Determinante funcional

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , a veces es posible generalizar la noción de determinante de una matriz cuadrada de orden finito (que representa una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo) al caso de dimensión infinita de un operador lineal S que aplica un espacio de funciones V a sí mismo. La cantidad correspondiente det( S ) se denomina determinante funcional de S .

Existen varias fórmulas para el determinante funcional. Todas se basan en el hecho de que el determinante de una matriz finita es igual al producto de los valores propios de la matriz. Una definición matemáticamente rigurosa es mediante la función zeta del operador ,

${\displaystyle \zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\,,}$

donde tr representa la traza funcional : el determinante se define entonces por

${\displaystyle \det S=e^{-\zeta _{S}'(0)}\,,}$

donde la función zeta en el punto s = 0 se define por continuación analítica . Otra posible generalización, que suelen utilizar los físicos cuando utilizan el formalismo de la integral de trayectorias de Feynman en la teoría cuántica de campos (QFT), utiliza una integración funcional :

${\displaystyle \det S\propto \left(\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi ,S\phi \rangle }\right)^{-2}\,.}$

Esta integral de trayectoria sólo está bien definida hasta cierta constante multiplicativa divergente. Para darle un significado riguroso, debe dividirse por otro determinante funcional, cancelando así efectivamente las "constantes" problemáticas.

En apariencia, existen dos definiciones diferentes del determinante funcional: una que procede de la teoría cuántica de campos y otra de la teoría espectral . Cada una de ellas implica algún tipo de regularización : en la definición popular en física, dos determinantes sólo pueden compararse entre sí; en matemáticas, se utilizó la función zeta. Osgood, Phillips y Sarnak (1988) han demostrado que los resultados obtenidos al comparar dos determinantes funcionales en el formalismo QFT concuerdan con los resultados obtenidos por el determinante funcional zeta.

Definición de fórmulas

Versión de integral de trayectoria

Para un operador autoadjunto positivo S en un espacio euclidiano de dimensión finita V , la fórmula

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}=\int _{V}e^{-\pi \langle x,Sx\rangle }\,dx}$

sostiene.

El problema es encontrar una manera de dar sentido al determinante de un operador S en un espacio de funciones de dimensión infinita. Un enfoque, favorecido en la teoría cuántica de campos, en la que el espacio de funciones consiste en trayectorias continuas en un intervalo cerrado, es intentar calcular formalmente la integral

${\displaystyle \int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\phi \rangle }\,{\mathcal {D}}\phi }$

donde V es el espacio de funciones y el producto interno L 2 , y la medida de Wiener . El supuesto básico sobre S es que debería ser autoadjunto y tener un espectro discreto λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... con un conjunto correspondiente de funciones propias f ₁ , f ₂ , f ₃ , ... que sean completas en L 2 (como sería, por ejemplo, el caso del operador de segunda derivada en un intervalo compacto Ω). Esto significa, aproximadamente, que todas las funciones φ pueden escribirse como combinaciones lineales de las funciones f _i : ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}c_{i}|f_{i}\rangle \quad {\text{with }}c_{i}=\langle f_{i}|\phi \rangle .}$

Por lo tanto, el producto interno en la exponencial se puede escribir como

${\displaystyle \langle \phi |S|\phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i}|S|f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}\lambda _{i}.}$

En la base de las funciones f _i , la integración funcional se reduce a una integración sobre todas las funciones base. Formalmente, suponiendo que nuestra intuición del caso de dimensión finita se traslada al entorno de dimensión infinita, la medida debería ser entonces igual a

${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.}$

Esto hace que la integral funcional sea un producto de integrales gaussianas :

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dc_{i}}{2\pi }}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.}$

Las integrales pueden entonces evaluarse, dando

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}}$

donde N es una constante infinita que necesita ser tratada mediante algún procedimiento de regularización. El producto de todos los valores propios es igual al determinante para espacios de dimensión finita, y definimos formalmente que esto también es así en nuestro caso de dimensión infinita. Esto da como resultado la fórmula

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }\propto {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}.}$

Si todas las cantidades convergen en un sentido apropiado, entonces el determinante funcional puede describirse como un límite clásico (Watson y Whittaker). De lo contrario, es necesario realizar algún tipo de regularización . La más popular de las cuales para calcular determinantes funcionales es la regularización de la función zeta . ^[1] Por ejemplo, esto permite el cálculo del determinante de los operadores de Laplace y Dirac en una variedad de Riemann , utilizando la función zeta de Minakshisundaram–Pleijel . De lo contrario, también es posible considerar el cociente de dos determinantes, haciendo que las constantes divergentes se cancelen.

Versión de la función Zeta

Sea S un operador diferencial elíptico con coeficientes suaves que es positivo en funciones de soporte compacto . Es decir, existe una constante c > 0 tal que

${\displaystyle \langle \phi ,S\phi \rangle \geq c\langle \phi ,\phi \rangle }$

para todas las funciones suaves φ con soporte compacto. Entonces S tiene una extensión autoadjunta a un operador en L ² con límite inferior c . Los valores propios de S se pueden ordenar en una secuencia

${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\qquad \lambda _{n}\to \infty .}$

Entonces la función zeta de S está definida por la serie: ^[2]

${\displaystyle \zeta _{S}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}.}$

Se sabe que ζ _S tiene una extensión meromórfica a todo el plano. ^[3] Además, aunque se puede definir la función zeta en situaciones más generales, la función zeta de un operador diferencial elíptico (u operador pseudodiferencial) es regular en . ${\displaystyle s=0}$

Formalmente, diferenciando esta serie término por término se obtiene

${\displaystyle \zeta _{S}'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\ln \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},}$

y entonces si el determinante funcional está bien definido, entonces debería estar dado por

${\displaystyle \det S=\exp \left(-\zeta _{S}'(0)\right).}$

Dado que la continuación analítica de la función zeta es regular en cero, esto puede adoptarse rigurosamente como definición del determinante.

