longitud de bye

Medida del efecto electrostático y hasta qué punto persiste.

En plasmas y electrolitos , la longitud de Debye ( radio de Debye o longitud de detección de Debye-Hückel ), es una medida del efecto electrostático neto de un portador de carga en una solución y hasta qué punto persiste su efecto electrostático. ^[1] Con cada longitud de Debye, las cargas se apantallan eléctricamente y el potencial eléctrico disminuye en magnitud en 1/ e . Una esfera de Debye es un volumen cuyo radio es la longitud de Debye. La longitud de Debye es un parámetro importante en la física del plasma , electrolitos y coloides ( teoría DLVO ). El vector de onda de detección de Debye correspondiente para partículas de densidad y carga a una temperatura está dado en unidades gaussianas . A continuación se darán expresiones en unidades MKS. Las cantidades análogas a temperaturas muy bajas ( ) se conocen como longitud de Thomas-Fermi y vector de onda de Thomas-Fermi. Son de interés para describir el comportamiento de los electrones en los metales a temperatura ambiente. ${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}=1/\lambda _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}^{2}=4\pi nq^{2}/(k_{\rm {B}}T)}$ ${\displaystyle T\to 0}$

La longitud de Debye lleva el nombre del físico y químico holandés-estadounidense Peter Debye (1884-1966), premio Nobel de Química.

origen fisico

La longitud de Debye surge de forma natural en la descripción termodinámica de grandes sistemas de cargas móviles. En un sistema de diferentes especies de cargas, la -ésima especie lleva carga y tiene concentración en la posición . Según el llamado "modelo primitivo", estas cargas se distribuyen en un medio continuo que se caracteriza únicamente por su relativa permitividad estática . Esta distribución de cargas dentro de este medio da lugar a un potencial eléctrico que satisface la ecuación de Poisson : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ),}$$

constante eléctrica ${\displaystyle \varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}}$

Las cargas móviles no sólo contribuyen al establecimiento sino que también se mueven en respuesta a la fuerza de Coulomb asociada . Si además asumimos que el sistema está en equilibrio termodinámico con un baño térmico a temperatura absoluta , entonces las concentraciones de cargas discretas, pueden considerarse como promedios termodinámicos (conjuntos) y el potencial eléctrico asociado como un campo medio termodinámico . Con estos supuestos, la concentración de la especie de carga -ésima se describe mediante la distribución de Boltzmann , ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$

constante de Boltzmann ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ ${\displaystyle j}$

La identificación de las concentraciones instantáneas y el potencial en la ecuación de Poisson con sus contrapartes de campo medio en la distribución de Boltzmann produce la ecuación de Poisson-Boltzmann :

$${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ).}$$

Se conocen soluciones a esta ecuación no lineal para algunos sistemas simples. Se pueden obtener soluciones para sistemas más generales en el límite de alta temperatura (acoplamiento débil), expandiendo Taylor la exponencial: ${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T}$

$${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}.}$$

Esta aproximación produce la ecuación linealizada de Poisson-Boltzmann

$${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$$

ecuación de Debye-Hückel^{[2] [3] [4] [5] [6]}análisis dimensional ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$$

${\displaystyle \lambda _{D}}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}$$

${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}}$$

efecto de apantallamiento

La longitud de Debye-Hückel se puede expresar en términos de la longitud de Bjerrum como ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$

$${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2},}$$

número de cargacarga elemental ${\displaystyle z_{j}=q_{j}/e}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle e}$

en un plasma

Para un plasma débilmente colisional, el blindaje Debye se puede introducir de forma muy intuitiva teniendo en cuenta el carácter granular de dicho plasma. Imaginemos una esfera alrededor de uno de sus electrones y comparemos el número de electrones que cruzan esta esfera con y sin repulsión de Coulomb. Con repulsión, este número es menor. Por tanto, según el teorema de Gauss, la carga aparente del primer electrón es menor que en ausencia de repulsión. Cuanto mayor es el radio de la esfera, mayor es el número de electrones desviados y menor la carga aparente: este es el blindaje de Debye. Dado que la desviación global de las partículas incluye las contribuciones de muchas otras, la densidad de los electrones no cambia, a diferencia del blindaje que funciona junto a una sonda Langmuir ( funda de Debye ). Los iones aportan una contribución similar al blindaje, debido a la atractiva deflexión coulombiana de cargas con signos opuestos.

