Coeficiente de elasticidad

Grado en el que la velocidad de una reacción química se ve influenciada por un factor determinado

En química , la velocidad de una reacción química se ve influida por muchos factores diferentes, como la temperatura , el pH , los reactivos , la concentración de productos y otros efectores. El grado en que estos factores modifican la velocidad de reacción se describe mediante el coeficiente de elasticidad . Este coeficiente se define de la siguiente manera:

$${\displaystyle \varepsilon _{s_{i}}^{v}=\left({\frac {\partial v}{\partial s_{i}}}{\frac {s_{i}}{v}}\right)_{s_{j},\,s_{k},\,\ldots }={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln s_{i}}}\approx {\frac {v\%}{s_{i}\%}}}$$

donde denota la velocidad de reacción y denota la concentración del sustrato . Tenga en cuenta que la notación utilizará letras romanas minúsculas, por ejemplo, para indicar concentraciones. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s,}$

La derivada parcial en la definición indica que la elasticidad se mide con respecto a los cambios en un factor S mientras se mantienen constantes todos los demás factores. Los factores más comunes incluyen sustratos, productos, enzimas y efectores. La escala del coeficiente garantiza que sea adimensional e independiente de las unidades utilizadas para medir la velocidad de reacción y la magnitud del factor. El coeficiente de elasticidad es una parte integral del análisis de control metabólico y fue introducido a principios de la década de 1970 y posiblemente antes por Henrik Kacser y Burns ^[1] en Edimburgo y Heinrich y Rapoport ^[2] en Berlín.

El concepto de elasticidad también ha sido descrito por otros autores, en particular Savageau ^[3] en Michigan y Clarke ^[4] en Edmonton. A finales de la década de 1960, Michael Savageau ^[3] desarrolló un enfoque innovador llamado teoría de sistemas bioquímicos que utiliza expansiones de ley de potencia para aproximar las no linealidades en la cinética bioquímica. La teoría es muy similar al análisis de control metabólico y se ha utilizado con mucho éxito y de forma extensa para estudiar las propiedades de diferentes estructuras de retroalimentación y otras estructuras reguladoras en redes celulares. Las expansiones de ley de potencia utilizadas en el análisis invocan coeficientes llamados órdenes cinéticos, que son equivalentes a los coeficientes de elasticidad.

A principios de los años 1970, Bruce Clarke ^[4] desarrolló una sofisticada teoría para analizar la estabilidad dinámica de las redes químicas. Como parte de su análisis, Clarke también introdujo la noción de órdenes cinéticos y una aproximación de ley de potencia que era algo similar a las expansiones de ley de potencia de Savageau. El enfoque de Clarke se basaba en gran medida en ciertas características estructurales de las redes, llamadas corrientes extremas (también llamadas modos elementales en los sistemas bioquímicos). Los órdenes cinéticos de Clarke también son equivalentes a las elasticidades.

Las elasticidades también pueden interpretarse de manera útil como los medios por los cuales las señales se propagan hacia arriba o hacia abajo por una vía determinada. ^[5]

El hecho de que diferentes grupos hayan introducido independientemente el mismo concepto implica que las elasticidades, o sus órdenes cinéticos equivalentes, son probablemente un concepto fundamental en el análisis de sistemas bioquímicos o químicos complejos.

Cálculo de coeficientes de elasticidad

Los coeficientes de elasticidad se pueden calcular algebraicamente o por medios numéricos.

