Hiperdeterminante

Concepto en álgebra

En álgebra , el hiperdeterminante es una generalización del determinante . Mientras que un determinante es una función escalar definida en una matriz cuadrada de n × n , un hiperdeterminante se define en una matriz multidimensional de números o tensor . Como determinante, el hiperdeterminante es un polinomio homogéneo con coeficientes enteros en los componentes del tensor. Muchas otras propiedades de los determinantes se generalizan de alguna manera a los hiperdeterminantes, pero a diferencia de un determinante, el hiperdeterminante no tiene una interpretación geométrica simple en términos de volúmenes .

Hay al menos tres definiciones de hiperdeterminante. El primero fue descubierto por Arthur Cayley en 1843 presentado a la Sociedad Filosófica de Cambridge . ^[1] Consta de dos partes y el primer hiperdeterminante de Cayley se trata en la segunda parte. ^[1] Generalmente se denota por det ₀ . El segundo hiperdeterminante de Cayley se originó en 1845 ^[2] y a menudo se denomina "Det". Esta definición es un discriminante para un punto singular en un mapa multilineal con valores escalares . ^[2]

El primer hiperdeterminante de Cayley se define sólo para hipercubos que tienen un número par de dimensiones (aunque existen variaciones en dimensiones impares ). El segundo hiperdeterminante de Cayley se define para un rango restringido de formatos de hipermatriz (incluidos los hipercubos de cualquier dimensión). El tercer hiperdeterminante, definido más recientemente por Glynn, ocurre sólo para campos de característica prima p . Se denota por det _p y actúa sobre todos los hipercubos sobre dicho campo. ^[3]

Sólo el primer y el tercer hiperdeterminante son "multiplicativos", excepto el segundo hiperdeterminante en el caso de formatos "límites". El primer y tercer hiperdeterminantes también tienen fórmulas cerradas como polinomios y por tanto se conocen sus grados, mientras que el segundo no parece tener fórmula cerrada o grado en todos los casos que se conocen.

La notación de determinantes se puede extender a hiperdeterminantes sin cambios ni ambigüedad. Por tanto, el hiperdeterminante de una hipermatriz A puede escribirse utilizando la notación de barras verticales como | Un | o como det ( A ).

Un libro de texto moderno estándar sobre el segundo hiperdeterminante Det de Cayley (así como muchos otros resultados) es "Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales" de Gel'fand , Kapranov y Zelevinsky . ^[4] Su notación y terminología se siguen en la siguiente sección.

El segundo hiperdeterminante de Cayley, Det.

En el caso especial de una hipermatriz 2 × 2 × 2, el hiperdeterminante se conoce como hiperdeterminante de Cayley en honor al matemático británico Arthur Cayley, quien lo descubrió. La expresión cuártica para el hiperdeterminante de Cayley de la hipermatriz A con componentes a _ijk , i , j , k ∊ {0, 1 } está dada por

Det( A ) = a ₀₀₀ ² a ₁₁₁ ² + a ₀₀₁ ² a ₁₁₀ ² + a ₀₁₀ ² a ₁₀₁ ² + a ₁₀₀ ² a ₀₁₁ ²

− 2 a ₀₀₀ a ₀₀₁ a ₁₁₀ a ₁₁₁ − 2 a ₀₀₀ a ₀₁₀ a ₁₀₁ a ₁₁₁ − 2 a ₀₀₀ a ₀₁₁ a ₁₀₀ a ₁₁₁ − 2 a ₀₀₁ a ₀₁₀ a ₁₀₁ a ₁₁₀ − 2 a ₀₀₁ a ₀₁₁ a ₁₁₀ a ₁₀₀ − 2 un ₀₁₀ un ₀₁₁ un ₁₀₁ un ₁₀₀ + 4 un ₀₀₀ un ₀₁₁ un ₁₀₁ un ₁₁₀ + 4 un ₀₀₁ un ₀₁₀ un ₁₀₀ un ₁₁₁ .