Esta imagen intuitiva conduce a un cálculo efectivo del blindaje de Debye (ver sección II.A.2 de ^[7] ). En este cálculo no es necesario asumir una distribución de Boltzmann: funciona para cualquier función de distribución de partículas. El cálculo también evita aproximar plasmas débilmente colisionantes como medios continuos. Un cálculo de N cuerpos revela que la simple aceleración de Coulomb de una partícula por otra se modifica por una contribución mediada por todas las demás partículas, una firma del blindaje de Debye (ver sección 8 de ^[8] ). Cuando se parte de posiciones aleatorias de partículas, la escala de tiempo típica para que se establezca el blindaje es el tiempo que tarda una partícula térmica en cruzar una longitud de Debye, es decir, la inversa de la frecuencia del plasma. Por lo tanto, en un plasma débilmente colisional, las colisiones desempeñan un papel esencial al provocar un proceso de autoorganización cooperativa: el blindaje de Debye. Este blindaje es importante para obtener un coeficiente de difusión finito en el cálculo de la dispersión de Coulomb ( colisión de Coulomb ).

En un plasma no isotérmico, las temperaturas de los electrones y las especies pesadas pueden diferir, mientras que el medio de fondo puede tratarse como el vacío ( ), ${\displaystyle \varepsilon _{r}=1}$ y la longitud de Debye es

$${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{j}}}}}$$

• λ _D es la longitud de Debye,
• ε ₀ es la permitividad del espacio libre ,
• k _B es la constante de Boltzmann ,
• q _e es la carga de un electrón ,
• T _e y Ti son las temperaturas de los electrones y los iones, respectivamente _,
• n _e es la densidad de los electrones,
• n _j es la densidad de especies atómicas j , con carga iónica positiva z _j q _e

Incluso en el plasma frío cuasineutral, donde la contribución de iones prácticamente parece ser mayor debido a la menor temperatura de los iones, el término iónico a menudo disminuye, lo que da como resultado

$${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}}$$

^[9]

Valores típicos

En los plasmas espaciales donde la densidad de electrones es relativamente baja, la longitud de Debye puede alcanzar valores macroscópicos, como en la magnetosfera, el viento solar, el medio interestelar y el medio intergaláctico. Consulte la tabla a continuación: ^[10]

En una solución de electrolito

En un electrolito o una suspensión coloidal , la longitud de Debye ^{[11] [12] [13]} para un electrolito monovalente generalmente se indica con el símbolo κ ⁻¹

$${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2e^{2}I}}}}$$

dónde

• I es la fuerza iónica del electrolito en número/m ³ unidades,
• ε ₀ es la permitividad del espacio libre ,
• ε _r es la constante dieléctrica ,
• k _B es la constante de Boltzmann ,
• T es la temperatura absoluta en kelvins ,
• ${\displaystyle e}$es la carga elemental ,

o, para un electrolito monovalente simétrico,

$${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}}$$

• R es la constante del gas ,
• F es la constante de Faraday ,
• C ₀ es la concentración de electrolito en unidades molares (M o mol/L).

Alternativamente,

$${\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{-24}I}}}}$$

longitud Bjerrum ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle 10^{-24}}$

Para agua desionizada a temperatura ambiente, a pH=7, λ _B ≈ 1μm.

A temperatura ambiente (20 °C o 70 °F), se puede considerar en agua la relación: ^[14]

$${\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}}$$

• κ ⁻¹ se expresa en nanómetros (nm)
• I es la fuerza iónica expresada en molar (M o mol/L)

Existe un método para estimar un valor aproximado de la longitud de Debye en líquidos utilizando conductividad, que se describe en la norma ISO ^[11] y en el libro. ^[12]

En semiconductores

La longitud de Debye se ha vuelto cada vez más importante en el modelado de dispositivos de estado sólido a medida que las mejoras en las tecnologías litográficas han permitido geometrías más pequeñas. ^{[15] [16] [17]}

La longitud de Debye de los semiconductores viene dada:

$${\displaystyle L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}}$$

• ε es la constante dieléctrica,
• k _B es la constante de Boltzmann,
• T es la temperatura absoluta en kelvins,
• q es la carga elemental, y
• N _dop es la densidad neta de dopantes (ya sean donantes o aceptores).

Cuando los perfiles de dopaje superan la duración de Debye, los portadores mayoritarios ya no se comportan según la distribución de los dopantes. En cambio, una medida del perfil de los gradientes de dopaje proporciona un perfil "efectivo" que coincide mejor con el perfil de la densidad de portadores mayoritarios.