Cálculo algebraico de coeficientes de elasticidad

Dada la definición del coeficiente de elasticidad en términos de una derivada parcial , es posible, por ejemplo, determinar la elasticidad de una ley de velocidad arbitraria diferenciando la ley de velocidad por la variable independiente y escalando. Por ejemplo, el coeficiente de elasticidad para una ley de velocidad de acción de masas como:

${\displaystyle v=k\ s_{1}^{n_{1}}s_{2}^{n_{2}}}$

donde es la velocidad de reacción , la constante de velocidad de reacción , es la i-ésima especie química involucrada en la reacción y el i-ésimo orden de reacción, entonces la elasticidad, se puede obtener diferenciando la ley de velocidad con respecto a y escalando: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{s_{1}}^{v}}$ ${\displaystyle s_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s_{1}}^{v}={\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}{\frac {s_{1}}{v}}=n_{1}\ k\ s_{1}^{n_{1}-1}s_{2}^{n_{2}}{\frac {s_{1}}{k\ s_{1}^{n_{1}}s_{2}^{n_{2}}}}=n_{1}}$

Es decir, la elasticidad para una ley de velocidad de acción de masas es igual al orden de reacción de las especies.

Por ejemplo, la elasticidad de A en la reacción donde la velocidad de reacción está dada por: , la elasticidad se puede evaluar utilizando: ${\displaystyle 2A\rightleftharpoons C}$ ${\displaystyle v=kA^{2}}$

${\displaystyle \varepsilon _{a}^{v}={\frac {\partial v}{\partial a}}{\frac {a}{v}}={\frac {2kaa}{ka^{2}}}=2}$

También se pueden derivar elasticidades para leyes de velocidad más complejas, como la ley de velocidad de Michaelis-Menten . Si

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }s}{K_{m}+s}}}$

Entonces se puede demostrar fácilmente que

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {K_{m}}{K_{m}+s}}}$

Esta ecuación ilustra la idea de que las elasticidades no tienen por qué ser constantes (como en el caso de las leyes de acción de masas), sino que pueden ser una función de la concentración de reactivo. En este caso, la elasticidad se acerca a la unidad en concentraciones bajas de reactivo (s) y a cero en concentraciones altas de reactivo.

A. La pendiente de la velocidad de reacción en función de la concentración de reactivo escalada por la concentración de reactivo y la velocidad de reacción da como resultado la elasticidad. Si se grafica el logaritmo de la velocidad de reacción y el logaritmo de la concentración de reactivo, la elasticidad se puede leer directamente a partir de la pendiente de la curva. Las curvas se generaron suponiendo que v = s/(2 + s)

Para la ley de velocidad reversible de Michaelis-Menten :

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }/K_{m_{1}}(s-p/K_{\text{eq}})}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

donde es la constante de avance , la constante de equilibrio y la constante de reversa , se pueden calcular dos coeficientes de elasticidad, uno con respecto al sustrato, S, y otro con respecto al producto, P. Así: ${\displaystyle V_{\max }}$ ${\displaystyle V_{max}}$ ${\displaystyle K_{m_{1}}}$ ${\displaystyle K_{m}}$ ${\displaystyle K_{eq}}$ ${\displaystyle K_{m_{2}}}$ ${\displaystyle K_{m}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {1}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {s/K_{m_{1}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{p}^{v}={\frac {-\Gamma /K_{\text{eq}}}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {p/K_{m_{2}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

donde es la relación masa-acción , es decir . Nótese que cuando p = 0, las ecuaciones se reducen al caso de la ley irreversible de Michaelis-Menten. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma =p/s}$

Como ejemplo final, consideremos la ecuación de Hill :

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }(s/K_{s})^{n}}{1+(s/K_{s})^{n}}}}$

donde n es el coeficiente de Hill y es el coeficiente de semisaturación (cf. ley de velocidad de Michaelis-Menten ), entonces el coeficiente de elasticidad viene dado por: ${\displaystyle K_{s}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {n}{1+(s/K_{s})^{n}}}}$

Obsérvese que, en concentraciones bajas de S, la elasticidad se acerca  a n . En concentraciones altas de S, la elasticidad se acerca a cero. Esto significa que la elasticidad está limitada entre cero y el coeficiente de Hill.

