conjunto kakeya

Forma que contiene segmentos de línea unitarios en todas las direcciones.

Se muestra la aguja girando dentro de un deltoides . En cada etapa de su rotación (excepto cuando un punto final está en una cúspide del deltoides), la aguja está en contacto con el deltoides en tres puntos: dos puntos finales (azul) y un punto tangente (negro). El punto medio de la aguja (rojo) describe un círculo con un diámetro igual a la mitad de la longitud de la aguja.

En matemáticas , un conjunto de Kakeya , o conjunto de Besicovitch , es un conjunto de puntos en el espacio euclidiano que contiene un segmento de línea unitario en cada dirección. Por ejemplo, un disco de radio 1/2 en el plano euclidiano , o una bola de radio 1/2 en el espacio tridimensional, forma un conjunto Kakeya. Gran parte de la investigación en esta área ha estudiado el problema de cuán pequeños pueden ser dichos conjuntos. Besicovitch demostró que existen conjuntos de Besicovitch de medida cero .

Un conjunto de agujas Kakeya (a veces también conocido como conjunto Kakeya) es un conjunto (Besicovitch) en el plano con una propiedad más fuerte: un segmento de línea unitario se puede girar continuamente 180 grados dentro de él, volviendo a su posición original con orientación invertida. . Nuevamente, el disco de radio 1/2 es un ejemplo de un juego de agujas Kakeya.

Problema con la aguja Kakeya

El problema de la aguja de Kakeya pregunta si existe un área mínima de una región en el plano en la que una aguja de longitud unitaria pueda girar 360°. Esta pregunta fue planteada por primera vez, para regiones convexas , por Sōichi Kakeya  (1917). El área mínima para conjuntos convexos se logra mediante un triángulo equilátero de altura 1 y área 1/ √ 3 , como mostró Pál . ^[1] ${\displaystyle D}$

Kakeya parece haber sugerido que el conjunto de área mínima de Kakeya, sin la restricción de convexidad, sería una forma de deltoides de tres puntas . Sin embargo, esto es falso; Hay conjuntos Kakeya no convexos más pequeños. ${\displaystyle D}$

Juegos de agujas Besicovitch

"Sprounting the Perron tree": un método para construir un conjunto Kakeya de pequeña medida. Aquí se muestran dos posibles formas de dividir nuestro triángulo y superponer las piezas para obtener un conjunto más pequeño, la primera si solo usamos dos triángulos y la segunda si usamos ocho. El método se puede utilizar para construir un conjunto arbitrariamente pequeño cortando el triángulo original en pedazos. Consulte ^[2] para obtener más detalles. ${\displaystyle 2^{n}}$

Besicovitch pudo demostrar que no existe un límite inferior > 0 para el área de dicha región , en la que se puede girar una aguja de longitud unitaria. Es decir, para cada , hay una región de área dentro de la cual la aguja puede moverse mediante un movimiento continuo que la gira 360 grados completos. ^[3] Esto se basó en trabajos anteriores suyos, en conjuntos de planos que contienen un segmento unitario en cada orientación. Un conjunto de este tipo ahora se llama conjunto de Besicovitch . El trabajo de Besicovitch que muestra que un conjunto de este tipo podría tener una medida arbitrariamente pequeña data de 1919. Es posible que el problema haya sido considerado por analistas antes de esa fecha. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Un método para construir un conjunto de Besicovitch (ver figura para las ilustraciones correspondientes) se conoce como "árbol de Perron" en honor a Oskar Perron , quien pudo simplificar la construcción original de Besicovitch. ^[4] La construcción precisa y los límites numéricos se dan en la popularización de Besicovitch. ^[2]

La primera observación a hacer es que la aguja puede moverse en línea recta tanto como quiera sin barrer ninguna zona. Esto se debe a que la aguja es un segmento de línea de ancho cero. El segundo truco de Pál , conocido como Pál une ^[5], describe cómo mover la aguja entre dos ubicaciones cualesquiera que sean paralelas mientras se barre un área insignificante. La aguja seguirá la forma de una "N". Se mueve desde la primera ubicación a cierta distancia hacia la izquierda de la "N", barre el ángulo hasta la diagonal media, baja la diagonal, barre el segundo ángulo y luego sube por el lado derecho paralelo de la "N". hasta llegar a la segunda ubicación requerida. Las únicas regiones de área distintas de cero barridas son los dos triángulos de altura uno y el ángulo en la parte superior de la "N". El área barrida es proporcional a este ángulo que es proporcional a . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1/r}$

