Conjunto de contornos

En matemáticas , los conjuntos de contornos generalizan y formalizan las nociones cotidianas de

• Todo lo que es superior a algo
• Todo lo que es superior o equivalente a algo
• todo lo que es inferior a algo
• todo lo que es inferior o equivalente a algo.

Definiciones formales

Dada una relación sobre pares de elementos de un conjunto ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}}$

y un elemento de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle x\in X}$

El conjunto de contorno superior de es el conjunto de todos los que están relacionados con : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

El conjunto de contorno inferior de es el conjunto de todos los que están relacionados con ellos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}}$

El conjunto de contorno superior estricto de es el conjunto de todos los que están relacionados con sin estar relacionados de esta manera con ninguno de ellos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}}$

El conjunto de contorno inferior estricto de es el conjunto de todos los que están relacionados con ellos sin que ninguno de ellos esté relacionado de esta manera con : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}}$

Las expresiones formales de los dos últimos pueden simplificarse si hemos definido

${\displaystyle \succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~\backepsilon ~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}}$

por lo que está relacionado con pero no está relacionado con , en cuyo caso el conjunto de contorno superior estricto de es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}}$

y el conjunto de contorno inferior estricto es ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}}$

Conjuntos de contornos de una función

En el caso de una función considerada en términos de relación , la referencia a los conjuntos de contorno de la función es implícitamente a los conjuntos de contorno de la relación implícita. ${\displaystyle f()}$ ${\displaystyle \triangleright }$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]}$

Ejemplos

Aritmética

Consideremos un número real y la relación . Entonces ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \geq }$

• El conjunto de contorno superior de sería el conjunto de números que fueran mayores o iguales a , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• El conjunto de contorno superior estricto de sería el conjunto de números que fueran mayores que , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• el conjunto de contorno inferior de sería el conjunto de números que fueran menores o iguales a , y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• El conjunto de contorno inferior estricto de sería el conjunto de números que fueran menores que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Consideremos, de manera más general, la relación

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

Entonces

• el conjunto de contorno superior de sería el conjunto de todos tales que , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(y)\geq f(x)}$
• El conjunto de contorno superior estricto de sería el conjunto de todos los tales que , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(y)>f(x)}$
• el conjunto de contorno inferior de sería el conjunto de todos tales que , y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$
• El conjunto de contorno inferior estricto de sería el conjunto de todos los tales que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)>f(y)}$

Sería técnicamente posible definir conjuntos de contornos en términos de la relación

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]}$

aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión inmediata.

En el caso de una función de valor real (cuyos argumentos pueden o no ser números reales), la referencia a los conjuntos de contorno de la función es implícitamente a los conjuntos de contorno de la relación. ${\displaystyle f()}$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

Tenga en cuenta que los argumentos podrían ser vectores y que la notación utilizada podría ser ${\displaystyle f()}$

${\displaystyle [(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]}$

Ciencias económicas

En economía , el conjunto podría interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de resultados posibles , la relación como preferencia estricta y la relación como preferencia débil . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$

• el conjunto de contorno superior, o mejor conjunto , ^[1] de sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que fueran al menos tan deseados como , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• El conjunto de contorno superior estricto sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que eran más deseados que , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• el conjunto de contorno inferior, o peor conjunto , ^[1] de sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que no fueran más deseados que , y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• El conjunto de contorno inferior estricto de sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que fueran menos deseados que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Estas preferencias podrían ser capturadas por una función de utilidad , en cuyo caso ${\displaystyle u()}$

• el conjunto de contorno superior de sería el conjunto de todos tales que , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)\geq u(x)}$
• El conjunto de contorno superior estricto de sería el conjunto de todos los tales que , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)>u(x)}$
• el conjunto de contorno inferior de sería el conjunto de todos tales que , y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$
• El conjunto de contorno inferior estricto de sería el conjunto de todos los tales que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(x)>u(y)}$

Complementariedad

Suponiendo que es un ordenamiento total de , el complemento del conjunto de contorno superior es el conjunto de contorno inferior estricto. ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

y el complemento del conjunto de contorno superior estricto es el conjunto de contorno inferior.

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}}$

Véase también

• Epígrafe
• Hipógrafo

Referencias

1. Robert P. Gilles (1996). Intercambio económico y organización social: los fundamentos edgeworthianos de la teoría del equilibrio general. Springer. pág. 35. ISBN 9780792342007.

Bibliografía

• Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston y Jerry R. Green, Microeconomic Theory ( LCC  HB172.M6247 1995), pág. 43. ISBN 0-19-507340-1 (tela) ISBN 0-19-510268-1 (papel)