Diferencial inexacto

Una diferencial inexacta o diferencial imperfecta es una diferencial cuya integral depende de la trayectoria. Se utiliza con mayor frecuencia en termodinámica para expresar cambios en cantidades dependientes de la trayectoria, como el calor y el trabajo, pero se define de manera más general dentro de las matemáticas como un tipo de forma diferencial . Por el contrario, una integral de una diferencial exacta siempre es independiente de la trayectoria, ya que la integral actúa para invertir el operador diferencial. En consecuencia, una cantidad con una diferencial inexacta no se puede expresar como una función solo de las variables dentro de la diferencial. Es decir, su valor no se puede inferir simplemente observando los estados inicial y final de un sistema dado. ^[1] Las diferenciales inexactas se utilizan principalmente en cálculos que involucran calor y trabajo porque son funciones de trayectoria , no funciones de estado .

Definición

Una diferencial inexacta es una diferencial para la cual la integral sobre dos trayectorias con los mismos puntos finales es diferente. Específicamente, existen trayectorias integrables tales que , y En este caso, denotamos las integrales como y respectivamente para hacer explícita la dependencia de la trayectoria del cambio de la cantidad que estamos considerando como . ${\displaystyle \delta u}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)}$ ${\displaystyle \gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)}$ $${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}\delta u\not =\int _{\gamma _{2}}\delta u}$$ ${\displaystyle \Delta u|_{\gamma _{1}}}$ ${\displaystyle \Delta u|_{\gamma _{2}}}$ ${\displaystyle u}$

De manera más general, una diferencial inexacta es una forma diferencial que no es una diferencial exacta , es decir, para todas las funciones , ${\displaystyle \delta u}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \mathrm {d} f\neq \delta u}$$

El teorema fundamental del cálculo para las integrales de línea requiere independencia de la trayectoria para expresar los valores de un campo vectorial dado en términos de las derivadas parciales de otra función que es el análogo multivariado de la antiderivada. Esto se debe a que no puede haber una representación única de una antiderivada para diferenciales inexactas, ya que su variación es inconsistente a lo largo de diferentes trayectorias. Esta estipulación de independencia de la trayectoria es un añadido necesario al teorema fundamental del cálculo porque en el cálculo unidimensional solo hay una trayectoria entre dos puntos definidos por una función.

Notación

Termodinámica

En lugar del símbolo diferencial d , se utiliza el símbolo δ , una convención que se originó en el trabajo del siglo XIX del matemático alemán Carl Gottfried Neumann , ^[2] que indica que Q (calor) y W (trabajo) dependen de la trayectoria, mientras que U (energía interna) no lo es.

Mecánica estadística

En mecánica estadística, los diferenciales inexactos se denotan a menudo con una barra a través del operador diferencial, đ . ^[3] En LaTeX, el comando "\rlap{\textrm{d}}{\bar{\phantom{w}}}" es una aproximación o simplemente "\dj" para un carácter dyet , que necesita la codificación T1 . ^{[ cita requerida ]}

Matemáticas

En matemáticas, los diferenciales inexactos suelen denominarse de manera más general simplemente formas diferenciales que a menudo se escriben simplemente como . ^[4] ${\displaystyle \omega }$

Ejemplos

Distancia total

Cuando caminas de un punto a otro a lo largo de una línea (sin cambiar de dirección), tanto tu desplazamiento neto como la distancia total recorrida son iguales a la longitud de dicha línea . Si luego regresas al punto (sin cambiar de dirección), entonces tu desplazamiento neto es cero mientras que la distancia total recorrida es . Este ejemplo captura la idea esencial detrás del diferencial inexacto en una dimensión. Nótese que si nos permitiéramos cambiar de dirección, entonces podríamos dar un paso hacia adelante y luego hacia atrás en cualquier punto en el tiempo al ir de a y al hacerlo aumentar la distancia total recorrida a un número arbitrariamente grande mientras mantenemos constante el desplazamiento neto. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Reelaborando lo anterior con diferenciales y tomando como a lo largo del eje , la diferencial de distancia neta es , una diferencial exacta con antiderivada . Por otro lado, la diferencial de distancia total es , que no tiene antiderivada. El camino tomado es donde existe un tiempo tal que es estrictamente creciente antes y estrictamente decreciente después. Entonces es positivo antes y negativo después, lo que produce las integrales, exactamente los resultados que esperábamos del argumento verbal anterior. ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f=\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |\mathrm {d} x|}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \Delta f=\int _{\gamma }\mathrm {d} x=0}$$ $${\displaystyle \Delta g|_{\gamma }=\int _{\gamma }|\mathrm {d} x|=\int _{A}^{B}\mathrm {d} x+\int _{B}^{A}(-\mathrm {d} x)=2\int _{A}^{B}\mathrm {d} x=2AB}$$