La construcción comienza con cualquier triángulo con altura 1 y algún ángulo sustancial en la parte superior a través del cual la aguja puede pasar fácilmente. El objetivo es realizar muchas operaciones en este triángulo para reducir su área manteniendo las mismas direcciones a través de las cuales la aguja puede barrer. Primero considere dividir el triángulo en dos y trasladar las piezas una sobre otra para que sus bases se superpongan de manera que se minimice el área total. La aguja puede barrer las mismas direcciones barriendo las dadas por el primer triángulo, saltando al segundo y luego barriendo las direcciones dadas por el segundo. La aguja puede saltar triángulos usando la técnica "N" porque las dos líneas en las que se cortó el triángulo original son paralelas.

Ahora, supongamos que dividimos nuestro triángulo en 2 ⁿ subtriángulos. La figura muestra ocho. Para cada par consecutivo de triángulos, realiza la misma operación de superposición que describimos antes para obtener la mitad de formas nuevas, cada una de las cuales consta de dos triángulos superpuestos. Luego, superponga pares consecutivos de estas nuevas formas moviéndolas para que sus bases se superpongan de manera que se minimice el área total. Repita esto n veces hasta que solo quede una forma. Nuevamente, la aguja puede barrer las mismas direcciones barriendo aquellas en cada uno de los 2 ⁿ subtriángulos en orden de dirección. La aguja puede saltar triángulos consecutivos usando la técnica "N" porque las dos líneas en las que se cortaron estos triángulos son paralelas.

Lo que queda es calcular el área de la forma final. La prueba es demasiado difícil de presentar aquí. En lugar de ello, simplemente discutiremos cómo podrían ir las cifras. Al observar la figura, se ve que los 2 ⁿ subtriángulos se superponen mucho. Todos se superponen en la parte inferior, la mitad en la parte inferior de la rama izquierda, una cuarta parte en la parte inferior de la rama izquierda, y así sucesivamente. Supongamos que el área de cada forma creada con i operaciones de fusión de 2 i ^{subtriángulos} está limitada por Ai _. Antes de fusionar dos de estas formas, su área está limitada por 2 A _i . Luego juntamos las dos formas de manera que se superpongan tanto como sea posible. En el peor de los casos, estas dos regiones son dos rectángulos de 1 por ε perpendiculares entre sí, de modo que se superponen en un área de sólo ε ² . Pero las dos formas que hemos construido, si son largas y delgadas, apuntan en gran medida en la misma dirección porque están formadas por grupos consecutivos de subtriángulos. El movimiento de manos indica que se superponen en al menos el 1% de su área. Entonces el área fusionada estaría delimitada por Ai ₊₁ = _1,99 Ai . El área del triángulo original está limitada por 1. Por lo tanto, el área de cada subtriángulo está limitada por A ₀ = 2 ^-n y la forma final tiene un área limitada por _An = 1,99 ⁿ × 2 ^-n . En realidad, un resumen cuidadoso de todas las áreas que no se superponen da como resultado que el área de la región final es mucho mayor, es decir, 1/n . A medida que n crece, esta área se reduce a cero. Se puede crear un conjunto de Besicovitch combinando seis rotaciones de un árbol de Perron creado a partir de un triángulo equilátero. Se puede hacer una construcción similar con paralelogramos.

Existen otros métodos para construir conjuntos de medida cero de Besicovitch además del método de "brotación". Por ejemplo, Kahane usa conjuntos de Cantor para construir un conjunto de Besicovitch de medida cero en el plano bidimensional. ^[6]

Un juego de agujas Kakeya construido con árboles Perron.