Propiedad de suma de los coeficientes de elasticidad

Las elasticidades para una reacción catalizada por enzima uni-uni reversible se dieron previamente por:

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {1}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {s/K_{m_{1}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{p}^{v}={\frac {-\Gamma /K_{\text{eq}}}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {p/K_{m_{2}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

Se puede obtener un resultado interesante al evaluar la suma . Se puede demostrar que es igual a: ${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}={\frac {1}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

Se pueden considerar dos extremos. En alta saturación ( ), el término de la derecha tiende a cero, de modo que: ${\displaystyle s>K_{m_{1}},p>K_{m_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\approx -\varepsilon _{p}^{v}}$

Es decir, las magnitudes absolutas de las elasticidades del sustrato y del producto tienden a ser iguales entre sí. Sin embargo, es poco probable que una enzima dada tenga concentraciones de sustrato y de producto mucho mayores que sus respectivas Km. Un escenario más plausible es cuando la enzima está trabajando en condiciones subsaturadas ( ). En estas condiciones obtenemos el resultado más simple: ${\displaystyle s<K_{m_{1}},p<K_{m_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}\approx 1}$

Expresado de otra manera podemos afirmar:

${\displaystyle ||\varepsilon _{s}^{v}||>||\varepsilon _{p}^{v}||}$

Es decir, el valor absoluto de la elasticidad del sustrato será mayor que el valor absoluto de la elasticidad del producto. Esto significa que un sustrato tendrá una mayor influencia sobre la velocidad de reacción directa que el producto correspondiente. ^[6]

Este resultado tiene implicaciones importantes para la distribución del control del flujo en una vía con pasos de reacción subsaturados. En general, una perturbación cerca del inicio de una vía tendrá más influencia sobre el flujo en estado estacionario que los pasos aguas abajo. Esto se debe a que una perturbación que viaja aguas abajo está determinada por todas las elasticidades del sustrato, mientras que una perturbación aguas abajo que tiene que viajar aguas arriba está determinada por las elasticidades del producto. Dado que hemos visto que las elasticidades del sustrato tienden a ser mayores que las elasticidades del producto, significa que las perturbaciones que viajan aguas abajo serán menos atenuadas que las perturbaciones que viajan aguas arriba. El efecto neto es que el control del flujo tiende a estar más concentrado en los pasos aguas arriba en comparación con los pasos aguas abajo. ^{[7] [8]}

La siguiente tabla resume los valores extremos de las elasticidades dada una ley de velocidad de Michaelis-Menten reversible. Siguiendo a Westerhoff et al. ^[9], la tabla se divide en cuatro casos que incluyen un tipo "reversible" y tres tipos "irreversibles".

Elasticidad con respecto a la concentración de enzimas

La elasticidad de una reacción catalizada por enzimas con respecto a la concentración de enzimas tiene una importancia especial. El modelo de Michaelis de la acción de las enzimas significa que la velocidad de reacción de una reacción catalizada por enzimas es una función lineal de la concentración de enzimas. Por ejemplo, la ley de velocidad irreversible de Michaelis se da a continuación, donde la velocidad máxima, se da explícitamente por el producto de la y la concentración total de enzimas, : ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle k_{cat}}$ ${\displaystyle E_{t}}$

${\displaystyle v={\frac {k_{cat}E_{t}s}{K_{m}+s}}}$

En general podemos expresar esta relación como el producto de la concentración de enzima y una función de saturación ,: ${\displaystyle f(s)}$

${\displaystyle v=E_{t}f(s)}$

Esta forma es aplicable a muchos mecanismos enzimáticos. El coeficiente de elasticidad se puede derivar de la siguiente manera:

${\displaystyle \varepsilon _{E_{t}}^{v}={\frac {\partial v}{\partial E_{t}}}{\frac {E_{t}}{v}}=f(s){\frac {E_{t}}{E_{t}f(s)}}=1}$

Es este resultado el que da lugar a los teoremas de suma de coeficientes de control .

Cálculo numérico de coeficientes de elasticidad.