Esta expresión actúa como discriminante en el sentido de que es cero si y sólo si hay una solución distinta de cero en seis incógnitas x ⁱ , y ⁱ , z ⁱ , (con superíndice i = 0 o 1) del siguiente sistema de ecuaciones

a ₀₀₀ x ⁰ y ⁰ + a ₀₁₀ x ⁰ y ¹ + a ₁₀₀ x ¹ y ⁰ + a ₁₁₀ x ¹ y ¹ = 0

a ₀₀₁ x ⁰ y ⁰ + a ₀₁₁ x ⁰ y ¹ + a ₁₀₁ x ¹ y ⁰ + a ₁₁₁ x ¹ y ¹ = 0

a ₀₀₀ x ⁰ z ⁰ + a ₀₀₁ x ⁰ z ¹ + a ₁₀₀ x ¹ z ⁰ + a ₁₀₁ x ¹ z ¹ = 0

a ₀₁₀ x ⁰ z ⁰ + a ₀₁₁ x ⁰ z ¹ + a ₁₁₀ x ¹ z ⁰ + a ₁₁₁ x ¹ z ¹ = 0

a ₀₀₀ y ⁰ z ⁰ + a ₀₀₁ y ⁰ z ¹ + a ₀₁₀ y ¹ z ⁰ + a ₀₁₁ y ¹ z ¹ = 0

a ₁₀₀ y ⁰ z ⁰ + a ₁₀₁ y ⁰ z ¹ + a ₁₁₀ y ¹ z ⁰ + a ₁₁₁ y ¹ z ¹ = 0.

El hiperdeterminante se puede escribir en una forma más compacta utilizando la convención de Einstein para sumar índices y el símbolo de Levi-Civita, que es una densidad tensorial alterna con componentes ε ^ij especificados por ε ⁰⁰ = ε ¹¹ = 0, ε ⁰¹ = −ε ¹⁰ = 1:

b _kn = (1/2)ε ^il ε ^jm a _ijk a _lmn

Det( A ) = (1/2)ε ^il ε ^jm b _ij b _lm .

Usando las mismas convenciones podemos definir una forma multilineal.

f ( x , y , z ) = a _ijk x ⁱ y ^j z ^k

Entonces el hiperdeterminante es cero si y sólo si hay un punto no trivial donde todas las derivadas parciales de f desaparecen.

Como expresión tensorial

El determinante anterior se puede escribir en términos de una generalización del símbolo de Levi-Civita :

${\displaystyle \mathrm {Det} (A)=f^{ijkl}f^{nmop}f^{qrst}a_{inq}a_{jmr}a_{kos}a_{lpt}}$

donde f es una generalización del símbolo de Levi-Civita que permite que dos índices sean iguales:

${\displaystyle f^{0011}=f^{1100}=f^{0110}=f^{1001}=-1/2}$

${\displaystyle f^{0101}=f^{1010}=1}$

donde la f satisface:

${\displaystyle f^{...abc...}+f^{...bca...}+f^{...cab...}+f^{...cba...}+f^{...acb...}+f^{...bac...}=0.}$

como discriminante

Para hipermatrices simétricas 2 × 2 × 2 × ⋯, el hiperdeterminante es el discriminante de un polinomio. Por ejemplo,

${\displaystyle a_{000}=a}$

${\displaystyle a_{001}=a_{010}=a_{100}=b}$

${\displaystyle a_{110}=a_{101}=a_{011}=c}$

${\displaystyle a_{111}=d}$

Entonces Det( ​​A ) es el discriminante de ${\displaystyle ax^{3}+3bx^{2}+3cx+d.}$

Otros hiperdeterminantes generales relacionados con Det de Cayley

Definiciones

_{En el caso general ,} un hiperdeterminante se define como un discriminante de un mapa multilineal f desde espacios vectoriales de dimensión finita Vi hasta su campo subyacente K , que puede ser o . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle f:V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{r}\to K}$

f se puede identificar con un tensor en el producto tensorial de cada espacio dual V ^* _i

${\displaystyle f\in V_{1}^{*}\otimes V_{2}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{r}^{*}}$

Por definición, un hiperdeterminante Det ( f ) es un polinomio en componentes del tensor f que es cero si y sólo si el mapa f tiene un punto no trivial donde todas las derivadas parciales con respecto a los componentes de sus argumentos vectoriales desaparecen (un punto no trivial -punto trivial significa que ninguno de los argumentos del vector es cero.)