En 1941, HJ Van Alphen ^[7] demostró que existen pequeños conjuntos arbitrarios de agujas Kakeya dentro de un círculo con radio 2 + ε (ε arbitrario > 0). En 1965 se encontraron juegos de agujas Kakeya simplemente conectados con un área más pequeña que el deltoides. Melvin Bloom e IJ Schoenberg presentaron de forma independiente juegos de agujas Kakeya con áreas cercanas a , el número de Bloom-Schoenberg . Schoenberg conjeturó que este número es el límite inferior para el área de conjuntos de agujas Kakeya simplemente conectados. Sin embargo, en 1971, F. Cunningham ^[8] demostró que, dado ε > 0, existe un conjunto de agujas de Kakeya simplemente conexas de área menor que ε contenida en un círculo de radio 1. ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}$

Aunque hay juegos de agujas Kakeya de medida positiva arbitrariamente pequeños y juegos de Besicovich de medida 0, no hay juegos de agujas Kakeya de medida 0.

Conjetura de Kakeya

Declaración

La misma pregunta sobre cuán pequeños podrían ser estos conjuntos de Besicovitch se planteó luego en dimensiones superiores, dando lugar a una serie de conjeturas conocidas colectivamente como conjeturas de Kakeya , y han ayudado a iniciar el campo de las matemáticas conocido como teoría de la medida geométrica . En particular, si existen conjuntos de Besicovitch de medida cero, ¿podrían también tener una medida cero de Hausdorff s-dimensional para alguna dimensión s menor que la dimensión del espacio en el que se encuentran? Esta pregunta da lugar a la siguiente conjetura:

Conjetura del conjunto de Kakeya : defina un conjunto de Besicovitch en R ⁿ como un conjunto que contiene un segmento de línea unitario en cada dirección. ¿Es cierto que tales conjuntos tienen necesariamente dimensión de Hausdorff y dimensión de Minkowski igual a n ?

Se sabe que esto es cierto para n = 1, 2, pero sólo se conocen resultados parciales en dimensiones superiores.

Función máxima de Kakeya

Una forma moderna de abordar este problema es considerar un tipo particular de función máxima , que construimos de la siguiente manera: Denotamos que S ^{n −1} ⊂ R ⁿ es la esfera unitaria en un espacio de n dimensiones. Definir como el cilindro de longitud 1, radio δ > 0, centrado en el punto a ∈ R ⁿ , y cuyo lado mayor es paralelo a la dirección del vector unitario e ∈ S ^{n −1} . Entonces, para una función f localmente integrable , definimos la función máxima de Kakeya de f como ${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)}$

donde m denota la medida de Lebesgue n -dimensional . Observe que está definido para vectores e en la esfera S ^{n −1} . ${\displaystyle f_{*}^{\delta }}$

Luego hay una conjetura para estas funciones que, de ser cierta, implicará la conjetura del conjunto de Kakeya para dimensiones superiores:

Conjetura de la función máxima de Kakeya : para todo ε > 0, existe una constante C _ε > 0 tal que para cualquier función f y todo δ > 0, (ver notación en el espacio lp )

${\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

Resultados

Algunos resultados para probar la conjetura de Kakeya son los siguientes:

• La conjetura de Kakeya es cierta para n = 1 (trivialmente) y n = 2 (Davies ^[9] ).
• En cualquier espacio de n dimensiones, Wolff ^[10] demostró que la dimensión de un conjunto de Kakeya debe ser al menos ( n +2)/2.
• En 2002, Katz y Tao ^[11] mejoraron la cota de Wolff a , que es mejor para n > 4. ${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$
• En 2000, Katz , Łaba y Tao ^[12] demostraron que la dimensión de Minkowski de los conjuntos de Kakeya en 3 dimensiones es estrictamente mayor que 5/2.
• En 2000, Jean Bourgain conectó el problema de Kakeya con la combinatoria aritmética ^{[13] [14]} , que implica análisis armónico y teoría de números aditivos .
• En 2017, Katz y Zahl ^[15] mejoraron el límite inferior de la dimensión de Hausdorff de los conjuntos de Besicovitch en 3 dimensiones para obtener una constante absoluta . ${\displaystyle 5/2+\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

Aplicaciones al análisis

Sorprendentemente, se ha demostrado que estas conjeturas están relacionadas con una serie de cuestiones en otros campos, especialmente en el análisis armónico . Por ejemplo, en 1971, Charles Fefferman pudo utilizar la construcción de conjuntos de Besicovitch para demostrar que en dimensiones mayores que 1, las integrales de Fourier truncadas tomadas sobre bolas centradas en el origen con radios que tienden al infinito no necesitan converger en la norma L p cuando p ≠ 2 (esto contrasta con el caso unidimensional donde tales integrales truncadas convergen). ^[dieciséis]

Analogías y generalizaciones del problema de Kakeya.