El coeficiente de elasticidad también se puede calcular numéricamente, algo que a menudo se hace en software de simulación. ^[10]

Por ejemplo, se puede realizar un pequeño cambio (digamos 5%) en la concentración de reactivo elegida y registrar el cambio en la velocidad de reacción. Para ilustrar esto, supongamos que la velocidad de reacción de referencia es , y la concentración de reactivo de referencia, . Si aumentamos la concentración de reactivo en y registramos la nueva velocidad de reacción como , entonces la elasticidad se puede estimar utilizando el cociente diferencial de Newton : ${\displaystyle v_{o}}$ ${\displaystyle s_{o}}$ ${\displaystyle \Delta s_{o}}$ ${\displaystyle v_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\simeq {\frac {v_{1}-v_{o}}{\Delta s_{o}}}{\frac {s_{o}}{v_{o}}}={\frac {v_{1}-v_{o}}{v_{o}}}/{\frac {s_{1}-s_{o}}{s_{o}}}}$

Se puede obtener una estimación mucho mejor de la elasticidad haciendo dos perturbaciones separadas en . Una perturbación para aumentar y otra para disminuir . En cada caso, se registra la nueva velocidad de reacción; esto se llama el método de estimación de dos puntos . Por ejemplo, si es la velocidad de reacción cuando aumentamos , y es la velocidad de reacción cuando disminuimos , entonces podemos usar la siguiente fórmula de dos puntos para estimar la elasticidad: ${\displaystyle s_{o}}$ ${\displaystyle s_{o}}$ ${\displaystyle s_{o}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle s_{o}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle s_{o}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\simeq {\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}-v_{2}}{s_{1}-s_{o}}}\left({\frac {s_{o}}{v_{o}}}\right)}$

Interpretación del formato de registro

Consideremos que una variable es una función , es decir . Si aumenta de a entonces el cambio en el valor de estará dado por . El cambio proporcional, sin embargo, está dado por: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x+h)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{f(x)}}}$

La tasa de cambio proporcional en el punto se da mediante la expresión anterior dividida por el cambio escalonado en el valor, es decir : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h}$

Tasa de cambio proporcional ${\displaystyle =}$

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{hf(x)}}={\frac {1}{f(x)}}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}}$

Usando el cálculo, sabemos que

${\displaystyle {\frac {d\ln y}{dx}}={\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}}$,

Por lo tanto, la tasa de cambio proporcional es igual a:

${\displaystyle {\frac {d\ln y}{dx}}}$

Esta cantidad sirve como medida de la tasa de cambio proporcional de la función . Así como mide el gradiente de la curva trazada en una escala lineal, mide la pendiente de la curva cuando se traza en una escala semilogarítmica, es decir, la tasa de cambio proporcional. Por ejemplo, un valor de significa que la curva aumenta a por unidad . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle dy/dx}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle d\ln y/dx}$ ${\displaystyle 0.05}$ ${\displaystyle 5\%}$ ${\displaystyle x}$

El mismo argumento se puede aplicar al caso en el que graficamos una función tanto en escalas 1 como 2, en cuyo caso se cumple el siguiente resultado: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d\ln y}{d\ln x}}={\frac {x}{y}}{\frac {dy}{dx}}}$

Diferenciación en el espacio logarítmico

Un enfoque que se puede calcular algebraicamente mediante métodos de álgebra computacional es diferenciar en el espacio logarítmico. Dado que la elasticidad se puede definir de forma logarítmica, es decir:

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln s}}}$

La diferenciación en el espacio logarítmico es un enfoque obvio. La diferenciación logarítmica es particularmente conveniente en software de álgebra como Mathematica o Maple, donde se pueden definir reglas de diferenciación logarítmica. ^[11]

Un examen más detallado y las reglas de diferenciación en el espacio logarítmico se pueden encontrar en Elasticidad de una función .

