Método Fujikawa

Método de cálculo de anomalías quirales

En física , el método de Fujikawa es una forma de derivar la anomalía quiral en la teoría cuántica de campos . Utiliza la correspondencia entre los determinantes funcionales y la función de partición , haciendo uso efectivo del teorema del índice de Atiyah-Singer .

Derivación

Supongamos que se da un campo de Dirac que se transforma de acuerdo con una representación del grupo de Lie compacto G ; y tenemos una forma de conexión de fondo para tomar valores en el álgebra de Lie El operador de Dirac (en notación de barra de Feynman ) es ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\,.}$

${\displaystyle D\!\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial \!\!\!/+iA\!\!\!/}$

y la acción fermiónica está dada por

${\displaystyle \int d^{d}x\,{\overline {\psi }}iD\!\!\!\!/\psi }$

La función de partición es

${\displaystyle Z[A]=\int {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \,e^{-\int d^{d}x\,{\overline {\psi }}iD\!\!\!/\,\psi }.}$

La transformación de simetría axial es la siguiente:

${\displaystyle \psi \to e^{i\gamma _{d+1}\alpha (x)}\psi \,}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}\to {\overline {\psi }}e^{i\gamma _{d+1}\alpha (x)}}$

${\displaystyle S\to S+\int d^{d}x\,\alpha (x)\partial _{\mu }\left({\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{d+1}\psi \right)}$

Clásicamente, esto implica que la corriente quiral se conserva . ${\displaystyle j_{d+1}^{\mu }\equiv {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{d+1}\psi }$ ${\displaystyle 0=\partial _{\mu }j_{d+1}^{\mu }}$

En mecánica cuántica, la corriente quiral no se conserva: Jackiw descubrió esto debido a la no desaparición de un diagrama de triángulos. Fujikawa lo reinterpretó como un cambio en la medida de la función de partición bajo una transformación quiral. Para calcular un cambio en la medida bajo una transformación quiral, primero considere los fermiones de Dirac en una base de vectores propios del operador de Dirac :

${\displaystyle \psi =\sum \limits _{i}\psi _{i}a^{i},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}=\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{i},}$

donde son los coeficientes valorados de Grassmann y son los vectores propios del operador de Dirac : ${\displaystyle \{a^{i},b^{i}\}}$ ${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$

${\displaystyle D\!\!\!\!/\psi _{i}=-\lambda _{i}\psi _{i}.}$

Las funciones propias se consideran ortonormales con respecto a la integración en el espacio d-dimensional,

${\displaystyle \delta _{i}^{j}=\int {\frac {d^{d}x}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{\dagger j}(x)\psi _{i}(x).}$

La medida de la integral de trayectoria se define entonces como:

${\displaystyle {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}=\prod \limits _{i}da^{i}db^{i}}$

Bajo una transformación quiral infinitesimal, escribe

${\displaystyle \psi \to \psi ^{\prime }=(1+i\alpha \gamma _{d+1})\psi =\sum \limits _{i}\psi _{i}a^{\prime i},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}\to {\overline {\psi }}^{\prime }={\overline {\psi }}(1+i\alpha \gamma _{d+1})=\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{\prime i}.}$

Ahora se puede calcular el jacobiano de la transformación, utilizando la ortonormalidad de los vectores propios.

${\displaystyle C_{j}^{i}\equiv \left({\frac {\delta a}{\delta a^{\prime }}}\right)_{j}^{i}=\int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)[1-i\alpha (x)\gamma _{d+1}]\psi _{j}(x)=\delta _{j}^{i}\,-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j}(x).}$

La transformación de los coeficientes se calcula de la misma manera. Finalmente, la medida cuántica cambia como ${\displaystyle \{b_{i}\}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}=\prod \limits _{i}da^{i}db^{i}=\prod \limits _{i}da^{\prime i}db^{\prime i}{\det }^{-2}(C_{j}^{i}),}$

donde el jacobiano es el recíproco del determinante porque las variables de integración son Grassmannianas, y el 2 aparece porque las a y las b contribuyen por igual. Podemos calcular el determinante mediante técnicas estándar:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\det }^{-2}(C_{j}^{i})&=\exp \left[-2{\rm {tr}}\ln(\delta _{j}^{i}-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j}(x))\right]\\&=\exp \left[2i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{i}(x)\right]\end{aligned}}}$

de primer orden en α(x).

Especializándose en el caso en que α es una constante, el jacobiano debe regularizarse porque la integral está mal definida tal como está escrita. Fujikawa empleó la regularización de núcleo de calor , de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}-2{\rm {tr}}\ln C_{j}^{i}&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}e^{-\lambda _{i}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\\&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}e^{{D\!\!\!/\,}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\end{aligned}}}$

( se puede reescribir como , y las funciones propias se pueden expandir en una base de onda plana) ${\displaystyle {D\!\!\!\!/}^{2}}$ ${\displaystyle D^{2}+{\tfrac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }}$

${\displaystyle =2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\int {\frac {d^{d}k^{\prime }}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{\dagger i}(k^{\prime })e^{ik^{\prime }x}\gamma _{d+1}e^{-k^{2}/M^{2}+1/(4M^{2})[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }}e^{-ikx}\psi _{i}(k)}$

${\displaystyle =-{\frac {-2\alpha }{(2\pi )^{d/2}({\frac {d}{2}})!}}(F)^{d/2},}$

después de aplicar la relación de completitud para los vectores propios, realizar el trazado sobre las matrices γ y tomar el límite en M. El resultado se expresa en términos de la forma 2 de la intensidad de campo , ${\displaystyle F\equiv {\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\,.}$

Este resultado es equivalente a la clase de Chern del fibrado sobre el espacio base de dimensión d, y da la anomalía quiral , responsable de la no conservación de la corriente quiral. ${\displaystyle ({\tfrac {d}{2}})^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Referencias

• K. Fujikawa y H. Suzuki (mayo de 2004). Integrales de trayectoria y anomalías cuánticas . Clarendon Press. ISBN  0-19-852913-9 .
• S. Weinberg (2001). La teoría cuántica de campos . Volumen II: Aplicaciones modernas . Cambridge University Press. ISBN 0-521-55002-5 .