Conjuntos que contienen círculos y esferas.

Los análogos del problema de Kakeya incluyen considerar conjuntos que contienen formas más generales que líneas, como los círculos.

• En 1997 ^[17] y 1999, ^[18] Wolff demostró que los conjuntos que contienen una esfera de cada radio deben tener dimensión completa, es decir, la dimensión es igual a la dimensión del espacio en el que se encuentra, y lo demostró demostrando límites. en una función máxima circular análoga a la función máxima de Kakeya.

• Se conjeturó que existían conjuntos que contenían una esfera alrededor de cada punto de medida cero. Los resultados de Elias Stein ^[19] demostraron que todos estos conjuntos deben tener una medida positiva cuando n ≥ 3, y Marstrand ^[20] demostró lo mismo para el caso n=2 .

Conjuntos que contienen discos k -dimensionales

Una generalización de la conjetura de Kakeya es considerar conjuntos que contienen, en lugar de segmentos de líneas en todas las direcciones, sino, digamos, porciones de k -subespacios dimensionales. Defina un conjunto K ( n , k ) -Besicovitch como un conjunto compacto en R ⁿ que contiene una traducción de cada disco unitario k -dimensional que tiene medida de Lebesgue cero. Es decir, si B denota la bola unitaria centrada en cero, para cada subespacio P k -dimensional , existe x ∈ R ⁿ tal que ( P ∩ B ) + x ⊆ K . Por lo tanto, un conjunto ( n , 1)-Besicovitch es el conjunto estándar de Besicovitch descrito anteriormente.

La conjetura de ( n , k )-Besicovitch: No hay conjuntos ( n , k )-Besicovitch para k > 1.

En 1979, Marstrand ^[21] demostró que no existían conjuntos (3, 2) -Besicovitch. Sin embargo, aproximadamente al mismo tiempo, Falconer ^[22] demostró que no había conjuntos ( n , k )-Besicovitch para 2 k > n . La mejor vinculación hasta la fecha es la de Bourgain, ^[23] quien demostró que no existen tales conjuntos cuando 2 ^{k −1} + k > n .

Kakeya se establece en espacios vectoriales sobre campos finitos

En 1999, Wolff planteó el campo finito análogo al problema de Kakeya, con la esperanza de que las técnicas para resolver esta conjetura pudieran trasladarse al caso euclidiano.

Conjetura de Kakeya de campo finito : Sea F un campo finito, sea K ⊆ F ⁿ un conjunto de Kakeya, es decir, para cada vector y ∈ F ⁿ existe x ∈ F ⁿ tal que K contiene una línea { x + ty  : t ∈ F }. Entonces el conjunto K tiene un tamaño al menos c _n | F | ⁿ donde c _n >0 es una constante que sólo depende de n .

Zeev Dvir demostró esta conjetura en 2008, demostrando que la afirmación es válida para c _n = 1/ n !. ^{[24] [25]} En su prueba, observó que cualquier polinomio en n variables de grado menor que | F | que desaparece en un conjunto de Kakeya debe ser idénticamente cero. Por otro lado, los polinomios en n variables de grado menor que | F | formar un espacio vectorial de dimensión

${\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.}$

Por lo tanto, existe al menos un polinomio no trivial de grado menor que | F | que desaparece en cualquier conjunto dado con menos de este número de puntos. La combinación de estas dos observaciones muestra que los conjuntos de Kakeya deben tener al menos | F | ⁿ / n ! puntos.