Matriz de elasticidad

Las elasticidades no escaladas se pueden representar en forma de matriz, llamada matriz de elasticidad no escalada. Dada una red con especies moleculares y reacciones, la matriz de elasticidad no escalada se define como: ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial s_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial s_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial s_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial s_{m}}}\end{bmatrix}}.}$

Asimismo, también es posible definir la matriz de elasticidades escaladas:

${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s_{1}}^{v_{1}}&\cdots &\varepsilon _{s_{m}}^{v_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varepsilon _{s_{1}}^{v_{n}}&\cdots &\varepsilon _{s_{m}}^{v_{n}}\end{bmatrix}}.}$

Véase también

• Coeficiente de control (bioquímica)
• Análisis del control metabólico

Referencias

1. Kacser, Henrik; Burns, J. (1973). "El control del flujo". Simposios de la Sociedad de Biología Experimental . 27 : 65–104. PMID  4148886.
2. Heinrich, Reinhart; A. Rapoport, Tom (1974). "Un tratamiento lineal en estado estacionario de cadenas enzimáticas: propiedades generales, control y fuerza efectora". Revista Europea de Bioquímica . 42 (1): 89–95. doi : 10.1111/j.1432-1033.1974.tb03318.x . PMID  4830198.
3. A. Savageau, Michael (1976). Análisis de sistemas bioquímicos . Addison Wesley Longman Publishing Company.
4. L. Clarke, Bruce (1980). "Estabilidad de redes de reacción complejas". Avances en física química . 43 : 1–215. doi :10.1002/9780470142622.ch1. ISBN 9780470142622.
5. Christensen, Carl D.; Hofmeyr, Jan-Hendrik S.; Rohwer, Johann M. (28 de noviembre de 2018). "Profundizando: relacionando el comportamiento de un sistema metabólico con las propiedades de sus componentes mediante el análisis de control metabólico simbólico". PLOS ONE . ​​13 (11): e0207983. Bibcode :2018PLoSO..1307983C. doi : 10.1371/journal.pone.0207983 . PMC 6261606 . PMID  30485345. 
6. Sauro, Herbert (2013). Biología de sistemas: una introducción al análisis del control metabólico (1.ª edición, versión 1.01). Seattle, WA: Ambrosius Publishing. ISBN 978-0982477366.
7. Ringemann, C.; Ebenhöh, O.; Heinrich, R.; Ginsburg, H. (2006). "¿Pueden las propiedades bioquímicas servir como presión selectiva para la selección de genes durante la transferencia lateral de genes entre especies y endosimbiótica?". IEE Proceedings - Systems Biology . 153 (4): 212–222. doi :10.1049/ip-syb:20050082. PMID  16986623.
8. Heinrich, Reinhart; Klipp, Edda (octubre de 1996). "Análisis de control de cadenas enzimáticas no ramificadas en estados de actividad máxima". Journal of Theoretical Biology . 182 (3): 243–252. Bibcode :1996JThBi.182..243H. doi :10.1006/jtbi.1996.0161. PMID  8944155.
9. Westerhoff, Hans V.; Groen, Albert K.; Wanders, Ronald JA (1 de enero de 1984). "Teorías modernas del control metabólico y sus aplicaciones". Bioscience Reports . 4 (1): 1–22. doi :10.1007/BF01120819. PMID  6365197. S2CID  27791605.
10. Yip, Evan; Sauro, Herbert (8 de octubre de 2021). "Cálculo de sensibilidades en redes de reacción mediante métodos de diferencias finitas". arXiv : 2110.04335 [q-bio.QM].
11. H. Woods, James; M. Sauro, Herbert (1997). "Elasticidades en el análisis de control metabólico: derivación algebraica de expresiones simplificadas". Aplicaciones informáticas en las biociencias . 13 (2): 23–130. doi : 10.1093/bioinformatics/13.2.123 . PMID  9146958.

Lectura adicional

• Cornish-Bowden, Athel (1995). Fundamentos de la cinética enzimática . Portland Press.
• Fell D. (1997). Entendiendo el control del metabolismo . Portland Press.
• Heinrich, Reinhart; Schuster, Stefan (1996). La regulación de los sistemas celulares . Chapman y Hall.