En el contexto de los sólidos, es posible que se requiera la longitud de cribado de Thomas-Fermi en lugar de la longitud de Debye.

Ver también

• Longitud de Bjerrum
• Efecto Debye-Falkenhagen
• Oscilación de plasma
• Efecto blindaje
• Efecto de cribado

Referencias

1. Debye, P.; Hückel, E. (2019) [1923]. "Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen" [La teoría de los electrolitos. I. Depresión del punto de congelación y fenómeno relacionado]. Physikalische Zeitschrift . 24 (9). Traducido por Braus, Michael J.: 185–206.
2. Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: transporte en dispositivos microfluídicos . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
3. Li, D. (2004). Electrocinética en Microfluídica . Prensa académica. ISBN 0-12-088444-5.
4. PC Clemmow y JP Dougherty (1969). Electrodinámica de partículas y plasmas. Redwood City CA: Addison-Wesley . págs. § 7.6.7, pág. 236 y sigs. ISBN 978-0-201-47986-7.^{[ enlace muerto permanente ]}
5. RA Robinson y RH Stokes (2002). Soluciones de electrolitos. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover . pag. 76.ISBN​ 978-0-486-42225-1.
6. Véase Brydges, David C.; Martín, Ph. A. (1999). "Sistemas de Coulomb de baja densidad: una revisión". Revista de Física Estadística . 96 (5/6): 1163-1330. arXiv : cond-mat/9904122 . Código Bib : 1999JSP....96.1163B. doi :10.1023/A:1004600603161. S2CID  54979869.
7. Meyer-Vernet N (1993) Aspectos del blindaje de Debye. Revista estadounidense de física 61, 249-257
8. Escande, DF, Bénisti, D., Elskens, Y., Zarzoso, D. y Doveil, F. (2018). Física microscópica básica del plasma a partir de la mecánica de N-cuerpos, Un tributo a Pierre-Simon de Laplace, Reseñas de física moderna del plasma, 2, 1-68
9. IH Hutchinson Principios del diagnóstico de plasma ISBN 0-521-38583-0 
10. Kip Thorne (2012). "Capítulo 20: La cinética de partículas del plasma" (PDF) . Aplicaciones de la Física Clásica . Consultado el 7 de septiembre de 2017 .
11. Norma internacional ISO 13099-1, 2012, "Sistemas coloidales - Métodos para la determinación del potencial Zeta - Parte 1: Fenómenos electroacústicos y electrocinéticos"
12. Dukhin, AS; Goetz, PJ (2017). Caracterización de líquidos, nano y micropartículas y cuerpos porosos mediante Ultrasonido . Elsevier. ISBN 978-0-444-63908-0.
13. Russell, WB; Saville, DA; Schowalter, WR (1989). Dispersiones coloidales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-42600-6.
14. Israelachvili, J. (1985). Fuerzas intermoleculares y de superficie . Prensa académica. ISBN 0-12-375181-0.
15. Popa, Eric; Robin Wagner; Fred J. Sigworth; Ronald Breaker; Tarek M. Fahmy; Mark A. Reed (1 de noviembre de 2007). "Importancia de la longitud del cribado de Debye en sensores de transistores de efecto de campo de nanocables". Nano Letras . 7 (11): 3405–3409. Código Bib : 2007NanoL...7.3405S. doi :10.1021/nl071792z. PMC 2713684 . PMID  17914853. 
16. Guo, Lingjie; Effendi Leobandung; Stephen Y. Chou (199). "Una memoria semiconductora de óxido metálico de un solo electrón de silicio a temperatura ambiente con puerta flotante a nanoescala y canal ultraestrecho". Letras de Física Aplicada . 70 (7): 850. Código bibliográfico : 1997ApPhL..70..850G. doi : 10.1063/1.118236.
17. Tiwari, Sandip; Farhan Rana; Kevin Chan; Shi de cuero; Hussein Hanafi (1996). "Efectos de carga única y confinamiento en memorias de nanocristales". Letras de Física Aplicada . 69 (9): 1232. Código bibliográfico : 1996ApPhL..69.1232T. doi :10.1063/1.117421.

Otras lecturas

• Goldston y Rutherford (1997). Introducción a la Física del Plasma . Filadelfia: Instituto de Publicaciones de Física .
• Lyklema (1993). Fundamentos de la interfaz y la ciencia de los coloides . Nueva York: Prensa académica .