operador dirac

First-order differential linear operator on spinor bundle, whose square is the Laplacian

En matemáticas y mecánica cuántica , un operador de Dirac es un operador diferencial que es una raíz cuadrada formal, o semiiterado , de un operador de segundo orden como el laplaciano . El caso original que concernía a Paul Dirac era factorizar formalmente un operador para el espacio de Minkowski , para obtener una forma de teoría cuántica compatible con la relatividad especial ; Para obtener el laplaciano relevante como producto de operadores de primer orden, introdujo espinores . Fue publicado por primera vez en 1928 por Dirac. ^[1]

Definicion formal

En general, sea D un operador diferencial de primer orden que actúa sobre un paquete de vectores V sobre una variedad de Riemann M. Si

${\displaystyle D^{2}=\Delta ,\,}$

donde ∆ es el laplaciano de V , entonces D se llama operador de Dirac .

En física de altas energías , este requisito suele ser relajado: sólo la parte de segundo orden de D ² debe ser igual al laplaciano.

Ejemplos

Ejemplo 1

D = − i ∂ _x es un operador de Dirac en el paquete tangente sobre una línea.

Ejemplo 2

Consideremos un paquete simple de notable importancia en física: el espacio de configuración de una partícula con espín.1/2confinado a un plano, que también es la variedad base. Está representado por una función de onda ψ  : R ² → C ²

${\displaystyle \psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}}$

donde xey son las funciones de coordenadas habituales en R ² . χ especifica la amplitud de probabilidad de que la partícula esté en el estado de giro, y de manera similar para η . Entonces se puede escribir el llamado operador spin-Dirac

${\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},}$

donde σ _i son las matrices de Pauli . Tenga en cuenta que las relaciones de anticonmutación para las matrices de Pauli hacen que la prueba de la propiedad definitoria anterior sea trivial. Esas relaciones definen la noción de álgebra de Clifford .

Las soluciones a la ecuación de Dirac para campos de espinores a menudo se denominan espinores armónicos . ^[2]

Ejemplo 3

El operador Dirac de Feynman describe la propagación de un fermión libre en tres dimensiones y está elegantemente escrito.

${\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,}$

usando la notación de barra diagonal de Feynman . En los libros de texto de introducción a la teoría cuántica de campos , esto aparecerá en la forma

${\displaystyle D=c{\vec {\alpha }}\cdot (-i\hbar \nabla _{x})+mc^{2}\beta }$

donde están las matrices de Dirac fuera de la diagonal , con y las constantes restantes son la velocidad de la luz , siendo la constante de Planck , y la masa de un fermión (por ejemplo, un electrón ). Actúa sobre una función de onda de cuatro componentes , el espacio de Sobolev de funciones suaves integrables al cuadrado. Se puede extender a un operador autoadjunto en ese dominio. El cuadrado, en este caso, no es el laplaciano, sino (después de establecer ) ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\beta \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \beta =\gamma _{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})}$ ${\displaystyle D^{2}=\Delta +m^{2}}$ ${\displaystyle \hbar =c=1.}$

Ejemplo 4

Otro operador de Dirac surge en el análisis de Clifford . En el espacio n euclidiano esto es

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

donde { e _j : j = 1, ..., n } es una base ortonormal para el espacio n euclidiano , y se considera que R ⁿ está incluido en un álgebra de Clifford .

Este es un caso especial del operador Atiyah-Singer-Dirac que actúa sobre secciones de un haz de espinores .

Ejemplo 5

Para una variedad de espín , M , el operador Atiyah-Singer-Dirac se define localmente de la siguiente manera: Para x ∈ M y e ₁ ( x ), ..., e _j ( x ) una base ortonormal local para el espacio tangente de M en x , el operador Atiyah-Singer-Dirac es

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)},}$

donde está la conexión de espín , un levantamiento de la conexión de Levi-Civita en M al haz de espín sobre M. El cuadrado en este caso no es el laplaciano, sino donde está la curvatura escalar de la conexión. ^[3] ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$ ${\displaystyle D^{2}=\Delta +R/4}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplo 6

En la variedad de dimensión de Riemann con conexión Levi-Civita y una base ortonormal , podemos definir derivada exterior y coderivada como ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle n=dim(M)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1}^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}}$.

Entonces podemos definir un operador de Dirac-Kähler ^{[4] [5] [6]} , de la siguiente manera ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta }$.

El operador actúa sobre secciones del haz de Clifford en general, y puede restringirse al haz de espinor, un ideal del haz de Clifford, sólo si el operador de proyección sobre el ideal es paralelo. ^{[4] [5] [6]}

Generalizaciones

En el análisis de Clifford, el operador D  : C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , S ) → C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , C ^k ⊗ S ) que actúa sobre funciones con valores de espinor definidas por

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}}$

A veces se le llama operador de Dirac en k variables de Clifford. En la notación, S es el espacio de espinores, son variables n -dimensionales y es el operador de Dirac en la i -ésima variable. Ésta es una generalización común del operador de Dirac ( k = 1 ) y del operador de Dolbeault ( n = 2 , k arbitrario). Es un operador diferencial invariante , invariante bajo la acción del grupo SL( k ) × Spin( n ) . La resolución de D sólo se conoce en algunos casos especiales. ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}$ ${\displaystyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}$

Ver también

• Jerarquía AKNS
• ecuación de dirac
• Álgebra de Clifford
• Análisis de Clifford
• Conexión
• Operador Dolbeault
• núcleo de calor
• paquete de espinor

Referencias

1. Mojón Álvarez, Diego (2020). Operadores de Dirac (PDF) (Tesis de pregrado). Universidad de Santiago de Compostela.
2. "Estructura de espinor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
3. Jurgen Jost, (2002) "Geometría riemanniana y análisis geométrico (tercera edición)", Springer. Véase el apartado 3.4, páginas 142 y siguientes.
4. Graf, Wolfgang (1978). "Formas diferenciales como espinores". Annales de l'Institut Henri Poincaré A. 29 (1): 85-109. ISSN  2400-4863.
5. Benn, Ian M.; Tucker, Robin W. (1987). Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física. A. Hilger. ISBN 978-0-85274-169-6.
6. Kycia, Radosław Antoni (29 de julio de 2022). "El lema de Poincaré para formas codiferenciales, anticoexactas y aplicaciones a la física". Resultados en Matemáticas . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi :10.1007/s00025-022-01646-z. ISSN  1420-9012. S2CID  221802588.

• Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría de Riemann , Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-2055-1
• Colombo, F., I.; Sabadini, I. (2004), Análisis de sistemas de Dirac y álgebra computacional , Birkhauser Verlag AG, ISBN 978-3-7643-4255-5