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Métodos de diferencias finitas para la fijación de precios de opciones

Los métodos de diferencias finitas para la fijación de precios de opciones son métodos numéricos utilizados en finanzas matemáticas para la valoración de opciones . [1] Los métodos de diferencias finitas fueron aplicados por primera vez a la fijación de precios de opciones por Eduardo Schwartz en 1977. [2] [3] : 180 

En general, los métodos de diferencias finitas se utilizan para fijar el precio de las opciones mediante la aproximación de la ecuación diferencial (de tiempo continuo) que describe cómo evoluciona el precio de una opción a lo largo del tiempo mediante un conjunto de ecuaciones de diferencias (de tiempo discreto) . Las ecuaciones de diferencias discretas pueden entonces resolverse iterativamente para calcular un precio para la opción. [4] El enfoque surge porque la evolución del valor de la opción puede modelarse mediante una ecuación diferencial parcial (EDP), como una función de (al menos) el tiempo y el precio del subyacente; véase por ejemplo la EDP de Black-Scholes . Una vez en esta forma, se puede derivar un modelo de diferencias finitas y obtener la valoración. [2]

Este enfoque se puede utilizar para resolver problemas de fijación de precios de derivados que tienen, en general, el mismo nivel de complejidad que aquellos problemas resueltos mediante enfoques de árbol . [1]

Método

Como se ha indicado anteriormente, la PDE se expresa en forma discretizada, utilizando diferencias finitas , y luego se modela la evolución del precio de la opción utilizando una red con dimensiones correspondientes : el tiempo va desde 0 hasta el vencimiento; y el precio va desde 0 hasta un valor "alto", de modo que la opción está muy dentro o fuera del dinero . Luego, la opción se valora de la siguiente manera: [5]

  1. Los valores de vencimiento son simplemente la diferencia entre el precio de ejercicio de la opción y el valor del activo subyacente en cada punto (para una opción de compra, por ejemplo, ).
  2. Los valores en los límites (es decir, en cada momento anterior en el que el spot está en su nivel más alto o en cero) se establecen en función de los límites de arbitraje o de monetización de los precios de las opciones (para una opción de compra, para todos los t y as ).
  3. Los valores en otros puntos de la red se calculan de forma recursiva (iterativamente), comenzando en el paso de tiempo anterior a la madurez y terminando en el tiempo = 0. Aquí, utilizando una técnica como Crank–Nicolson o el método explícito :
  • La EDP se discretiza según la técnica elegida, de modo que el valor en cada punto de la red se especifica como una función del valor en puntos posteriores y adyacentes; ver Stencil (análisis numérico) ;
  • El valor en cada punto se calcula entonces utilizando la técnica en cuestión, trabajando hacia atrás en el tiempo desde el vencimiento y hacia adentro desde los precios límite.
4. El valor de la opción hoy, donde el activo subyacente está a su precio al contado (o en cualquier combinación de momento/precio), se calcula entonces por interpolación .

Solicitud

Como se mencionó anteriormente, estos métodos pueden resolver problemas de fijación de precios de derivados que tienen, en general, el mismo nivel de complejidad que los problemas resueltos mediante enfoques de árboles [1] , pero, dada su complejidad relativa, generalmente se emplean solo cuando otros enfoques son inadecuados; un ejemplo aquí, es el cambio de tasas de interés y/o la política de dividendos vinculada al tiempo . Al mismo tiempo, al igual que los métodos basados ​​en árboles, este enfoque está limitado en términos del número de variables subyacentes, y para problemas con múltiples dimensiones , generalmente se prefieren los métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones . [3] : 182  Nótese que, cuando se aplican supuestos estándar, la técnica explícita abarca los métodos de árbol binomial y trinomial . [6] Los métodos basados ​​en árboles, entonces, adecuadamente parametrizados, son un caso especial del método explícito de diferencias finitas. [7]

Referencias

  1. ^ abc Hull, John C. (2002). Opciones, futuros y otros derivados (5.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0.
  2. ^ ab Schwartz, E. (enero de 1977). "La valoración de warrants: implementación de un nuevo enfoque". Journal of Financial Economics . 4 : 79–94. doi :10.1016/0304-405X(77)90037-X.
  3. ^ ab Boyle, Phelim ; Feidhlim Boyle (2001). Derivados: las herramientas que cambiaron las finanzas . Risk Publications. ISBN  978-1899332885.
  4. ^ Phil Goddard (ND). Fijación de precios de opciones: métodos de diferencias finitas
  5. ^ Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J. (1995). Las matemáticas de los derivados financieros: una introducción para estudiantes. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-49789-3.
  6. ^ Brennan, M.; Schwartz, E. (septiembre de 1978). "Métodos de diferencias finitas y procesos de salto que surgen en la fijación de precios de reclamaciones contingentes: una síntesis". Journal of Financial and Quantitative Analysis . 13 (3): 461–474. doi :10.2307/2330152. JSTOR  2330152. S2CID  250121477.
  7. ^ Rubinstein, M. (2000). "Sobre la relación entre los modelos de fijación de precios de opciones binomiales y trinomiales". Journal of Derivatives . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi :10.3905/jod.2000.319149. S2CID  11743572. Archivado desde el original el 22 de junio de 2007. 

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