Los espacios vectoriales Vi _no necesitan tener las mismas dimensiones y se dice que el hiperdeterminante es de formato ( k 1 _, ..., k _r ) k _i > 0, si la dimensión de cada espacio Vi _es k _i + 1. Se puede demostrar que el hiperdeterminante existe para un formato dado y es único hasta un factor escalar, si y sólo si el número más grande en el formato es menor o igual a la suma de los otros números en el formato. ^[5]

Esta definición no proporciona un medio para construir el hiperdeterminante y, en general, ésta es una tarea difícil. Para hiperdeterminantes con formatos donde r ≥ 4, el número de términos suele ser demasiado grande para escribir el hiperdeterminante en su totalidad. Para r mayor , incluso el grado del polinomio aumenta rápidamente y no tiene una fórmula general conveniente.

Ejemplos

El caso de formatos con r = 1 trata con vectores de longitud k ₁ + 1. En este caso la suma de los otros números de formato es cero y k ₁ es siempre mayor que cero por lo que no existen hiperdeterminantes.

El caso de r = 2 trata con matrices ( k ₁ + 1) × ( k ₂ + 1) . Cada número de formato debe ser mayor o igual al otro, por lo tanto sólo las matrices cuadradas S tienen hiperdeterminantes y pueden identificarse con el determinante det( S ). Aplicar la definición de hiperdeterminante como discriminante a este caso requiere que det( S ) sea cero cuando hay vectores X e Y tales que las ecuaciones matriciales SX = 0 e YS = 0 tengan soluciones para X e Y distintos de cero .

Para r > 2 hay hiperdeterminantes con diferentes formatos que satisfacen la desigualdad de formato. Por ejemplo, el hiperdeterminante 2 × 2 × 2 de Cayley tiene formato (1, 1, 1) y también existe un hiperdeterminante 2 × 2 × 3 de formato (1, 1, 2) . Sin embargo, un hiperdeterminante 2 × 2 × 4 tendría formato (1, 1, 3) pero 3 > 1 + 1, por lo que no existe.

Grado

Dado que el hiperdeterminante es homogéneo en sus variables tiene un grado bien definido que es función del formato y se escribe N ( k ₁ , ..., k _r ). En casos especiales podemos escribir una expresión para el grado. Por ejemplo, se dice que un hiperdeterminante tiene formato límite cuando el número de formato más grande es la suma de los demás y en este caso tenemos ^[6]

${\displaystyle N(k_{2}+\cdots +k_{r},k_{2},\ldots ,k_{r})={\frac {(k_{2}+\cdots +k_{r}+1)!}{k_{2}!\cdots k_{r}!}}.}$

Para hiperdeterminantes de dimensiones 2 ^r , una fórmula generadora conveniente para los grados N _r es ^[7]

${\displaystyle \sum _{r=0}^{\infty }N_{r}{\frac {z^{r}}{r!}}={\frac {e^{-2z}}{(1-z)^{2}}}.}$

En particular, para r = 2,3,4,5,6 el grado es respectivamente 2, 4, 24, 128, 880 y luego crece muy rápidamente.

