el spot está en su nivel más alto o en cero) se establecen en función de los límites de arbitraje o de monetización de los precios de las opciones (para una opción de compra, para todos los t y as ).
- Los valores en otros puntos de la red se calculan de forma recursiva (iterativamente), comenzando en el paso de tiempo anterior a la madurez y terminando en el tiempo = 0. Aquí, utilizando una técnica como Crank–Nicolson o el método explícito :
- La EDP se discretiza según la técnica elegida, de modo que el valor en cada punto de la red se especifica como una función del valor en puntos posteriores y adyacentes; ver Stencil (análisis numérico) ;
- El valor en cada punto se calcula entonces utilizando la técnica en cuestión, trabajando hacia atrás en el tiempo desde el vencimiento y hacia adentro desde los precios límite.
- 4. El valor de la opción hoy, donde el activo subyacente está a su precio al contado (o en cualquier combinación de momento/precio), se calcula entonces por interpolación .
Solicitud
Como se mencionó anteriormente, estos métodos pueden resolver problemas de fijación de precios de derivados que tienen, en general, el mismo nivel de complejidad que los problemas resueltos mediante enfoques de árboles [1] , pero, dada su complejidad relativa, generalmente se emplean solo cuando otros enfoques son inadecuados; un ejemplo aquí, es el cambio de tasas de interés y/o la política de dividendos vinculada al tiempo . Al mismo tiempo, al igual que los métodos basados en árboles, este enfoque está limitado en términos del número de variables subyacentes, y para problemas con múltiples dimensiones , generalmente se prefieren los métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones . [3] : 182 Nótese que, cuando se aplican supuestos estándar, la técnica explícita abarca los métodos de árbol binomial y trinomial . [6] Los métodos basados en árboles, entonces, adecuadamente parametrizados, son un caso especial del método explícito de diferencias finitas. [7]
Referencias
- ^ abc Hull, John C. (2002). Opciones, futuros y otros derivados (5.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0.
- ^ ab Schwartz, E. (enero de 1977). "La valoración de warrants: implementación de un nuevo enfoque". Journal of Financial Economics . 4 : 79–94. doi :10.1016/0304-405X(77)90037-X.
- ^ ab Boyle, Phelim ; Feidhlim Boyle (2001). Derivados: las herramientas que cambiaron las finanzas . Risk Publications. ISBN 978-1899332885.
- ^ Phil Goddard (ND). Fijación de precios de opciones: métodos de diferencias finitas
- ^ Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J. (1995). Las matemáticas de los derivados financieros: una introducción para estudiantes. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-49789-3.
- ^ Brennan, M.; Schwartz, E. (septiembre de 1978). "Métodos de diferencias finitas y procesos de salto que surgen en la fijación de precios de reclamaciones contingentes: una síntesis". Journal of Financial and Quantitative Analysis . 13 (3): 461–474. doi :10.2307/2330152. JSTOR 2330152. S2CID 250121477.
- ^ Rubinstein, M. (2000). "Sobre la relación entre los modelos de fijación de precios de opciones binomiales y trinomiales". Journal of Derivatives . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi :10.3905/jod.2000.319149. S2CID 11743572. Archivado desde el original el 22 de junio de 2007.
Enlaces externos
- Fijación de precios de opciones mediante métodos de diferencias finitas Archivado el 20 de julio de 2010 en Wayback Machine , Prof. Don M. Chance, Universidad Estatal de Luisiana
- Método de diferencias finitas para la determinación del precio de opciones (incluye código Matlab ); solución numérica de la ecuación de Black-Scholes, Tom Coleman, Universidad de Cornell
- Fijación de precios de opciones: métodos de diferencias finitas, Dr. Phil Goddard
- Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales: algoritmo Crank-Nicolson, Prof. R. Jones, Universidad Simon Fraser
- Esquemas numéricos para la determinación de precios de opciones, Prof. Yue Kuen Kwok, Universidad de Ciencia y Tecnología de Hong Kong
- Introducción a la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales en finanzas, Claus Munk, Universidad de Aarhus
- Métodos numéricos para la valoración de derivados financieros Archivado el 5 de octubre de 2011 en Wayback Machine , DB Ntwiga, Universidad del Cabo Occidental
- El método de las diferencias finitas, Katia Rocha, Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada
- Finanzas analíticas: métodos de diferencias finitas, Jan Röman, Universidad de Mälardalen