Ortonormalidad

Propiedad de dos o más vectores que son ortogonales y de longitud unitaria

En álgebra lineal , dos vectores en un espacio de producto interno son ortonormales si son vectores unitarios ortogonales . Un vector unitario significa que el vector tiene una longitud de 1, lo que también se conoce como normalizado. Ortogonal significa que los vectores son todos perpendiculares entre sí. Un conjunto de vectores forma un conjunto ortonormal si todos los vectores en el conjunto son mutuamente ortogonales y todos tienen una longitud unitaria. Un conjunto ortonormal que forma una base se llama base ortonormal .

Visión general intuitiva

La construcción de la ortogonalidad de los vectores está motivada por el deseo de extender la noción intuitiva de vectores perpendiculares a espacios de dimensiones superiores. En el plano cartesiano , se dice que dos vectores son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90° (es decir, si forman un ángulo recto ). Esta definición se puede formalizar en el espacio cartesiano definiendo el producto escalar y especificando que dos vectores en el plano son ortogonales si su producto escalar es cero.

De manera similar, la construcción de la norma de un vector está motivada por el deseo de extender la noción intuitiva de la longitud de un vector a espacios de dimensiones superiores. En el espacio cartesiano, la norma de un vector es la raíz cuadrada del vector punteada por sí misma. Es decir,

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}}$

Muchos resultados importantes en álgebra lineal tratan con conjuntos de dos o más vectores ortogonales. Pero, a menudo, es más fácil tratar con vectores de longitud unitaria . Es decir, a menudo simplifica las cosas considerar solo vectores cuya norma sea igual a 1. La noción de restringir pares ortogonales de vectores solo a aquellos de longitud unitaria es lo suficientemente importante como para que se le dé un nombre especial. Dos vectores que son ortogonales y de longitud 1 se dicen ortonormales .

Ejemplo sencillo

¿Cómo se ve un par de vectores ortonormales en el espacio euclidiano 2-D?

Sea u = (x ₁ , y ₁ ) y v = (x ₂ , y ₂ ). Consideremos las restricciones sobre x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ requeridas para que u y v formen un par ortonormal.

• De la restricción de ortogonalidad, u • v = 0.
• A partir de la restricción de longitud unitaria en u , || u || = 1.
• A partir de la restricción de longitud unitaria en v , || v || = 1.

Ampliando estos términos obtenemos tres ecuaciones:

1. ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad }$
2. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1}$

Al convertir de coordenadas cartesianas a polares y considerar la ecuación y la ecuación inmediatamente se obtiene el resultado r ₁ = r ₂ = 1. En otras palabras, exigir que los vectores tengan longitud unitaria restringe los vectores a estar en el círculo unitario . ${\displaystyle (2)}$ ${\displaystyle (3)}$

Después de la sustitución, la ecuación se convierte en . Reordenando se obtiene . Al utilizar una identidad trigonométrica para convertir el término cotangente se obtiene ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0}$ ${\displaystyle \tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}}$

${\displaystyle \tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$

Está claro que en el plano, los vectores ortonormales son simplemente radios del círculo unitario cuya diferencia de ángulos es igual a 90°.

Definición

Sea un espacio de producto interno . Un conjunto de vectores ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}}$

se llama ortonormal si y sólo si

${\displaystyle \forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

donde es el delta de Kronecker y es el producto interno definido sobre . ${\displaystyle \delta _{ij}\,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Significado

Los conjuntos ortonormales no son especialmente significativos por sí mismos. Sin embargo, presentan ciertas características que los hacen fundamentales para explorar la noción de diagonalizabilidad de ciertos operadores en espacios vectoriales.

Propiedades

Los conjuntos ortonormales tienen ciertas propiedades muy atractivas que hacen que sea especialmente fácil trabajar con ellos.

• Teorema . Si { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } es una lista ortonormal de vectores, entonces $${\displaystyle \forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}$$
• Teorema . Toda lista ortonormal de vectores es linealmente independiente .

Existencia

• Teorema de Gram-Schmidt . Si { v ₁ , v ₂ ,..., v _n } es una lista linealmente independiente de vectores en un espacio de producto interno, entonces existe una lista ortonormal { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } de vectores ental que span ( e ₁ , e ₂ ,..., e _n ) = span ( v ₁ , v ₂ ,..., v _n ). ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

La demostración del teorema de Gram-Schmidt es constructiva y se analiza en profundidad en otro lugar. El teorema de Gram-Schmidt, junto con el axioma de elección , garantiza que todo espacio vectorial admite una base ortonormal. Este es posiblemente el uso más significativo de la ortonormalidad, ya que este hecho permite que los operadores en espacios de producto interno se analicen en términos de su acción sobre los vectores de base ortonormales del espacio. El resultado es una relación profunda entre la diagonalizabilidad de un operador y cómo actúa sobre los vectores de base ortonormales. Esta relación se caracteriza por el teorema espectral .

Ejemplos

Base estándar

La base estándar para el espacio de coordenadas F ⁿ es

Dos vectores cualesquiera e _i , e _j donde i≠j son ortogonales y todos los vectores tienen claramente una longitud unitaria. Por lo tanto, { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } forma una base ortonormal.

Funciones de valor real

Cuando se hace referencia a funciones de valores reales , normalmente se supone el producto interno L² a menos que se indique lo contrario. Dos funciones y son ortonormales en el intervalo si ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle (1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {and}}}$

${\displaystyle (2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.}$

Serie de Fourier

La serie de Fourier es un método para expresar una función periódica en términos de funciones de base sinusoidal . Tomando C [−π,π] como el espacio de todas las funciones de valor real continuas en el intervalo [−π,π] y tomando el producto interno como

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N} }$

forma un conjunto ortonormal.

Sin embargo, esto tiene poca importancia, porque C [−π,π] es de dimensión infinita y un conjunto finito de vectores no puede abarcarlo. Pero, al eliminar la restricción de que n sea finito, el conjunto se vuelve denso en C [−π,π] y, por lo tanto, una base ortonormal de C [−π,π].

Véase también

• Ortogonalización
• Sistema de función ortonormal

Fuentes

• Axler, Sheldon (1997), Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pág. 106-110, ISBN 978-0-387-98258-8
• Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentos de circuitos y filtros (3.ª ed.), Boca Raton : CRC Press , pág. 62, ISBN 978-1-4200-5887-1