^{En [7]} se dan otras tres fórmulas especiales para calcular el grado de hiperdeterminantes.

para 2 × m × m use N (1, m − 1, m − 1) = 2 m ( m − 1)

para 3 × m × m use N (2, m − 1, m − 1) = 3 m ( m − 1) ²

para 4 × m × m use N (3, m − 1, m − 1) = (2/3) m ( m − 1)( m − 2)(5 m − 3)

Un resultado general que se desprende de la regla del producto de los hiperdeterminantes y las propiedades de invariancia enumeradas a continuación es que el mínimo común múltiplo de las dimensiones de los espacios vectoriales sobre los que actúa el mapa lineal divide el grado del hiperdeterminante, es decir,

mcm( k ₁ + 1, ..., k _r + 1) | norte ( k ₁ , ..., k _r ).

Propiedades de los hiperdeterminantes

Los hiperdeterminantes generalizan muchas de las propiedades de los determinantes. La propiedad de ser discriminante es una de ellas y se utiliza en la definición anterior.

Propiedades multiplicativas

Una de las propiedades más familiares de los determinantes es la regla de multiplicación, que a veces se conoce como fórmula de Binet-Cauchy . Para matrices A y B cuadradas de n × n, la regla dice que

det( AB ) = det( A )det( B )

Esta es una de las reglas más difíciles de generalizar de determinantes a hiperdeterminantes porque las generalizaciones de productos de hipermatrices pueden dar hipermatrices de diferentes tamaños. El dominio completo de los casos en los que la regla del producto puede generalizarse es todavía un tema de investigación. Sin embargo, hay algunos ejemplos básicos que se pueden mencionar.

Dada una forma multilineal f ( x ₁ , ..., x _r ) podemos aplicar una transformación lineal en el último argumento usando una matriz B , y _r = B x _r de n × n . Esto genera una nueva forma multilineal del mismo formato,

gramo ( x ₁ , ..., x _r ) = f ( x ₁ , ..., y _r )

En términos de hipermatrices, esto define un producto que se puede escribir g = f . B

Entonces es posible utilizar la definición de hiperdeterminante para demostrar que

det( f . B ) = det( f )det( B ) ^{N / n}

donde n es el grado del hiperdeterminante. Esto generaliza la regla del producto para matrices.

Se han demostrado más generalizaciones de la regla del producto para productos apropiados de hipermatrices de formato límite. ^[8]

_{El primer hiperdeterminante det 0} de Cayley es multiplicativo en el siguiente sentido. Sea A una hipermatriz r -dimensional n × ... × n con elementos a _{i , ..., k} , B sea una hipermatriz s -dimensional n × ... × n con elementos b _... , y C sea una hipermatriz ( r + s − 2) dimensional n × ... × n con elementos c _... tal que (usando la notación de Einstein )

c _{yo , ..., j , l , ..., m} = a _{yo , ..., j} ^k b _{k , l , ..., m} ,

entonces

det ₀ (C) = det ₀ (A) det ₀ (B).

Propiedades de invariancia

Un determinante no suele considerarse en términos de sus propiedades como invariante algebraico, pero cuando los determinantes se generalizan a hiperdeterminantes la invariancia es más notable. Usando la regla de multiplicación anterior en el hiperdeterminante de una hipermatriz H multiplicada por una matriz S con determinante igual a uno se obtiene

det( H . S ) = det( H )

En otras palabras, el hiperdeterminante es un invariante algebraico bajo la acción del grupo lineal especial SL( n ) sobre la hipermatriz. La transformación se puede aplicar igualmente bien a cualquiera de los espacios vectoriales sobre los que actúa el mapa multilineal para dar otra invariancia distinta. Esto lleva al resultado general,

El hiperdeterminante de formato es un invariante bajo una acción del grupo. ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{r})}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (k_{1}+1)\otimes \cdots \otimes \mathrm {SL} (k_{r}+1)}$

Por ejemplo, el determinante de una matriz n × n es un invariante SL( n ) ² y el hiperdeterminante de Cayley para una hipermatriz 2 × 2 × 2 es un invariante SL(2) ³ .