Este tipo de determinante funcional regularizado por Zeta también aparece al evaluar sumas de la forma . La integración sobre a da que puede considerarse simplemente como el logaritmo del determinante para un oscilador armónico . Este último valor es igual a , donde es la función zeta de Hurwitz . ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\ln(n+a)}$ ${\displaystyle -\partial _{s}\zeta _{H}(0,a)}$ ${\displaystyle \zeta _{H}(s,a)}$

Ejemplo práctico

El pozo potencial infinito con A = 0.

El pozo potencial infinito

Calcularemos el determinante del siguiente operador que describe el movimiento de una partícula mecánica cuántica en un pozo de potencial infinito :

${\displaystyle \det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\qquad (x\in [0,L]),}$

donde A es la profundidad del potencial y L es la longitud del pozo. Calcularemos este determinante diagonalizando el operador y multiplicando los valores propios . Para no tener que molestarnos con la constante divergente poco interesante, calcularemos el cociente entre los determinantes del operador con profundidad A y el operador con profundidad A = 0. Los valores propios de este potencial son iguales a

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A\qquad (n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}).}$

Esto significa que

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Ahora podemos utilizar la representación del producto infinito de Euler para la función seno :

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

de donde se puede derivar una fórmula similar para la función seno hiperbólica :

${\displaystyle \sinh z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Aplicando esto, encontramos que

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

Otra forma de calcular el determinante funcional

Para potenciales unidimensionales, existe un atajo que produce el determinante funcional. ^[4] Se basa en la consideración de la siguiente expresión:

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}}$

donde m es una constante compleja . Esta expresión es una función meromórfica de m , que tiene ceros cuando m es igual a un valor propio del operador con potencial V ₁ ( x ) y un polo cuando m es un valor propio del operador con potencial V ₂ ( x ). Consideremos ahora las funciones ψ^m1
_​y ψ^metros
_cuadradoscon

${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0}$

obedeciendo las condiciones de contorno

${\displaystyle \psi _{i}^{m}(0)=0,\quad \qquad {\frac {d\psi _{i}^{m}}{dx}}(0)=1.}$

Si construimos la función

${\displaystyle \Delta (m)={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}},}$

que también es una función meromórfica de m , vemos que tiene exactamente los mismos polos y ceros que el cociente de determinantes que estamos tratando de calcular: si m es un valor propio del operador número uno, entonces ψ^m1
_​( x ) será una función propia del mismo, es decir ψ^m1
_​( L ) = 0 ; y análogamente para el denominador. Por el teorema de Liouville , dos funciones meromórficas con los mismos ceros y polos deben ser proporcionales entre sí. En nuestro caso, la constante de proporcionalidad resulta ser uno, y obtenemos

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}}$

para todos los valores de m . Para m = 0 obtenemos

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.}$

El potencial infinito bien revisitado

El problema de la sección anterior se puede resolver más fácilmente con este formalismo. Las funciones ψ⁰
_yo( x ) obedecer

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}}$

obteniendo las siguientes soluciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}^{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {A}}}\sinh x{\sqrt {A}},\\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{aligned}}}$

Esto da la expresión final

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

Véase también

• Espacio de Wiener abstracto
• Bereziniano
• Determinante de Fredholm
• Método Fujikawa
• El fantasma de Faddeev y Popov

Notas

1. (Branson 1993); (Osgood, Phillips y Sarnak 1988)
2. Véase Osgood, Phillips y Sarnak (1988). Para una definición más general en términos de la función espectral, véase Hörmander (1968) o Shubin (1987).
3. Para el caso del laplaciano generalizado, así como la regularidad en cero, véase Berline, Getzler y Vergne (2004, Proposición 9.35). Para el caso general de un operador pseudodiferencial elíptico, véase Seeley (1967).
4. S. Coleman, Los usos de los instantones , Int. School of Subnuclear Physics, (Erice, 1977)

Referencias

• Berlín, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels y operadores de Dirac , ISBN 978-3-540-20062-8
• Branson, Thomas P. (2007), "Curvatura Q, invariantes espectrales y teoría de la representación", Simetría, integrabilidad y geometría: métodos y aplicaciones , 3 : Documento 090, 31, arXiv : 0709.2471 , Bibcode :2007SIGMA...3..090B, doi :10.3842/SIGMA.2007.090, ISSN  1815-0659, MR  2366932, S2CID  14629173
• Branson, Thomas P. (1993), El determinante funcional , Serie de notas de clase, vol. 4, Seúl: Instituto de Investigación de Matemáticas de la Universidad Nacional de Seúl, Centro de Investigación de Análisis Global, MR  1325463
• Hörmander, Lars (1968), "La función espectral de un operador elíptico", Acta Mathematica , 121 : 193–218, doi : 10.1007/BF02391913 , ISSN  0001-5962, MR  0609014
• Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, Peter (1988), "Extremos de determinantes de laplacianos", Journal of Functional Analysis , 80 (1): 148–211, doi : 10.1016/0022-1236(88)90070-5 , ISSN  0022-1236, MR  0960228
• Ray, DB; Singer, IM (1971), " R -torsión y el laplaciano en variedades de Riemann", Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210, doi :10.1016/0001-8708(71)90045-4, MR  0295381
• Seeley, RT (1967), "Potencias complejas de un operador elíptico", Integrales singulares (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 288–307, MR  0237943
• Shubin, MA (1987), Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral , Springer Series in Soviet Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13621-7, Sr.  0883081