Primera ley de la termodinámica

Los diferenciales inexactos aparecen explícitamente en la primera ley de la termodinámica , donde es la energía, es el cambio diferencial en el calor y es el cambio diferencial en el trabajo. Con base en las constantes del sistema termodinámico, podemos parametrizar la energía promedio de varias maneras diferentes. Por ejemplo, en la primera etapa del ciclo de Carnot un gas es calentado por un depósito, lo que nos da una expansión isotérmica de ese gas. Una cierta cantidad diferencial de calor ingresa al gas. Durante la segunda etapa, se permite que el gas se expanda libremente, produciendo una cierta cantidad diferencial de trabajo . La tercera etapa es similar a la primera, excepto que el calor se pierde por contacto con un depósito frío, mientras que el cuarto ciclo es como el segundo, excepto que el entorno realiza trabajo sobre el sistema para comprimir el gas. Debido a que los cambios generales en calor y trabajo son diferentes en diferentes partes del ciclo, hay un cambio neto distinto de cero en el calor y el trabajo, lo que indica que los diferenciales y deben ser diferenciales inexactos. $${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q-\delta W}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \delta Q}$ ${\displaystyle \delta W}$ ${\displaystyle \delta Q=TdS}$ ${\displaystyle \delta W=PdV}$ ${\displaystyle \delta Q}$ ${\displaystyle \delta W}$

La energía interna U es una función de estado , lo que significa que su cambio se puede inferir simplemente comparando dos estados diferentes del sistema (independientemente de su camino de transición), que por lo tanto podemos indicar con U ₁ y U ₂ . Dado que podemos pasar del estado U ₁ al estado U ₂ ya sea proporcionando calor Q = U ₂ − U ₁ o trabajo W = U ₂ − U ₁ , dicho cambio de estado no identifica de manera única la cantidad de trabajo W realizado al sistema o el calor Q transferido, sino solo el cambio en la energía interna Δ U .

Calor y trabajo

Un incendio requiere calor, combustible y un agente oxidante. La energía necesaria para superar la barrera de energía de activación para la combustión se transfiere en forma de calor al sistema, lo que produce cambios en la energía interna del sistema. En un proceso, la entrada de energía para iniciar un incendio puede comprender tanto trabajo como calor, como cuando se frota yesca (trabajo) y se experimenta fricción (calor) para iniciar un incendio. La combustión resultante es altamente exotérmica, lo que libera calor. El cambio general en la energía interna no revela el modo de transferencia de energía y cuantifica solo el trabajo y el calor netos. La diferencia entre los estados inicial y final de la energía interna del sistema no explica el alcance de las interacciones energéticas transpiradas. Por lo tanto, la energía interna es una función de estado (es decir, diferencial exacta), mientras que el calor y el trabajo son funciones de trayectoria (es decir, diferenciales inexactas) porque la integración debe explicar la trayectoria tomada.

Factores integradores

A veces es posible convertir una diferencial inexacta en una exacta mediante un factor de integración . El ejemplo más común de esto en termodinámica es la definición de entropía : En este caso, δQ es una diferencial inexacta, porque su efecto sobre el estado del sistema puede ser compensado por δW . Sin embargo, cuando se divide por la temperatura absoluta y cuando el intercambio ocurre en condiciones reversibles (de ahí el subíndice _rev ), produce una diferencial exacta: la entropía S también es una función de estado. $${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}}$$

Ejemplo

Consideremos la forma diferencial inexacta, Esta debe ser inexacta considerando ir al punto (1,1) . Si primero aumentamos y y luego aumentamos x , entonces eso corresponde a integrar primero sobre y y luego sobre x . Integrar sobre y primero contribuye y luego integrar sobre x contribuye . Por lo tanto, a lo largo del primer camino obtenemos un valor de 2. Sin embargo, a lo largo del segundo camino obtenemos un valor de . Podemos hacer una diferencial exacta multiplicándola por x , obteniendo . Y entonces es una diferencial exacta. $${\displaystyle \delta u=2y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y.}$$ ${\textstyle \int _{0}^{1}x\,dy|_{x=0}=0}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {\mathrm {d} } x|_{y=1}=2}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {d} x|_{y=0}+\int _{0}^{1}x\,\mathrm {d} y|_{x=1}=1}$ ${\displaystyle \delta u}$ $${\displaystyle x\,\delta u=2xy\,\mathrm {d} x+x^{2}\,\mathrm {d} y=\mathrm {\mathrm {d} } (x^{2}y)}$$ ${\displaystyle x\,\delta u}$

Véase también

• Formas diferenciales cerradas y exactas para un tratamiento de alto nivel
• Diferencial (matemáticas)
• Diferencial exacto
• Ecuación diferencial exacta
• Factor integrador para resolver ecuaciones diferenciales no exactas haciéndolas exactas
• Campo vectorial conservativo

Referencias

1. Laidler, Keith, J. (1993). El mundo de la química física . Oxford University Press. ISBN 0-19-855919-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Neumann, Carl G. (1875). Vorlesungen über die mechanische Theorie der Wärme [Conferencias sobre la teoría mecánica del calor ]. Leipzig: Teubner.
3. Reif, Fredrick (1965). Fundamentos de física estadística y térmica . McGraw Hill.
4. Rudin, Walter (2013). Principios del análisis matemático . McGraw Hill.

Enlaces externos

• Diferencial inexacto – de Wolfram MathWorld
• Diferenciales exactas e inexactas – Universidad de Arizona
• Diferenciales exactas e inexactas – Universidad de Texas
• Diferencial exacto – de Wolfram MathWorld