Una propiedad más familiar de un determinante es que si sumas un múltiplo de una fila (o columna) a una fila (o columna) diferente de una matriz cuadrada, su determinante no cambia. Este es un caso especial de su invariancia en el caso en que la matriz de transformación lineal especial es una matriz identidad más una matriz con un solo elemento fuera de la diagonal distinto de cero . Esta propiedad se generaliza inmediatamente a hiperdeterminantes, lo que implica invariancia cuando se agrega un múltiplo de un segmento de una hipermatriz a otro segmento paralelo.

Un hiperdeterminante no es el único invariante algebraico polinomial para el grupo que actúa sobre la hipermatriz. Por ejemplo, se pueden formar otros invariantes algebraicos sumando y multiplicando hiperdeterminantes. En general, las invariantes forman un álgebra de anillos y del teorema de la base de Hilbert se deduce que el anillo se genera de forma finita. En otras palabras, para un formato de hipermatriz dado, todos los invariantes algebraicos polinomiales con coeficientes enteros se pueden formar mediante suma, resta y multiplicación a partir de un número finito de ellos. En el caso de una hipermatriz 2 × 2 × 2, todas esas invariantes se pueden generar de esta manera a partir del segundo hiperdeterminante de Cayley únicamente, pero este no es un resultado típico para otros formatos. Por ejemplo, el segundo hiperdeterminante para una hipermatriz de formato 2 × 2 × 2 × 2 es un invariante algebraico de grado 24, pero todos los invariantes se pueden generar a partir de un conjunto de cuatro invariantes más simples de grado 6 y menos. ^[9]

Historia y aplicaciones

El segundo hiperdeterminante fue inventado y nombrado por Arthur Cayley en 1845, quien pudo escribir la expresión para el formato 2 × 2 × 2, pero Cayley pasó a usar el término para cualquier invariante algebraico y luego abandonó el concepto en favor de una teoría general de formas polinómicas a la que llamó "cuántica". ^[10] Durante los siguientes 140 años hubo pocos avances en el tema y los hiperdeterminantes fueron en gran medida olvidados hasta que fueron redescubiertos por Gel'fand, Kapranov y Zelevinsky en la década de 1980 como una rama de su trabajo sobre funciones hipergeométricas generalizadas . ^[11] Esto los llevó a escribir su libro de texto en el que el hiperdeterminante se reintroduce como discriminante. De hecho, el primer hiperdeterminante de Cayley es más fundamental que el segundo, ya que es una generalización directa del determinante ordinario y ha encontrado aplicaciones recientes en la conjetura de Alon-Tarsi. ^{[12] [13]}

Desde entonces, el hiperdeterminante ha encontrado aplicaciones en una amplia gama de disciplinas, incluida la geometría algebraica , la teoría de números , la computación cuántica y la teoría de cuerdas .

En geometría algebraica, el segundo hiperdeterminante se estudia como un caso especial de discriminante X. Un resultado principal es que existe una correspondencia entre los vértices del politopo de Newton para hiperdeterminantes y la "triangulación" de un cubo en símplices . ^[4]

En computación cuántica, las invariantes de hipermatrices de formato 2 ^N se utilizan para estudiar el entrelazamiento de N qubits . ^[14]

En la teoría de cuerdas, el hiperdeterminante surgió por primera vez en relación con las dualidades de cuerdas y la entropía de los agujeros negros. ^[15]

