Método de promediado de Krylov-Bogoliubov

El método de promediado de Krylov-Bogolyubov ( método de promediado de Krylov-Bogolyubov ) es un método matemático para el análisis aproximado de procesos oscilantes en mecánica no lineal. ^[1] El método se basa en el principio de promediación cuando la ecuación diferencial exacta del movimiento se reemplaza por su versión promediada. El método lleva el nombre de Nikolay Krylov y Nikolay Bogoliubov .

Desde los trabajos de Gauss , Fatou , Delone y Hill se han utilizado varios esquemas de promedio para estudiar los problemas de la mecánica celeste . La importancia de la contribución de Krylov y Bogoliubov es que desarrollaron un enfoque de promedio general y demostraron que la solución del sistema promediado se aproxima a la dinámica exacta. ^{[2] [3] [4]}

Fondo

El promedio de Krylov-Bogoliubov se puede utilizar para aproximar problemas oscilatorios cuando falla una expansión de perturbación clásica. Se trata de problemas de perturbaciones singulares de tipo oscilatorio, por ejemplo la corrección de Einstein a la precesión del perihelio de Mercurio . ^[5]

Derivación

El método trata con ecuaciones diferenciales en la forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+k^{2}u=a+\varepsilon f\left(u,{\frac {du}{dt}}\right)}$

para una función suave f junto con condiciones iniciales apropiadas. Se supone que el parámetro ε satisface

${\displaystyle 0<\varepsilon \ll k.}$

Si ε  = 0 entonces la ecuación se convierte en la del oscilador armónico simple con forzamiento constante, y la solución general es

${\displaystyle u(t)={\frac {a}{k^{2}}}+A\sin(kt+B),}$

donde A y B se eligen para que coincidan con las condiciones iniciales. Se supone que la solución a la ecuación perturbada (cuando ε  ≠ 0) toma la misma forma, pero ahora se permite que A y B varíen con t (y  ε ). Si también se supone que

${\displaystyle {\frac {du}{dt}}=kA(t)\cos(kt+B(t)),}$

entonces se puede demostrar que A y B satisfacen la ecuación diferencial: ^[5]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={\frac {\varepsilon }{k}}f\left({\frac {a}{k^{2}}}+A\sin(\phi ),kA\cos(\phi )\right){\begin{bmatrix}\cos(\phi )\\-{\frac {1}{A}}\sin(\phi )\end{bmatrix}},}$

dónde . Tenga en cuenta que esta ecuación sigue siendo exacta: todavía no se ha realizado ninguna aproximación. El método de Krylov y Bogolyubov consiste en observar que las funciones A y B varían lentamente con el tiempo (en proporción a ε), por lo que su dependencia se puede eliminar (aproximadamente) promediando en el lado derecho de la ecuación anterior: ${\displaystyle \phi =kt+B}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\end{bmatrix}}={\frac {\varepsilon }{2\pi k}}\int _{0}^{2\pi }f\left({\frac {a}{k^{2}}}+A_{0}\sin(\theta ),kA_{0}\cos(\theta )\right){\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\-{\frac {1}{A_{0}}}\sin(\theta )\end{bmatrix}}d\theta ,}$

donde y se mantienen fijos durante la integración. Después de resolver este conjunto (posiblemente) más simple de ecuaciones diferenciales, la aproximación promediada de Krylov-Bogolyubov para la función original viene dada por ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}}$

${\displaystyle u_{0}(t,\varepsilon ):={\frac {a}{k^{2}}}+A_{0}(t,\varepsilon )\sin(kt+B_{0}(t,\varepsilon )).}$

Se ha demostrado que esta aproximación satisface ^[6]

${\displaystyle \left|u(t,\varepsilon )-u_{0}(t,\varepsilon )\right|\leq C_{1}\varepsilon ,}$

donde t satisface

${\displaystyle 0\leq t\leq {\frac {C_{2}}{\varepsilon }}}$

para algunas constantes y , independiente de ε. ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Referencias

1. Método de promediado de Krylov-Bogolyubov en la Enciclopedia de Matemáticas
2. NM Krylov; NN Bogolyubov (1935). Methodes approchees de la mecanique non-lineaire dans leurs application a l'Aeetude de la perturbation des mouvements periodiques de divers phenomenes de resonance s'y rapportant (en francés). Kiev: Academia de Ciencias de Ucrania.
3. NM Krylov; NN Bogolyubov (1937). Introducción a la mecánica no lineal (en ruso). Kiev: Izd-vo AN SSSR.
4. NM Krylov; NN Bogolyubov (1947). Introducción a la mecánica no lineal . Princeton: Universidad de Princeton. Prensa. ISBN 9780691079851.
5. Smith, Donald (1985). Teoría de la perturbación singular . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-30042-8.
6. Bogoliubov, N. (1961). Métodos asintóticos en la teoría de oscilaciones no lineales . París: Gordon & Breach. ISBN 978-0-677-20050-7.