No está claro si las técnicas se extenderán para demostrar la conjetura original de Kakeya, pero esta prueba da crédito a la conjetura original al hacer improbables los contraejemplos esencialmente algebraicos. Dvir ha escrito un artículo de encuesta sobre el progreso en el problema del campo finito Kakeya y su relación con los extractores de aleatoriedad . ^[26]

Ver también

• Conjunto Nikodym

Notas

1. Amigo, Julio (1920). "Problema de variaciones de Ueber ein elementares". Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Med . . 2 : 1–35.
2. Besicovitch, AS (agosto de 1963). "El problema de Kakeya". El Mensual Matemático Estadounidense . 70 (7): 697. doi : 10.2307/2312249. ISSN  0002-9890.
3. Besicovitch, Abram (1919). "Sur dos preguntas de integrabilidad de funciones". J. Soc. Física. Matemáticas . 2 : 105-123.
   Besicovitch, Abram (1928). "Sobre el problema de Kakeya y uno similar". Mathematische Zeitschrift . 27 : 312–320. doi :10.1007/BF01171101. S2CID  121781065.
4. Perron, O. (1928). "Über einen Satz von Besicovitch". Mathematische Zeitschrift . 28 : 383–386. doi :10.1007/BF01181172. S2CID  120768630.
   Falconer, KJ (1985). La geometría de los conjuntos fractales . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 96–99.
5. El problema de Kakeya Archivado el 15 de julio de 2015 en la Wayback Machine por Markus Furtner
6. Kahane, Jean-Pierre (1969). "Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires". Enseñanza de matemáticas . 15 : 185-192.
7. Alphen, HJ (1942). "Uitbreiding van een stelling von Besicovitch". Mathematica Zutphen B. 10 : 144-157.
8. Cunningham, F. (1971). "El problema de Kakeya para conjuntos simplemente conectados y en forma de estrella" (PDF) . Mensual Matemático Estadounidense . 78 (2). El American Mathematical Monthly, vol. 78, núm. 2: 114-129. doi :10.2307/2317619. JSTOR  2317619.
9. Davies, Roy (1971). "Algunas observaciones sobre el problema de Kakeya". Proc. Filosofía de Cambridge. Soc . 69 (3): 417–421. Código Bib : 1971PCPS...69..417D. doi :10.1017/S0305004100046867.
10. Wolff, Thomas (1995). "Un límite mejorado para funciones máximas de tipo Kakeya". Rev. Mat. Iberoamericana . 11 : 651–674. doi : 10.4171/rmi/188 .
11. Katz, Halcón de las redes ; Tao, Terence (2002). "Nuevos límites para los problemas de Kakeya". Revista de Análisis Matemático . 87 : 231–263. arXiv : matemáticas/0102135 . doi : 10.1007/BF02868476 . S2CID  119644987.
12. Katz, Halcón de las redes; Łaba, Izabella; Tao, Terence (septiembre de 2000). "Un límite mejorado en la dimensión Minkowski de los conjuntos de Besicovitch ". Los Anales de las Matemáticas . 152 (2): 383–446. arXiv : matemáticas/0004015 . doi :10.2307/2661389. JSTOR  2661389. S2CID  17007027. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
13. J. Bourgain, Análisis armónico y combinatoria: ¿cuánto pueden contribuir entre sí?, Matemáticas: fronteras y perspectivas, IMU/Amer. Matemáticas. Soc., 2000, págs. 13–32.
14. Tao, Terence (marzo de 2001). "De las agujas giratorias a la estabilidad de las ondas: conexiones emergentes entre la combinatoria, el análisis y la PDE" (PDF) . Avisos de la AMS . 48 (3): 297–303.
15. Katz, Halcón de las redes; Zahl, Josué (2019). "Se establece un límite mejorado en la dimensión de Hausdorff de Besicovitch ". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 32 (1): 195–259. arXiv : 1704.07210 . doi : 10.1090/jams/907. S2CID  119322412. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
16. Fefferman, Charles (1971). "El problema del multiplicador de la pelota". Anales de Matemáticas . 94 (2): 330–336. doi :10.2307/1970864. JSTOR  1970864.
17. Wolff, Thomas (1997). "Un problema de Kakeya para los círculos". Revista Estadounidense de Matemáticas . 119 (5): 985–1026. doi :10.1353/ajm.1997.0034. S2CID  120122372.
18. Wolff, Thomas ; Wolff, Thomas (1999). «Sobre algunas variantes del problema de Kakeya» (PDF) . Revista Pacífico de Matemáticas . 190 : 111-154. doi : 10.2140/pjm.1999.190.111 .
19. Stein, Elías (1976). "Funciones máximas: medios esféricos". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 73 (7): 2174–2175. Código bibliográfico : 1976PNAS...73.2174S. doi : 10.1073/pnas.73.7.2174 . PMC 430482 . PMID  16592329. 
20. Marstrand, JM (1987). "Haciendo círculos en el avión". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 55 : 37–58. doi :10.1112/plms/s3-55.1.37.
21. Marstrand, JM (1979). "Embalar aviones en ". Matemática . 26 (2): 180–183. doi :10.1112/S0025579300009748. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
22. Halconero, KJ ​​(1980). "Propiedades de continuidad de integrales del plano k y conjuntos de Besicovitch". Matemáticas. Proc. Filosofía de Cambridge. Soc . 87 (2): 221–226. Código Bib : 1980MPCPS..87..221F. doi :10.1017/S0305004100056681.
23. Bourgain, Jean (1997). "Operadores máximos tipo Besicovitch y aplicaciones al análisis de Fourier". Análisis Geométrico y Funcional . 1 (2): 147–187. doi :10.1007/BF01896376. S2CID  122038469.
24. Dvir, Z. (2009). "Sobre el tamaño de los conjuntos de Kakeya en campos finitos". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 22 (4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336 . Código Bib : 2009JAMS...22.1093D. doi :10.1090/S0894-0347-08-00607-3. S2CID  3358826.
25. Terence Tao (24 de marzo de 2008). "Prueba de Dvir de la conjetura de Kakeya del campo finito". Qué hay de nuevo . Consultado el 8 de abril de 2008 .
26. Dvir, Zeev (2009). "De la extracción aleatoria a las agujas giratorias". Noticias ACM SIGACT . ECCC  TR09-077..