Referencias

1. A. Cayley, "Sobre la teoría de los determinantes", Trans. Camb. Filos. Soc. , 1-16 (1843) https://archive.org/details/collectedmathem01caylgoog
2. A. Cayley, "Sobre la teoría de las transformaciones lineales", Cambridge Math. J. , vol 4 , 193–209, (1845), https://archive.org/details/collectedmathem01caylgoog
3. David G. Glynn, "Las contrapartes modulares de los hiperdeterminantes de Cayley", Boletín de la Sociedad Australiana de Matemáticas , vol. 57 (3) 479 (1998).
4. Gelfand, Kapranov y Zelevinsky 1994.
5. Gelfand, Kapranov y Zelevinsky 1994, capítulo 14.
6. Gelfand, Kapranov y Zelevinsky 1994, pág. 455.
7. Gelfand, Kapranov y Zelevinsky 1994, pág. 457.
8. Dionisi y Ottaviani 2001.
9. Luque y Thibon 2003.
10. Crilly y Crilly 2006, pag. 176.
11. Gelfand, Kapranov y Zelevinsky 1994, Prefacio.
12. Zappa 1997.
13. Glynn 2010.
14. Miyake 2003.
15. Duff 2007.

Fuentes

• Cayley, A. (1849). "Sobre la teoría de los determinantes". Trans. Camb. Filos. Soc . VIII : 1–16.
• Cayley, A. (1845). "Sobre la teoría de las transformaciones lineales". Matemáticas de Cambridge. J.​ 4 : 193–209.
• Glynn, David G. (1998). "Las contrapartes modulares de los hiperdeterminantes de Cayley". Boletín de la Sociedad Australiana de Matemáticas . 57 (3): 479–492. doi : 10.1017/s0004972700031890 .
• Gelfand, IM; Kapranov, MM; Zelevinsky, AV (1994). Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales . Boston: Birkhäuser. ISBN 9780817636609.
• Dionisi, Carla; Ottaviani, Giorgio (2001). "El teorema de Binet-Cauchy para el hiperdeterminante de matrices multidimensionales de formato de límite". arXiv : matemáticas/0104281 .
• Luque, JG.; Thibon, JY. (2 de abril de 2003). "Invariantes polinomiales de cuatro qubits". Revisión física A. 67 (4): 042303. arXiv : quant-ph/0212069 . Código bibliográfico : 2003PhRvA..67d2303L. doi : 10.1103/PhysRevA.67.042303. S2CID  119446859.
• Crilly, Tony; Crilly, AJ (2006). Arthur Cayley: matemático laureado de la época victoriana . Baltimore, Maryland: Universidad Johns Hopkins. ISBN 9780801880117.
• Miyake, A. (2003). "Clasificación de estados entrelazados multipartitos por determinantes multidimensionales". Revisión física A. 67 : 012108. arXiv : quant-ph/0206111 . Código bibliográfico : 2003PhRvA..67a2108M. doi : 10.1103/PhysRevA.67.012108. S2CID  119659352.
• Duff, M. (2007). "Trialidad de cuerdas, entropía de agujeros negros e hiperdeterminante de Cayley". Revisión física D. 76 (2): 025017. arXiv : hep-th/0601134 . Código bibliográfico : 2007PhRvD..76b5017D. doi : 10.1103/PhysRevD.76.025017. S2CID  15829599.
• Zappa, Paolo (julio de 1997). "El determinante de Cayley del tensor determinante y la conjetura de Alon-Tarsi". Avances en Matemática Aplicada . 19 (1): 31–44. doi : 10.1006/aama.1996.0522 .
• Glynn, David G. (enero de 2010). "Las conjeturas de Alon-Tarsi y Rota en la dimensión Prime Minus One". Revista SIAM de Matemática Discreta . 24 (2): 394–399. doi : 10.1137/090773751.

Otras lecturas

Para otros desarrollos históricos no contenidos en el libro de Gel'fand, Kapranov y Zelevinsky, ver:

• Lecat, Mauricio (1910). Leçons sur la Theorie des Determinants an Dimensions . Gand: Anuncio. Anfitrión.
• Lecat, Mauricio (1911). Histoire de la Theorie des Determinants a plusieurs Dimensions . Gand: Anuncio. Anfitrión.
• Pascal, E. (1897). Yo determinantes. Milán: Hoepli.(también traducido al alemán: "Die Determinanten", H. Leitzmann, Halle, 1900.) Hay una breve sección sobre los hiperdeterminantes y su historia hasta 1900.