Referencias

• Besicovitch, Abram (1963). "El problema de Kakeya". Mensual Matemático Estadounidense . 70 (7): 697–706. doi :10.2307/2312249. JSTOR  2312249. SEÑOR  0157266.
• Dvir, Zeev (2009). "Sobre el tamaño de los conjuntos de Kakeya en campos finitos". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 22 (4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336 . Código Bib : 2009JAMS...22.1093D. doi :10.1090/S0894-0347-08-00607-3. SEÑOR  2525780. S2CID  3358826.
• Falconer, Kenneth J. (1985). La geometría de los conjuntos fractales . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 85. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-25694-1. SEÑOR  0867284.
• Kakeya, Soichi (1917). "Algunos problemas de máximos y mínimos respecto a los óvalos". Informes científicos de Tohoku . 6 : 71–88.
• Katz, Halcón de las Redes ; Łaba, Izabella ; Tao, Terence (2000). "Un límite mejorado en la dimensión de Minkowski de los conjuntos de Besicovitch en R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} " (PDF) . Anales de Matemáticas . 152 (2): 383–446. doi :10.2307/2661389. JSTOR  2661389. SEÑOR  1804528. S2CID  17007027.

• Wolff, Thomas (1999). "Trabajo reciente relacionado con el problema de Kakeya". En Rossi, Hugo (ed.). Perspectivas en matemáticas: charlas invitadas con motivo del 250 aniversario de la Universidad de Princeton . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. págs. 129-162. ISBN 978-0-8218-0975-4. SEÑOR  1660476.
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Izabella ; Shubin, Carol (eds.). Conferencias sobre análisis armónico . Ciclo de conferencias universitarias. vol. 29. Con prólogo de Charles Fefferman y prefacio de Izabella Łaba. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. doi :10.1090/ulect/029. ISBN 0-8218-3449-5. SEÑOR  2003254.

enlaces externos

• Kakeya en la Universidad de Columbia Británica
• Besicovitch en la UCLA
• Problema de la aguja de Kakeya en mathworld
• La prueba de Dvir de la conjetura de Kakeya del campo finito en el blog de Terence Tao
• Introducción a los conjuntos Besicovitch-Kakeya